2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)第二部分專題3立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積與體積教師用書教案理1

PAGE立體幾何專題3第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積空間幾何體的三視圖授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁考情調(diào)研考向分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查．主要考查依據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積．對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查，以選擇題和填空題為主.1.依據(jù)幾何體確定三視圖．2.三視圖中的知二求一．3.依據(jù)三視圖確定幾何體的形態(tài).[題組練透]1．(2024·恩施質(zhì)檢)某圓錐的母線長為2，高為eq\f(4\r(2),3)，其三視圖如圖所示，圓錐表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓錐表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓錐側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(8＋2\r(3)) D．2eq\r(2－\r(3))解析：因?yàn)閳A錐的母線長為2，高為eq\f(4\r(2),3)，所以底面半徑r＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),3)))2)＝eq\f(2,3)，所以底面周長為2πr＝eq\f(4,3)π，所以側(cè)面綻開圖所在扇形中心角為eq\f(2πr,2)＝eq\f(\f(4,3)π,2)＝eq\f(2,3)π，由三視圖可知∠MON為綻開圖圓心角的eq\f(1,4).∠MON＝eq\f(π,6).所以從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\r(22＋22－2×2×2cos\f(π,6))＝2eq\r(2－\r(3)).故選D.答案：D2．(2024·江西模擬)已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖(網(wǎng)格中的小正方形邊長為1)，則該四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐P-ABCD，在四個(gè)側(cè)面中，有∠PBA＝∠PCD＝∠CPB＝90°，△PAD是等邊三角形．所以該四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選C.答案：C3．(2024·張家口、滄州模擬)某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的全部棱長之和為()A．2eq\r(5)＋eq\r(2)＋9 B．4eq\r(2)＋eq\r(6)＋4C．2eq\r(2)＋2eq\r(5)＋5 D．4eq\r(2)＋eq\r(5)＋5解析：由三視圖還原幾何體如下，三棱錐P-ABC即為該幾何體．又由三視圖可知BC＝2，底面ABC是等腰直角三角形，三棱錐的高為2，所以PA＝PC＝eq\r(5)，AB＝AC＝eq\r(2)，PB＝eq\r(22＋22＋12)＝3，因此該三棱錐的全部棱長之和為PA＋PB＋PC＋AB＋AC＋BC＝2eq\r(2)＋2eq\r(5)＋5.故選C.答案：C4．已知一個(gè)四棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，其中a＋b＝10.則該四棱錐的高的最大值為________．解析：如圖所示，由題意知，平面PAD⊥平面ABCD，設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為x，當(dāng)x最大時(shí)，四棱錐的高最大，因?yàn)镻A＋PD＝a＋b＝10>6，所以點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)橢圓，由橢圓的性質(zhì)得，當(dāng)a＝b時(shí)，x取得最大值eq\r(52－32)＝4，即該四棱錐的高的最大值為4.答案：4[題后悟通]1．識別三視圖的步驟(1)應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清晰或依據(jù)幾何體的詳細(xì)形態(tài)，明確幾何體的擺放位置．(2)依據(jù)三視圖的有關(guān)規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最終確定側(cè)視圖．(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線．2．由三視圖還原到直觀圖的思路(1)依據(jù)俯視圖確定幾何體的底面．(2)依據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置．(3)確定幾何體的直觀圖形態(tài)．3．由幾何體的部分視圖推斷剩余的視圖的思路先依據(jù)已知的一部分視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．空間幾何體的表面積與體積授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第28頁考情調(diào)研考向分析本部分是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要涉及空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算．命題形式以選擇題與填空題為主，考查空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.1.依據(jù)三視圖求幾何體的表面積與體積．2.依據(jù)幾何體求其表面積與體積.[題組練透]1．(2024·大連模擬)已知圓錐的母線長為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為()A．27π B．9eq\r(3)πC．9π D．3eq\r(3)π解析：由題意可知，底面半徑r＝6sin30°＝3；圓錐的高h(yuǎn)＝6cos30°＝3eq\r(3)，∴圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2·h＝9eq\r(3)π.答案：B2．