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2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)八年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共
10
個(gè)小題,每小題
3
分,共
30
分)1.(3
分)2023
年
9
月
23
日至
10
月
8
日,第
19
屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功舉辦,此次亞運(yùn)會(huì)在規(guī)模、項(xiàng)目、覆蓋面、商業(yè)價(jià)值等方面都創(chuàng)造了多個(gè)“歷史之最”.如圖運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)中,是軸對(duì)稱圖形的是(
)【解答】解:
A
、是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)符合題意;B
、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;C
、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;D
、不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意.故選:
A
.2.(3
分)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是(
)A.
xxx
448
+=
2B.()
xyxy
?=?
222C.
?+=?+
xxyxxy
()
23D.
aaa
235
?=【解答】解:
xxx
444
+=
2
,故
A
錯(cuò)誤,不符合題意;()2
xyxxyy
?=?+
222
,故
B
錯(cuò)誤,不符合題意;?+=??
xxyxxy
()
23
,故C
錯(cuò)誤,不符合題意;235aaa
?=
,故
D
正確,符合題意;故選:
D
.3.(3
分)如圖,已知∠=∠=°
CC1
90
,能直接用“
HL
”判定
RtABCRt
??
△
ABC
111的條件是(
)A.∠=∠
CC1,
ABAB
=
11B.
ABAB
=
11
,
ACAC
=
11第2頁(yè)(共18頁(yè))C.
ACAC
=
11,
BCBC
=
11D.∠=∠
BB1,
BCBC
=
11【解答】解:
A
.
AB
和
AB11是一對(duì)斜邊,缺少一對(duì)直角邊相等,∴不能利用“
HL
”判定RtABCRt
??△
ABC
111,故此選項(xiàng)不符合題意;B
.
AB
和
AB11是一對(duì)斜邊,
AC
和
AC11
是一對(duì)直角邊,∴能利用“
HL
”判定
RtABCRt
??
△
ABC
111,故此選項(xiàng)符合題意;C
.
AC
和
AC11
是一對(duì)直角邊,BC
和
BC11
是另一對(duì)直角邊,∴不能利用“
HL
”判定
RtABCRt
??
△
ABC
111,故此選項(xiàng)不符合題意;D
.BC
和
BC11
是一對(duì)直角邊,缺少一對(duì)斜邊相等,∴不能利用“
HL
”判定
RtABCRt
??
△
ABC
111,故此選項(xiàng)不符合題意;故選:
B
.4.(3
分)如圖,?ABC
為等邊三角形,
AMCN
//
.若∠=°
BAM
25
,則∠=
BCN
(
)A.65°B.60°C.
45°D.35°【解答】解:?ABC
是等邊三角形,∴∠=∠=°
BACACB
60
,
AMCN
//
,∴∠+∠=°
MACCAM
180
,∴∠+∠+∠+∠=°
BAMBACACBBCN
180
,即
256060
°+°+°+∠=°
BCN
180
,∴∠=°
BCN
35
.故選:
D
.5.(3
分)如圖,A
、B
是兩個(gè)居民小區(qū),快遞公司準(zhǔn)備在公路l
上選取點(diǎn)
P
處建一個(gè)服務(wù)中心,使
PAPB
+最短.下面四種選址方案符合要求的是(
)第3頁(yè)(共18頁(yè))【解答】解:根據(jù)題意得,在公路l
上選取點(diǎn)
P
,使
PAPB
+
最短.則選項(xiàng)
A
符合要求,故選:
A
.6.(3
分)若(2)(3)
xxxmxn
?+=++
2
,則
m
、
n
的值分別是(
)A.
m
=1,
n
=
6B.m
=1,
n
=?6C.
m
=
5
,n
=?6
D.
m
=
5
,
n
=
6【解答】解:(2)(3)
xx
?+=+?
xx
2
6,∴=
m
1,
n
=?6
,故選:
B
.7.(3
分)課堂上老師在黑板上布置了如框所示的題目,小南馬上發(fā)現(xiàn)了其中有一道題目錯(cuò)了,你知道錯(cuò)的是哪道題目嗎?(
)用平方差公式分解下列各式:(1)
ab
22
?(2)??
xy
22(3)
?+
x2
9(4)
425
mn
22
?A.第(1)道題B.第(2)道題C.第(3)道題D.第(4)道題【解答】解:(1)
ababab
22
?=+?
