2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值（十六大題型）（講義）（解析版）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航...........................................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的單調(diào)性.........................................................................4

知識點2：函數(shù)的最值...........................................................................5

知識點3：函數(shù)的奇偶性.........................................................................5

知識點4：函數(shù)的周期性.........................................................................6

知識點5：函數(shù)的對稱性.........................................................................7

解題方法總結(jié)...................................................................................7

題型一：單調(diào)性的定義及判斷...................................................................10

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷.................................................................12

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性.....................................................................14

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值.............................................................16

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍...........................................................19

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小.......................................................22

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明.............................................................24

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)...............................................................28

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值.......................................................30

題型十：奇函數(shù)的中值模型.....................................................................31

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................36

題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用...................................................................38

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用...................................................................41

題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用...........................................................44

題型十五：類周期與倍增函數(shù)...................................................................49

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性..........................................52

04真題練習(xí)?命題洞見..........................................................................57

05課本典例?高考素材..........................................................................60

06易錯分析?答題模板..........................................................................63

易錯點：判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域...........................................................63

答題模板：判斷函數(shù)的奇偶性...................................................................63

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年I卷第4、11題，10分從近幾年高考命題來看，本節(jié)是高

(1)函數(shù)的單調(diào)性2023年甲卷第13題，5分考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

(2)函數(shù)的奇偶性2022年H卷第8題，5分性、對稱性、周期性是高考的必考內(nèi)

(3)函數(shù)的對稱性2022年I卷第12題，5分容，重點關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性

(4)函數(shù)的周期性2021年D卷第8題，5分結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和

2021年甲卷第12題，5分不等式相結(jié)合進(jìn)行考查.

復(fù)習(xí)目標(biāo):

(1)借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

(4)會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

一般地，設(shè)函數(shù)/(.、)的定義域為％區(qū)間DG.4：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的植

當(dāng)吃K時,都仃/g</(.vj,則/(.v)Th區(qū)間Z)上是增函數(shù).

Y］調(diào)函數(shù)的定義

般地,設(shè)函數(shù)/(.V)的定義域為H區(qū)間。G：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值

當(dāng)時，都有/(.vjv/CvJ,則/(x)在區(qū)間。上是減函數(shù).

單調(diào)性

如果函數(shù)尸/(*僑區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

單調(diào)區(qū)間的定義

則函數(shù)r=/(x)在這?區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間/叫做r=/(x)的單調(diào)區(qū)間

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函

數(shù),內(nèi)層函數(shù)是熠(減)函數(shù),豆合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是熠(減)函數(shù),內(nèi)層函

數(shù)是減(增)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

(l)V.vez),都有/(2二監(jiān)

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM；

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

圖像關(guān)于T軸對稱

對于函數(shù)/(K)的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(?K)=/(X))

奇偶性

圖像關(guān)于原點對稱

對于函數(shù)/(2的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒數(shù)丁=/C),如果存在一個非零常數(shù)r,

函數(shù)的性質(zhì)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有/&+乃=/(2,

那么就稱函數(shù)箕=/(.”為周期函數(shù)

/(?v)=/(.v+?)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期結(jié)論

人'+加抽”=嗎

2=搐"=4同

/(?"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函數(shù)7=/(工+。)為偶函數(shù),則函數(shù)j=/(x)關(guān)于x=a對稱)

《若函數(shù)尸/。+。)為奇函數(shù),則函數(shù)J=/(K)關(guān)于點00)對稱\)

<若/(M=，Qa-x),則函數(shù)/代)關(guān)于對稱)

(若/(2/(2。?2=2瓦則函數(shù)/(M關(guān)于點(。力)對稱、)

老占突硒?力理慳宙

1r知識國*'

知識點1:函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域為A,區(qū)間

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值占，*2當(dāng)占＜々時，都有/（%）＜/（無2），那么就說了⑺在區(qū)間

D上是增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值不，x2,當(dāng)不＜/時，都有人占卜〃々），那么就說了（%）在區(qū)

間D上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量％,%且為＜工2；

③都有/（%］）＜f（x2）或/（Xj）＞〃尤2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)〃尤）在區(qū)間。上具

有單調(diào)性，。稱為函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是

增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減

函數(shù).

