2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.1直線與直線垂直同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價二十九直線與直線垂直(15分鐘30分)1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別為BC,CC1,A1D1,C1D1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.連接A1C1,BC1,A1B,則MN∥A1C1,EF∥BC1,所以∠A1C1B即為EF,MN所成角,易得∠A1C1B=QUOTE.2.(2024·赤峰高一檢測)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1,若點(diǎn)E是線段CD的中點(diǎn),A1D與AD1相交于點(diǎn)F,則直線B1F與直線DA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.作出圖形如圖所示,連接AE,取AE的中點(diǎn)G,連接GF,則直線B1F與直線D1E夾角即為∠GFB1,不妨設(shè)AB=2AD=2AA1=4,則GF=QUOTE,B1F=3QUOTE,B1G=QUOTE,故cos∠GFB1=QUOTE=QUOTE,所以直線B1F與直線D1E夾角的余弦值為QUOTE.3.(2024·長春高一檢測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,六個面內(nèi)與BD成60°角的對角線共有【解析】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,六個面內(nèi)與BD成60°角的對角線共有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1答案:84.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是棱C1D1、C1C的中點(diǎn),則直線AM和BN所成角的正弦值是【解析】如圖,取DD1中點(diǎn)為G,連接AG,MG,則AG∥BN,所以∠MAG為直線AM和BN所成角,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1則AG=QUOTE,MG=QUOTE,AM=3,在△AGM中,由余弦定理可得cos∠MAG=QUOTE=QUOTE,所以sin∠MAG=QUOTE.答案:QUOTE5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為【解析】如圖所示:在正方體ABCD-A1B1C1D1所以異面直線AE與CD所成角,即為AE和AB所成的角.設(shè)正方體的棱長為2,由于AB⊥平面BCE,所以△ABE為直角三角形,所以BE=QUOTE=QUOTE,所以tan∠BAE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如圖,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a,連接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D得到一個三棱錐A′-BC′D.(1)求三棱錐A′-BC′D的表面積.(2)O是CC′的中點(diǎn),求異面直線BD與B′O所成角的余弦值.【解析】(1)因為ABCD-A′B′C′D′是正方體,所以A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D=QUOTEa,所以三棱錐A′-BC′D的表面積為4×QUOTE×QUOTEa×QUOTE×QUOTEa=2QUOTEa2.(2)連接AD′,B′D′,AB′,在四邊形BDD′B′中,BB′DD′,所以四邊形BDD′B′為平行四邊形,所以BD∥B′D′,所以∠OB′D′為異面直線BD與B′O所成的角.又因為ABCD-A′B′C′D′是正方體,棱長為a,所以B′D′=QUOTEa,B′O=QUOTEa,D′O=QUOTEa,所以cos∠OB′D′=QUOTE=QUOTE,即異面直線BD與B′O所成角的余弦值為QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=QUOTEBB1,則AB1與BC1所成的角的大小是 ()A.60° B.75° C.90° D.105°【解析】選C.設(shè)BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接B1C2,則B1C2所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角).連接AC2,因為AB1=QUOTE,B1C2=QUOTE,AC2=QUOTE,所以AQUOTE=AQUOTE+B1QUOTE,則∠AB1C2=90°.2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AD=2,AB=3,則異面直線AB1與BC1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.如圖,連接AD1,則AD1∥BC1,所以∠B1AD1(或其補(bǔ)角)為異面直線AB1與BC1所成的角,因為AA1=1,AD=2,AB=3,所以AB1=QUOTE,B1D1=QUOTE,AD1=QUOTE.在△B1AD1中,cos∠B1AD1=QUOTE=QUOTE,所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為QUOTE.3.(2024·株洲高一檢測)一個正方體的綻開圖如圖所示,A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn),則在原來的正方體中 ()A.AB∥CDB.AB與CD相交C.AB⊥CDD.AB與CD所成的角為60°【解析】選D.還原成正方體如圖,因為AB∥DE,所以∠CDE是AB與CD所成角,因為CD=DE=CE,所以∠CDE=60°,所以在原來的正方體中AB與CD所成的角為60°.4.(2024·重慶高一檢測)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分別為AA1,BB1的中點(diǎn),則異面直線BM與C1A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖,連接A1N,則A1N∥BM,所以∠A1NC1為異面直線BM與C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因為AB=AA1=2,M,N分別為AA1,BB1所以A1N=C1N=QUOTE,在△A1NC1中,由余弦定理可得:cos∠A1NC1=QUOTE=QUOTE.即異面直線BM與C1N所成角的余弦值為QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.如圖是正方體的平面綻開圖,則在這個正方體中:以下四個結(jié)論中,正確的結(jié)論是 ()A.BM與ED平行B.CN與BE是異面直線C.CN與BM成60°角D.DM與BN是異面直線【解析】選CD.依據(jù)綻開圖,畫出立體圖形,連接BE,BN,BM與ED垂直,不平行,CN與BE是平行直線,CN與BM成60°角,DM與BN是異面直線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖是棱長為a的正方體的平面綻開圖,則在這個正方體中,直線EF與MN所成角的余弦值為.

