數(shù)學同步優(yōu)化訓練：向量在物理中的應(yīng)用舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.5。2向量在物理中的應(yīng)用舉例5分鐘訓練（預(yù)習類訓練，可用于課前)1.用力F推動一物體G，使其沿水平方向運動s，F(xiàn)與垂直方向的夾角為θ，則F對物體G所做的功為(）A。F·s·cosθB.F·s·sinθC.|F||s|cosθD。|F｜｜s|sinθ解析：根據(jù)力對物體做功的定義，W=｜F|｜s｜cos(90°-θ）=｜F｜|s｜sinθ。答案：D2。一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1、水速為v2,已知船可垂直到達對岸，則（)A。|v1｜＜｜v2｜B.|v1|＞｜v2｜C。|v1｜≤|v2｜D.|v1｜≥|v2｜解析:只有當船速大于水速時，船速在水速方向的分速度能夠和水速抵消，船才能垂直到達對岸.答案:B3.已知三個力F1=（3，4)，F(xiàn)2=(2,-5），F(xiàn)3=（x，y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐標.解：由題設(shè)F1+F2+F3=0，得(3，4）+（2，-5）+(x，y）=(0，0)，即∴∴F3=（—5，1）。10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中）1.一位年輕的父親將不會走路的小孩的兩條胳膊懸空拎起,結(jié)果造成小孩胳臂受傷，試用向量知識加以解釋.解：設(shè)小孩的體重為G,兩胳膊受力分別為F1,F2，且F1=F2，兩胳膊的夾角為θ，胳膊受力分析如圖（不計其他因素產(chǎn)生的力)，不難建立向量模型：｜F1|=，θ∈［0，π］，當θ=0時，｜F1|=；當θ=時,|F1|=|G｜；又∈(0，)時,|F1|單調(diào)遞增,故當θ∈（0，）時,F1∈（，|G｜）,當θ∈(,π)時，｜F1|＞|G｜。此時,欲懸空拎起小孩則容易造成小孩受傷.2。某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛,感到風從正北方向吹來；而當速度為2a時，感到風從東北方向吹來.試求實際風速和方向。解:設(shè)a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風時此人感到風速為-a,設(shè)實際風速為v，那么此時人感到的風速為v-a.設(shè)=-a,=—2a.∵，∴=v—a.這就是感到由正北方向吹來的風速?！?，∴=v—2a.于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風速就是.由題意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，可知△POB為等腰直角三角形，∴PO=PB=,即｜v|=。∴實際風速是的西北風。3。已知兩恒力F1=（3，4）,F2=（6，-5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20，15）移動到點B(7,0).試求:（1）F1、F2分別對質(zhì)點所做的功；(2)F1、F2的合力F對質(zhì)點所做的功。解析：設(shè)物體在力F作用下位移為s，則所做的功為W=F·s。=（7，0）-（20,15）=（-13,—15)。(1）W1=F1·=（3，4)·（-13,—15)=-99(焦耳)。W2=F2·=（6,—5)·(-13,—15）=—3(焦耳）.(2)W=F·=(F1+F2)·［（3,4)+（6,—5)］·(-13，—15)=(9,-1）·(-13,-15)=-102（焦耳）。4。在靜水中劃船的速度是每分鐘40米,水流的速度是每分鐘20米。如果從岸邊O點出發(fā)，沿著垂直于水流的航線到達對岸，試問小船的行進方向應(yīng)指向哪里？解析：用向量的長度和方向分別表示水流的速度和方向,用表示船行進的方向,它的長度表示船的速度.以、為鄰邊作平行四邊形OACB,連結(jié)OC.依題意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，∴∠BOC=30°,即船應(yīng)沿上游與河岸夾角為30°的方向行進。30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后)1.平面上有兩個向量e1=（1,0），e2=(0,1),今有動點P從P0（—1,2)開始沿著與向量e1+e2相同的方向作勻速直線運動，速度大小為｜e1+e2|.另一點Q從Q0(-2，1）出發(fā)，沿著與向量3e1+2e2相同的方向作勻速直線運動，速度大小為|3e1+2e2|.設(shè)P、Q在t=0秒時分別在P0、Q0處，則當PQ⊥P0Q0時，t=______________________.解析：∵P0(-1,2),Q0（-2,1)，∴=(—1,—3）。又∵e1+e2=（1,1)，∴｜e1+e2｜=?！?e1+2e2=（3，2),∴|3e1+2e2｜=.∴當t時刻時，點P的位置為(-1+t,2+t),點Q的位置為(-2+3t,—1+2t)?！?(—1+2t,—3+t）.∵PQ⊥P0Q0,∴(—1）·(—1+2t)+(-3)·(-3+t)=0?！鄑=2。答案：22。如圖2-5—6所示,已知兩個力F1、F2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60°，|F|=10N。求F1圖2-5-6解：｜F1|=|F|cos60°=10×=5N，|F2|=｜F|sin60°=10×=N?！郌1的大小為5N，F(xiàn)2的大小為N.3。一艘船從A點出發(fā)以v1的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為v2,船實際航行的速度的大小為4km/h，方向與水流間的夾角是60°，求v1和v2.解：｜v1|=｜v｜·sin60°=4×=（km/h)，|v2|=|v｜·cos60°=4×=2(km/h)。∴v1的大小為km/h，v2的大小為2km/h。4.飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行.設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移.解：如圖所示，設(shè)A在東西基線和南北基線的交點處.依題意,的方向是北偏西60°，｜｜=1000km;的方向是南偏西60°,|｜=2000km,所以∠BAC=60°.過點B作東西基線的垂線，交AC于點D，則△ABD為正三角形.所以BD=CD=1000km，∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=ACsin60°=2000×=(km)，||=(km）.所以飛機從B地到C地的位移大小是km，方向是南偏西30°.5.已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50N，一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運動了20m.問力F和摩擦力f所做的功分別為多少?(g=10m/s2)解：如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，則F·s=｜F|｜s|cos30°=50×20×=(J)。將力F分解,它在鉛垂方向上的分力F1的大小為｜F1｜=｜F|sin30°=50×=25（N），所以，摩擦力f的大小為｜f｜=|μ（G—F1）|=（80-25）×0.02=1。1（N)。因此f·s=|f｜｜s｜cos180°=1.1×20×（—1）=-22（J）.即F和f所做的功分別是J和—22J。6。如圖2-5-7所示,有兩條相交成60°的直線xx1、yy1,交點為O。甲、乙分別在Ox、Oy1上,起初甲位于離O點3km的A處，乙位于離O1km的B處.后來兩個人同時用每小時4km的速度，甲沿xx(1)起初兩個人的距離是多少？（2)什么時候兩人的距離最近?（△ABC的三邊長為a，b，c,則有如下結(jié)論：b2=a2+c2—2accosB)圖2解：(1）起初兩人分別在A、B兩點，則｜｜=3,||=1。∴||=｜｜2+｜|2—2｜｜｜|cos60°=9+1-2×3×1×=7.∴|｜=km，即起初兩人相距km。(2）設(shè)甲、乙兩人t小時后的位置分別是P、Q，則｜|=4t，||=4t,又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向運動，∴當0≤t≤時，|｜2=（3—4t）2+（1+4t)