數(shù)學同步優(yōu)化訓練：平面向量基本定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3平面向量的基本定理及坐標表示2。3.1平面向量基本定理5分鐘訓練（預習類訓練，可用于課前)1。已知AM是△ABC的BC邊上的中線，若=a,=b,則等于()A.（a—b)B。(b-a)C.（a+b）D。(a+b）答案：C2。如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么（)A。若實數(shù)λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0B?？臻g任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2，這里λ1、λ2是實數(shù)C.對實數(shù)λ1、λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)D。對平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對解析:平面α內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式,而不是空間內(nèi)任一向量，故B不正確；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α內(nèi)；而對平面α中的任一向量a，實數(shù)λ1、λ2是唯一的。答案:A3。如圖2—3—1，D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的中點,且=a，=①=a—b；②=a+b；③=a+b;④=0。其中正確命題的序號為_______________________。圖2-3-1解析：如圖所示，=—b+=—ba,=a+b，=-b—a,+=b+（—b-a)=ba,=—ba+a+b+ba=0.所以應填①②③④。答案：①②③④4.如圖2-3-2，ABCD的兩條對角線相交于點M，且=a，=b，用a、b表示、、和。圖2解：在ABCD中，∵=a+b,=a-b,∴=—AC=-(a+b）=—a-b，==（a-b)=a—b,==a+b，=—a+b。10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中）1。向量，，的終點A，B,C在一條直線上，且=-3.設=p,=q，=r，則下列等式成立的是(）A.r=p+qB.r=—p+2qC.r=pqD.r=—q+2p解析：由，得,即.∴=+，即r=p+q.答案：A2.設一直線上三點A,B,P滿足=λ（λ≠1），O是空間一點,則用，表示為（）A。=+λB.=λ+(1-λ)C。=D.=+解析:由=λ（λ≠1），得=λ(）,即=。答案:C3.已知四邊形ABCD是菱形,點P在對角線AC上（不包括端點A，C)，則等于（）A。λ（），λ∈（0，1)B。λ（)，λ∈(0,）C.λ（)，λ∈(0,1)D。λ（),λ∈（0,）解析：∵點P在對角線AC上，∴與共線。又,∴=λ(）.當P與A重合時，λ=0;當P與C重合時，λ=1。答案：A4。（2006高考安徽卷，理14）在ABCD中，=a，=b，,M為BC的中點，則=_________________（用a、b表示).解析：=+=+（)=b+[—b+(-a）］=（b-a)。答案:(b—a）5。如圖2-3—3所示,四邊形ABCD為矩形，且AD=2AB，又△ADE為等腰直角三角形，F(xiàn)為ED中點,=e1,=e2,以e1、e2為基底，表示向量、、及.圖2解:∵=e1,=e2,∴=e2—e1。依題意有：AD=2AB=DE,且F為ED中點,∴四邊形ABDF為平行四邊形.∴=e2-e1，=e2.∴=e2-e1+e2=2e2-e1。30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后）1。在△ABC中，設=m,=n，D、E是邊BC上的三等分點,則=_______________，=_____________________.解析：由D、E是邊BC上的三等分點，可得=,BE=，轉(zhuǎn)化為已知向量即可。答案:m+nm+n2。平面直角坐標系中，O為坐標原點,已知兩點A(3，1），B(-1,3）,若點C滿足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為________________________________.解析：將點C所滿足的向量式條件轉(zhuǎn)化為直角坐標的方程式即為點C的軌跡方程.答案：x+2y-5=03。如圖2—3—4所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知=c,=d，試用c,d表示和.圖2-3-4解:設=a,=b，則由M、N分別為DC、BC的中點可得=b，=a.從△ABN和△ADM中可得解之,得即=（2d-c)，=(2c—d）.4.如圖2—3—圖2-3-5證明：M為AB中點，MH∥AF，則=x.設=a,=b，=+x,=a+2x.又E為CM的中點,==.=，==。又=(a+2x）—（）.由，(a+2x)-(）+（)=b,+x+=b,3x=b—a,x=（b-a）.=(b—a)，而=(b-a）(b-a）=(b—a）.∴.5。如圖2—3—6所示的△OAB中，=a,=b，M、N分別是邊、上的點,且=a,=b,設與相交于點P，用向量a、b表示。圖2-3解：，.設，，則=a+m（ba）=(1—m)a+mb,=b+n（ab)=(1—n)b+na?！遖，b不共線，∴∴=a+b。6.如圖2—3-圖2—3—7證明：∵E是對角線AC和BD的交點，∴，。在△OAE中,,同理，，,以上各式相加，得.7.證明三角形的三條中線交于一點。證明：如圖，令=a，=b為基底,則=b—a，=a+b，=b-a.設AD與BE交于點G1，并設=λ,=μ,則有=a+b-b=a+b,=a-b-μa+b=(1—μ）a+b,∴解之,得λ=μ=.∴=。設AD與CF交于點G2，