2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)與對(duì)數(shù)4.24.2.1對(duì)數(shù)的概念學(xué)案蘇教版必修第一冊(cè)

4.2對(duì)數(shù)4.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解對(duì)數(shù)的概念．(重點(diǎn))2．能嫻熟地進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．(重點(diǎn))3．駕馭常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的定義.通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，培育學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).若某物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%，則經(jīng)過x年，該物質(zhì)的剩留量y＝0.84x.由此，知道了經(jīng)過的時(shí)間x，就能求出該物質(zhì)的剩留量y；反過來，知道了該物質(zhì)的剩留量y，怎樣求出所經(jīng)過的時(shí)間x呢？學(xué)問點(diǎn)1對(duì)數(shù)名稱定義記法對(duì)數(shù)一般地，假如ab＝N(a>0，a≠1)，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)logaN＝b常用對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)lgN自然對(duì)數(shù)以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)．其中e＝2.71828…是一個(gè)無理數(shù)lnN1.思索辨析(正確的畫√，錯(cuò)誤的畫×)(1)logaN中a的取值范圍為(0，＋∞)．()(2)(－2)4＝16可化為log(－2)16＝4.()(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．()(4)在b＝log3(x－2)中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√學(xué)問點(diǎn)2對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(4)logaeq\f(1,a)＝－1(a>0且a≠1)．(5)對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)．為什么負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)？[提示]由對(duì)數(shù)的定義：ax＝N(a>0且a≠1)，則總有N>0，所以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式x＝logaN時(shí)，不存在N≤0的狀況．2.(1)log33＋log31＝________；(2)已知log2eq\f(2x－1,3)＝0則x＝________.(1)1(2)2[(1)log33＋log31＝1＋0＝1.(2)由題意知eq\f(2x－1,3)＝1所以x＝2.]類型1指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【例1】將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化．(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)eqlog\s\do5(\f(1,2))32＝－5；(3)lg100＝2；(4)lnx＝5；(5)64＝eq\f(1,4).[解](1)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.(2)由eqlog\s\do5(\f(1,2))32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.(3)由lg100＝2，可得102＝100.(4)由lnx＝5，可得e5＝x.(5)由64＝eq\f(1,4)可得log64eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3).指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法是什么？[提示](1)將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只須要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式；(2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)53＝125；3－2＝eq\f(1,9)；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(2)eqlog\s\do5(\f(1,2))8＝－3；lg0.0001＝－4.[解](1)因?yàn)?3＝125，所以log5125＝3.因?yàn)?－2＝eq\f(1,9)，所以log3eq\f(1,9)＝－2.因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16，所以eqlog\s\do5(\f(1,4))16＝－2.(2)因?yàn)閑qlog\s\do5(\f(1,2))8＝－3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8；因?yàn)閘g0.0001＝－4，所以10－4＝0.0001.類型2利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化求變量的值【例2】求下列各式中x的值．(1)lg0.01＝x；(2)log7(x＋2)＝2；(3)eqlog\s\do5(\f(2,3))eq\f(9,4)＝x；(4)x＝eqlog\s\do5(\f(1,2))32.[解](1)因?yàn)閘g0.01＝x，所以10x＝0.01＝10－2，所以x＝－2.(2)因?yàn)閘og7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72，解得x＝47.(3)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－2＝eq\f(9,4)，所以eqlog\s\do5(\f(2,3))eq\f(9,4)＝－2，所以x＝－2.(4)由x＝eqlog\s\do5(\f(1,2))32可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝32，即2－x＝25，解得x＝－5.利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化求變量值的策略(1)已知底數(shù)與指數(shù)，用指數(shù)式求冪．(2)已知指數(shù)與冪，用指數(shù)式求底數(shù)．(3)已知底數(shù)與冪，利用對(duì)數(shù)式表示指數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．求下列各式中x的值：(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；(4)log27x＝－eq\f(2,3).[解](1)x＝64＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(43))＝4－2＝eq\f(1,16).(2)因?yàn)閤6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝eq\r(2).(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)因?yàn)閘og27x＝－eq\f(2,3)，所以x＝27＝(33)＝3－2＝eq\f(1,9).類型3利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式求值【例3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)x＝71－log75.1．若方程log2x＝0，則x等于多少？若log3x＝1，則x等于多少？[提示]若log2x＝0則x＝1，若log3x＝1則x＝3.2．a(chǎn)logaN＝N(a>0且a≠1，N>0)是怎樣推出的？[提示]因?yàn)閍x＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N得alogaN＝N.[解](1)∵log2(log5x)＝0，∴l(xiāng)og5x＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)x＝71－log75＝7÷7log75＝7÷5＝eq\f(7,5).1．將本例(1)改為“l(fā)og2(lnx)＝1”如何求[解]由log2(lnx)＝1知lnx＝2，所以x＝e2.2．將本例(2)改為“l(fā)og3(log2(lgx))＝0”[解]由log3(log2(lgx))＝0知log2(lgx)＝1，所以lgx＝21，x＝102＝100.3．將本例(3)改為“3log3(log4(log5x))＝0”如何求[解]由3log3(log4(log5x))＝0知log4(log5x)＝1，所以log5x＝4，x＝54＝625.1．利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的2類問題的解法(1)求多重對(duì)數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．2．性質(zhì)alogaN＝N與logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把隨意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．求下列各式中x的值．(1)6log6(5x＋1)＝36；(2)log(x＋1)(2x－3)＝1.[解](1)由6log6(5x＋1)＝36得，5x＋1＝36，解得x＝7.(2)由log(x＋1)(2x－3)＝1可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2x－3，,2x－3>0，,x＋1>0，,x＋1≠1.))解得x＝4.1．(多選題)下列說法中正確的是()A．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C．以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)D．以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)ACD[ACD正確，只有a>0，且a≠1時(shí)ax＝N才能化為對(duì)數(shù)式．]2．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9寫成對(duì)數(shù)式，正確的是()A．log9eq\f(1,3)＝－2 B．eqlog\s\do5(\f(1,3))9＝－2C．eqlog\s\do5(\f(1,3))(－2)＝9 D．log9(－2)＝eq\f(1,3)B[依據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得logeq\f(1,3)9＝－2，故選B.]3．若對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)B[要使對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－2>0,t－2≠1))；解得t>2且t≠3，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞)．]4．若2a＝4，則logaeq\f(1,2)的值為________．－1[2a＝4，∴a＝2，則logaeq\f(1,2)＝log2eq\f(1,2)＝－1.]5．已知logx16＝2，則x＝___