()()
,它是利用平方差公式因式分解的;(2)
??=?+
xyxy
2222
()
,它不能利用平方差公式因式分解的;(3)
?+=??=+?
xxxx
222
9(3)(3)(3),它利用平方差公式因式分解的;第4頁(yè)(共18頁(yè))(4)
425(25)(25)
mnmnmn
22
?=+?
,它是利用平方差公式因式分解的;綜上,第(2)道題錯(cuò)誤,故選:
B
.8.(3
分)如果
xax
2
++16是一個(gè)完全平方式,則
a
的值是(
)A.
±4B.4C.
±8D.8【解答】解:
xax
2
++16
是完全平方式,∴=±?
axx
24
.∴=±
axx8
.∴=±
a
8.故選:C
.9.(3
分)如圖所示,是一塊三角形的草坪,現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在(
)A.
?ABC
三邊的垂直平分線的交點(diǎn)B.
?ABC
的三條中線的交點(diǎn)C.
?ABC
三條角平分線的交點(diǎn)D.
?ABC
三條高所在直線的交點(diǎn)【解答】解:涼亭到草坪三條邊的距離相等,∴涼亭選擇
?ABC
三邊的垂直平分線的交點(diǎn).故選:
A
.10.(3
分)如圖,已知∠=°
AOB
120
,點(diǎn)
D
是∠AOB
的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)
E
,F(xiàn)
分別在射線OA和射線OB
上,且∠=°
EDF
60
.下列結(jié)論:①
?DEF
是等邊三角形;②四邊形
DEOF
的面積是一個(gè)定值;③當(dāng)
DEOA
⊥
時(shí),
?DEF
的周長(zhǎng)最??;④當(dāng)
DEOB
//
時(shí),
DF
也平行于OA.其中正確的個(gè)數(shù)是(
)第5頁(yè)(共18頁(yè))點(diǎn)
D
是∠AOB
的平分線上的一點(diǎn),∴=
DMDN
,∠=°
AOB
120
,∠=∠=°
DNODMO
90
,∴∠=°
MDN
60
,∠=°
EDF
60
,∴∠=∠
EDNFDM
,∴???
DENDFMASA
(),∴=
DEDF
,∴?DEF
是等邊三角形;故①正確;SS
??
DEMDFN
=
,∴+=+
SSSS
??
DEM
四邊形DEON
四邊形DEONDFN
,即
SS
四邊形DEOF
=
四邊形DMON
,點(diǎn)
D
是∠AOB
的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),∴四邊形
DMON
的面積是一個(gè)定值,∴四邊形
DEOF
的面積是一個(gè)定值,故②正確;DEOA
⊥
,∴點(diǎn)
E
與
N
重合,垂線段最短,∴DE
的值最小,當(dāng)
DE
最小時(shí),
?DEF
的周長(zhǎng)最小,∴當(dāng)
DEOA
⊥
時(shí),
DE
最小,
?DEF
的周長(zhǎng)最小,故③正確,DEOB
//
,∠=∠=°
DDFB
60
,∠=°
AOB
120
,∴∠≠∠
DFBAOB
,∴DF
一定與OA不平行,故④錯(cuò)誤.故選:C
.二、填空題(本大題共
6
個(gè)小題,每小題
3
分,共
18
分)11.(3
分)分解因式:
aba
?=
ab(1)
?
.【解答】解:
abaab
?=?
(1)
.故答案為:
ab(1)
?
.12.(3
分)如圖,屋頂鋼架外框是等腰三角形,其中
ABAC
=
,立柱
ADBC
⊥
于
D
,若
BD
=
8
米,則
BC
=16
米.【解答】解:
ABAC
=
,
ADBC
⊥
,∴==
CDBD
8米,∴==
BCBD
216米,故答案為:16.13.(3
分)若(3)|6|0
ab
?+?=
2
,則以a
、b
為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是
15
.【解答】解:由(3)|6|0
ab
?+?=
2
,得:
a
?=
30
,60
?=
b
,解得a
=
3
,b
=
6
,當(dāng)
3
為腰時(shí),336
+=
,不能構(gòu)成三角形;當(dāng)
6
為腰時(shí),369
<<
,能構(gòu)成三角形,周長(zhǎng)為66315
++=
.第6頁(yè)(共18頁(yè))第7頁(yè)(共18頁(yè))故答案為:15.14.(3
分)已知am
=
3
,
an
=
5,則
amn?