(2024·武漢質(zhì)檢)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD中點(diǎn)，則四面體A-BC1A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴S△AMB＝eq\f(1,2)S?ABCD＝eq\f(1,2)，又CC1⊥平面ABCD，∴VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM＝eq\f(1,6).故選C.答案：C3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(3,8)π B.eq\f(π,4)C.eq\f(5,24)π D.eq\f(7,24)π解析：視察三視圖發(fā)覺：該幾何體的形態(tài)為圓柱從上方削去一部分，削去部分的體積為圓柱體積一半的一半即eq\f(1,4)，下方削去半個(gè)球，故幾何體的體積為V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2－eq\f(1,4)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2－eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,24)π，故選D.答案：D4．(2024·汕頭模擬)如圖畫出的是某幾何體的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為()A.eq\f(22π,3) B.eq\f(23π,3)C.eq\f(25π,3) D.eq\f(26π,3)解析：由幾何體的三視圖，可確定該幾何體為一個(gè)大球的eq\f(3,4)，和一個(gè)小球的eq\f(1,4)組合而成，由題意可得，大球的半徑為2，小球的半徑為1，所以該幾何體的體積為eq\f(3,4)×eq\f(4,3)π×23＋eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(25,3)π.故選C.答案：C[題后悟通]1．求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要?jiǎng)由睃c(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．2．求空間幾何體體積的常用方法公式法干脆依據(jù)常見柱、錐、臺等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算等積法依據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更簡單，或是求出一些體積比等割補(bǔ)法把不能干脆計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體多面體與球的切、接問題授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第29頁考情調(diào)研考向分析本部分是高考考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，主要涉及多面體與球的切、接問題．命題形式以選擇題與填空題為主，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.1.幾何體與球的外接問題．2.幾何體與球的內(nèi)切問題.[題組練透]1．(2024·開封模擬)《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形．若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.eq\r(6)π B．6πC．9π D．24π解析：如圖所示，該幾何體為四棱錐P-ABCD.底面ABCD為矩形，其中PD⊥底面ABCD.AB＝1，AD＝2，PD＝1.則該陽馬的外接球的直徑為PB＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).∴該陽馬的外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝6π.故選B.答案：B2．(2024·吉安模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為()A．16π B．32πC．64π D．72π解析：由三視圖還原幾何體如圖：該幾何體為四棱錐，下底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PAB為等腰直角三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，棱錐的高為2，設(shè)△PAB的外心在AB的中點(diǎn)，正方體ABCD的中心是球心，設(shè)該四棱錐外接球的半徑為R，R＝2eq\r(2)，則該幾何體的外接球的表面積為：4π×(2eq\r(2))2＝32π.故選B.答案：B3．(2024·武漢質(zhì)檢)將一個(gè)表面積為100π的木質(zhì)球削成一個(gè)體積最大的圓柱，則該圓柱的高為________．解析：由S＝4πR2得100π＝4πR2?R＝5.設(shè)球心到圓柱底面距離為d，圓柱底面半徑為r，則r2＝R2－d2＝25－d2，∴圓柱體積V(d)＝πr2·2d.＝2dπ(25－d2)＝－2πd3＋50πd，V′(d)＝－6πd2＋50π.令V′(d)＝0，則d＝eq\f(5\r(3),3)，當(dāng)d＝eq\f(5\r(3),3)時(shí)，圓柱體積V(d)最大，則圓柱的高為2d＝eq\f(10\r(3),3).答案：eq\f(10\r(3),3)4．(2024·九江模擬)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線PA與底面所成的角為30°，底面圓心O到PA的距離為1，則該圓錐外接球的表面積為________．解析：依題意得，圓錐底面半徑r＝eq\f(1,sin30°)＝2，高h(yuǎn)＝eq\f(1,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)，設(shè)圓錐外接球半徑為R，則R2＝r2＋(R－h(huán))2，即R2＝22＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(2\r(3),3)))2，解得R＝eq\f(4\r(3),3)，∴外接球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(64π,3).答案：eq\f(64π,3)[題后悟通]1．空間幾何體與球切、接問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及切、接點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