【解析】依據(jù)正方體的平面綻開圖,畫出它的直觀圖如圖所示,連接BF,BE,由MN∥BF,得∠EFB是異面直線EF與MN所成的角,則△EFB是正三角形,所以∠EFB=60°所以cos∠EFB=QUOTE,所以異面直線EF與MN所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE6.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,P分別為AB1,BC1,DD1A.異面直線AB1,BC1所成的角為QUOTEB.MN∥平面ABCDC.四面體A-A1B1N的體積為QUOTED.MN⊥BP【解析】選BD.如圖所示,連接AD1,B1D1,則BC1∥AD1,則異面直線AB1,BC1所成的角即為AD1與AB1所成的角,因為AD1=B1D1=AB1,所以異面直線AB1,BC1所成的角為QUOTE,故A錯誤;連接B1C,則交BC1于N,所以MN是三角形B1QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C錯誤;MN∥AC,而AC⊥BP,所以MN⊥BP,故D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是AB,A1D1的中點(diǎn),O為正方形A1B1C1DA.直線EF,AO是異面直線B.直線EF,BB1是相交直線C.直線EF與BC1所成的角為30°D.直線EF,BB1所成角的余弦值為QUOTE【解析】選CD.如圖,因為正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是AB,A1D1的中點(diǎn),O為正方形A1B1C1D所以四邊形AEOF是平行四邊形,在A中,直線EF、AO相交,故A錯誤;在B中,直線EF、BB1是異面直線,故B錯誤;在C中,取C1D1中點(diǎn)G,連接EG、FG,則EG∥BC1,所以∠FEG是直線EF與BC1所成的角,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1則EG=QUOTE=QUOTE,GF=QUOTE=QUOTE,EF=QUOTE=QUOTE,所以cos∠FEG=QUOTE=QUOTE,所以直線EF與BC1所成的角為30°,故C正確;在D中,取A1B1中點(diǎn)H,則EH∥BB1,所以∠FEH是直線EF,BB1所成角,cos∠FEH=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直線EF,BB1所成角的余弦值為QUOTE,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.棱長為a的正四面體A-BCD中,E,F分別為棱AD,BC的中點(diǎn),則異面直線EF與AB所成的角大小是,線段EF的長度為.

【解析】棱長為a的正四面體A-BCD中,E,F分別為棱AD,BC的中點(diǎn),取BD中點(diǎn)G,連接BE,CE,EG,FG,則EG∥AB,且EG=FG=QUOTEAB=QUOTE,所以∠FEG是異面直線EF與AB所成的角(或所成角的補(bǔ)角),BE=CE=QUOTE=QUOTE,EF=QUOTE=QUOTE,因為EG=FG,所以∠FEG=∠EFG,因為cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠FEG=∠EFG=QUOTE,所以異面直線EF與AB所成的角大小是QUOTE,線段EF的長度為QUOTEa.答案:QUOTEQUOTEa8.如圖,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,點(diǎn)D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),若BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值是【解析】取BC的中點(diǎn)D,連接D1F1,F1所以D1B∥DF1,所以∠DF1A就是BD1與AF1所成角或其補(bǔ)角.設(shè)BC=CA=CC1則AD=QUOTE,AF1=QUOTE,DF1=QUOTE.在△DF1A中利用余弦定理可得cos∠DF1A=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·徐匯高一檢測)如圖所示,圓錐SO的底面圓半徑|OA|=1,母線SA=3.(1)求此圓錐的體積和側(cè)面綻開圖扇形的面積;(2)過點(diǎn)O在圓錐底面作OA的垂線交底面圓圓弧于點(diǎn)P,設(shè)線段SO中點(diǎn)為M,求異面直線AM與PS所成角的余弦值.【解析】(1)圓錐SO的底面圓半徑|OA|=1,母線SA=3.所以圓錐的高為h=QUOTE=2QUOTE.所以V圓錐=QUOTE·π·12·2QUOTE=QUOTE,S圓錐側(cè)=π·1·3=3π.(2)如圖所示:在圓錐中,作MN∥SP,交OP于N,則異面直線AM與PS所成的角為∠AMN.依題意AM=QUOTE=QUOTE,MN=QUOTESP=QUOTE,AN=QUOTE=QUOTE,所以cos∠AMN=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,E為PC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面BDE;(2)求異面直線PA與DE所成角的余弦值.【解析】(1)連接AC,設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為O,連接OE,因為OE∥PA,PA?平面EBD,又OE?平面EBD,故AP∥平面BDE.(2)由(1)可得∠DEO為異面直線PA與DE所成的角,設(shè)AB=2,則EO=1,OD=QUOTE,DE=QUOTE,由勾股定理逆定理可得:△ODE為直角三角形,則cos∠DEO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故異面直線PA與DE所成角的余弦值為QUOTE.1.如圖,圓柱的軸截面ABCD為正方形,E為QUOTE的中點(diǎn),則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.

【解析】取BC的中點(diǎn)H,連接EH,AH,∠EHA=90°,設(shè)AB=2,則BH=HE=1,AH=QUOTE,所以AE=QUOTE,連接ED,ED=QUOTE,因為BC∥AD,所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD,在△EAD中cos∠EAD=QUOTE=