=35.【解答】解:am
=
3,
an
=
5,∴amn?=÷
aa
mn=÷353=
5,故答案為:
35.15.(3
分)如圖,等邊三角形
ABC
的三個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,
A(3,0)
?
,過點(diǎn)
B
作
BDAB
⊥
,交
x
軸于點(diǎn)D
,則點(diǎn)
D
的坐標(biāo)為
(9,0)
.【解答】解:
A(3,0)
?
,∴=
OA
3,?ABC
是等邊三角形,OBAC
⊥
,∴==
OCOA
3,∴==
ACBC
6
,
∠=∠=°
ACBABC
60
,BDAB
⊥
,∴∠=∠?∠=°
CBDABDABC
30
,∴∠=∠?∠=°
BDCACBDBC
30
,∴∠=∠
BDCCBD
,∴==
CDBC
6
,∴=+=
ODOCCD
9
,∴點(diǎn)
D
的坐標(biāo)(9,0)
.故答案為:(9,0)
.16.(3
分)如圖所示,在等腰
?ABC
中,ABAC
=
,∠=°
B
50
,D
為
BC
的中點(diǎn),點(diǎn)
E
在
AB
上,∠=°
AED
70
,若點(diǎn)
P
是等腰
?ABC
的腰
AC
上的一點(diǎn),則當(dāng)
?EDP
為等腰三角形時(shí),∠EDP
的度數(shù)是
140°
或100°
或70°*(
)
.【解答】解:
ABAC
=
,∠=°
B
50
,∠=°
AED
70
,∴∠=°
EDB
20
,當(dāng)
?DEP
是以
DE
為腰的等腰三角形,①當(dāng)點(diǎn)
P
在
P1位置時(shí),
ABAC
=
,
D
為
BC
的中點(diǎn),∴∠=∠
BADCAD
,過
D
作
DGAB
⊥
于G
,
DHAC
⊥
于
H
,∴=
DGDH
,在
RtDEG
?
與
Rt
△
DPH1
中,DEDP
=
1,
DGDH
=
,∴??
RtDEGRt
△
DPHHL
1
()
,∴∠=∠=°
APDAED
1
70
,∠=°?°?°=°
BAC
180505080
,∴∠=°
EDP1
140
,②當(dāng)點(diǎn)
P
在
P2
位置時(shí),同理證得
RtDEGRt
??
△
DPHHL
2
()
,第8頁(yè)(共18頁(yè))第9頁(yè)(共18頁(yè))∴∠=∠
EDGPDH
2
,∴∠=∠=°?°=°
EDPGDH
2
18080100
,③當(dāng)點(diǎn)
P
與點(diǎn)
A
重合時(shí),
?EDP
是等腰三角形,
ABAC
=
,∠=°
B
50
,∴∠=°
BAC
80
,∴∠=
EAD
40
,18040702∴∠==°
EDP°?°
,綜上∠EDP
的度數(shù)為140°
或100°
或70°.故答案為:140°
或100°
或70°.三、解答題(本大題共
9
個(gè)小題,第
17、18、19
題每題
6
分,第
20、21
題每題
8
分,第
22、23
題每題9
分,第
24、25
題每題
10
分,共
72
分,解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(6
分)計(jì)算:
162023|12|8
?+??
03
.【解答】解:
162023|12|8
?+??
03=?+??
41212=
2
.18.(6
分)先化簡(jiǎn),再求值:()()()()
abaabababab
???++÷
2222
,其中
a
=
2,b
=?1.【解答】解:原式
=?+?+++
aabbaabaab
222
2=+
ba
2
,當(dāng)
a
=
2,b
=?1時(shí),原式
=?+=
(1)23
2
.19.(6
分)已知:方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為
1
個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,?ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)
A
的坐標(biāo)為(1,4)
?
.(1)直接寫出?ABC
的面積
S?ABC
=
6
;(2)已知?ABC
與△
ABC
111關(guān)于
y
軸對(duì)稱,請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出△
ABC
111;(3)點(diǎn)
Pab
(,)
與點(diǎn)
A(1,4)
?
關(guān)于
x
軸對(duì)稱,求
2ab
?
的值.【解答】解:(1)
14362S?ABC
=××=
.故答案為:6.(2)如圖,△
ABC
111即為所求.(3)點(diǎn)
Pab
(,)
與點(diǎn)
A(1,4)
?
關(guān)于
x
軸對(duì)稱,∴=
a
1,b
=
4
.∴?=?=?
2242
ab
.20.(8
分)如圖,已知?ABC
和
?ADE
,
ABAD
=
,∠=∠
BADCAE
,∠=∠
BD
,
AD
與
BC
交于點(diǎn)
P
,點(diǎn)C
在
DE
上.第11頁(yè)(共18頁(yè))(1)求證:
ACAE
=
;(2)若∠=°
B
25
,∠=°
APC
65
,求∠E
的度數(shù).【解答】(1)證明:∠=∠
BADCAE
,∴∠+∠=∠+∠
BADDACCAEDAC
,即∠=∠
BACDAE
,在
?BAC
和?DAE
中,BDABADBACDAE∠=∠=∠=∠,∴???
BACDAEASA
()
,∴=
ACAE
;(2)解:∠=°
B
25
,∠=°
APC
65
,∴∠=∠?∠=°?°=°
BAPAPCB
652540
,又∠=∠
BADCAE
,∴∠=°
CAE
40
,由(1)知
ACAE
=
,11(180)(18040)7022∴∠=∠=×°?∠=×°?°=°
EACECAE
.21.(8
分)小雅同學(xué)計(jì)算一道整式除法:(axybxyxy
3223
+÷)(2)
,由于她把除號(hào)錯(cuò)寫成了乘號(hào),得到的結(jié)果為128
xyxy
4334
?
.(1)直接寫出a
、b
的值:
a
=
6
,b
=
;(2)這道除法計(jì)算的正確結(jié)果是;(3)若
xy
=?5,327
xy
?=
,計(jì)算(2)中代數(shù)式的值.【解答】解:(1)(axybxyxyaxybxyxyxy
3223
+?=+=?
)(2)22128
43344334
,∴=
212
a
,
28
b
=?
,∴=
a
6
,b
=?4;故答案為:6,
?4
;(2)(64)(2)32
xyxyxyxyxy
3223
?÷=?
22
;故答案為:32
xyxy
22
?
;(3)32(32)
xyxyxyxy
22
?=?
,
xy
=?5,327
xy
?=
,∴原式
=?×=?
5735
.22.(9
分)如圖,在?ABC
中,DE
垂直平分
AB
,分別交
AB
、BC
于點(diǎn)
D
、E
,AE
平分
∠BAC
,∠=°
B
30
.(1)求∠C
的度數(shù);(2)若
DE
=
2
,求
BC
的長(zhǎng).【解答】解:(1)DE
是邊
AB
上的垂直平分線,∴=
AEBE
,∴∠=∠=°
BBAE
30
.
AE
平分∠BAC
,∴∠=∠=°
BAEEAC
30
,∴∠=∠+∠=°+°=°
BACBAEEAC
303060
,∴∠=°?∠?∠=°?°?°=°
CBACB
180180603090
;(2)
AE
平分∠BAC
,∠=°
ACB
90
,
DEAB
⊥
,∴==
ECED
2
,DE
垂直平分
AB
,∴∠=°
BDE
90
.在
?BDE
中,∠=°
BDE
90
.∠=°
B
30
.∴==
BEDE
24
.∴=+=+=
BCBEEC
42623.(9
分)在課后服務(wù)課上,老師準(zhǔn)備了若干張如圖
1
的三種紙片,
A
種紙片是邊長(zhǎng)為
a
的正方形,B
種第12頁(yè)(共18頁(yè))第13頁(yè)(共18頁(yè))紙片是邊長(zhǎng)為b
的正方形,C
種紙片是長(zhǎng)為b
,寬為
a
的長(zhǎng)方形,并用
A
種紙片一張,B
種紙片一張,C
種紙片兩張拼成如圖
2
的大正方形.【發(fā)現(xiàn)】(1)根據(jù)圖
2,寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式
()2
abaabb
+=++
222
;【應(yīng)用】(2)根據(jù)(1)中的數(shù)學(xué)公式,解決如下問題:①已知:
ab
+=
7,
ab
22
+=
29
,求
ab的值;②如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為(11)
?
x
和(4)
x
?
,且(11)(4)30
?+?=
xx
22
.求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.【解答】解:(1)由圖
2
可知,()2
abaabb
+=++
222
,故答案為:()2
abaabb
+=++
222
;(2)①ab
+=
7
,
ab
22
+=
29()()4929
2221022ab
=
abab
+?+?==
.②令11?=
xm
,
xn
??
4
,則
mm
22
+=
30
mn
+=
7
,()()
2222mnmnmn+?+∴=49302?=192=,即(11)(4)192??=
xx.故這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為192.24.(10
分)我們定義:如果兩個(gè)多項(xiàng)式
M
與
N
的和為常數(shù),則稱
M
與
N
互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,這個(gè)常數(shù)稱為它們的“對(duì)消值”.如
MFxx
=?+
26
2
與
Nxx
=?+?
21
2
互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,它們的“對(duì)消值”為
5.(1)下列各組多項(xiàng)式互為“對(duì)消多項(xiàng)式”的是
②③
(填序號(hào)):①32
xx
2
+
與32
x2
+
;②
x
?
6
與
?+x
2
;③
?+
52
xyxy
23
與521
xyxy
23
??
.(2)多項(xiàng)式
Axa
=?
()2
與多項(xiàng)式
Bbxxba
=??+
2
2(
,b
為常數(shù))互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,求它們的“對(duì)消值”;(3)關(guān)于
x
的多項(xiàng)式Cmxx
=++
2
64
與
Dmxxn
=?++
(1)()互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,“對(duì)消值”為t
.若
abm
?=
,bcmn
?=
,求代數(shù)式
abcabbcact
222
++???+
2
的最小值.【解答】解:(1)3232622
xxxxx
222
+++=++
,xx
??+=?
624,?++??=?
525211
xyxyxyxy
2323
,∴①組多項(xiàng)式不是互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,②③組多項(xiàng)式是互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,故答案為:②③;(2)
Axaxaxa
=?=?+
()2
222
,
Bbxxb
=??+
2
2
,∴+
AB=?+??+
xaxabxxb
222
22=?+??++
(1)(22)()
bxaxab
22
,
A與
B
互為“對(duì)消多項(xiàng)式”,∴?=
10
b
,
??=
220
a
,解得
a
=?1,b
=1.∴+
ab
2=?+
(1)1
2=+11=
2,∴它們的“對(duì)消值”是
2;(3)Cmxx
=++
2
64
,
Dmxxnmxmnmxmn
=?++=?+???
(1)()()
2
,∴+=??+?
CDmnmxmn
(6)(4)
,C
與
D
互為“對(duì)消多項(xiàng)式”且“對(duì)消值”為t
,第14頁(yè)(共18頁(yè))第15頁(yè)(共18頁(yè))abm
?=
,bcmn
?=
,∴?=?+?=+=
acabbcmmn
()()6
,∴++???+
abcabbcact
222
21[()()()]2
2222=?+?+?+
abbcact1[()6]2(2)
2222=+++?
mmnm1[(6)6]2(2)
2222=+?++?
mmm=?+
mm
2
432=?+
(2)2828
m
2
,∴代數(shù)式
abcabbcac
222
++===+
2
的最小值是
28.25.(10
分)已知點(diǎn)
Aab
(,)
是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn),且|3|690
abb
++?+=
2
,點(diǎn)
Bxy
(,)
是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),
?ABC
是以
AB
為斜邊的等腰直角三角形(點(diǎn)
A
、
B
、C
逆時(shí)針排列).(1)直接寫出點(diǎn)
A
的坐標(biāo):
A
(3,3)
?
;(2)如圖
1,當(dāng)點(diǎn)
B
位于
x
軸正半軸上時(shí),求證:OCBC
=
;(3)如圖
2,點(diǎn)
B
在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng),?<<
30
x
,03
<<
y
,
AHx
⊥
軸于點(diǎn)
H
,點(diǎn)G
是OB
的中點(diǎn).現(xiàn)在給出兩個(gè)結(jié)論:①
BGAB為定值;②∠CGH
的大小為定值,其中有且只有一個(gè)是正確的,請(qǐng)找出正確的結(jié)論并加以證明.【解答】(1)解:|3|690
abb
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