【診斷自測】（2024?高三?上海楊浦?期中）已知函數(shù)y=/（x）,xeR.若/⑴＜〃2）成立，則下列論

斷中正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在（YO,+CO）上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/（x）在（-＜?,+＜?）上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)/(x)在(-w,y)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(x)在(YO,+CO)上不可能是減函數(shù).

【答案】D

【解析】因為函數(shù)丁=/(力，xeR且/⑴</(2)成立，

則函數(shù)/(尤)在(-<?,??)上不可能是減函數(shù)，可能是增函數(shù)，也可能不是增函數(shù)，

如/(x)=f,滿足但是/⑺在(-?),y)上不具有單調(diào)性，

故D正確，A、B、C錯誤.

故選：D

知識點2：函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=〃x)的定義域為。，如果存在實數(shù)M滿足

①VxcD,都有@3x0eD,使得則M是函數(shù)y=的最大值;

①VxwD,都有@3x0eD,使得〃M)=",則M是函數(shù)y=/(無)的最小直

【診斷自測】(2024?高三?北京?開學(xué)考試)函數(shù)+的最小值為_____.

x-1

【答案】I

【解析】設(shè)"X-1，止2,

11

貝n!IJy=-----1+x=t+-,

x-\t

又函數(shù)y=/+；在［1,+s)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，=2,即％=3時，

函數(shù)y=f+：有最小值2+；=：,

故答案為：

知識點3：函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

/(-%)=/(%),那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

/(-%)=-/(%),那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

【診斷自測】(2024?高三?河北唐山?期末)函數(shù)/⑴為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下

列結(jié)論一定正確的是()

A./(x)+g(x)為奇函數(shù)B.〃x)+g(x)為偶函數(shù)

C.〃x)g(x)為奇函數(shù)D./(x)g(x)為偶函數(shù)

【答案】C

【解析】令片(X)=/(x)+g(x),貝I]G(T)=/(-尤)+g(T)=-/(x)+g(x)R-月(x),且耳(-X)H4(X),

，耳(X)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯誤；

令人(%)=令x)g(x),則F2(-X)=/(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F2(X)，且F2(-x)/鳥(X),

，耳(X)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯誤；

故選：C

知識點4：函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

f(x+T)=Ax),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(%)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做/(%)的最小正周

期.

【診斷自測】若偶函數(shù)了(X)對任意xeR都有4x+3)=-1，且當(dāng)無€[-3,-2]時，/(尤)=4尤，貝|

/(X)

/(113)=_.

【答案】1/0.125

O

【解析】由題設(shè)/(X+6)=-7'="X),即偶函數(shù)/(元)的周期為6,

/(x+3)

所以/(113)=/(6xl7+l)=/?⑴=”-2+3)=-7^="

故答案為：—

o

知識點5：函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=。對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(尤)關(guān)于點((7,0)對稱.

(3)若f(x)=f(2a-x)，則函數(shù)/(%)關(guān)于x=。對稱.

(4)若/(x)+/1(2a-x)=2人，則函數(shù)/(元)關(guān)于點(a，8)對稱.

【診斷自測】若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=ln尤的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則g(x)=.

【答案】In(4—尤)

【解析】在函數(shù)y=g(x)的圖象上任取一點(x,y),則點(尤，y)關(guān)于直線x=2對稱的點為(4—x,y),

且點(4—x,y)在函數(shù)y=lnx的圖象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4-x),

故答案為：ln(4-x)

解題方法總結(jié)

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)%，%是/(尤)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且不＜龍2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(X)是增函數(shù)，則-/(X)為減函數(shù)；若/(x)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②若/(%)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在f(x)和g(尤)的公共定義域上/(%)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

③若/(尤)>0且“X)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，一匚為減函數(shù)；

f(.x)

④若/(尤)>0且/(x)為減函數(shù)，則函數(shù)6萬為減函數(shù)，,為增函數(shù).

f(.x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(乃是偶函數(shù)o函數(shù)/(幻的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(X)是奇函數(shù)O函數(shù)于(X)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=。；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足f(x)=f(\xI).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的

兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(尤)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(無)=g"(x)+/(f)］，/?(%)=1［/(x)-/(-x)］，貝I/(%)=g(x)+h(x).

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數(shù)，如/(X)+g(x),f(x)-g(x),/(X)Xg(x),/(x)+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇、(十)奇=偶；奇、(+)偶=奇；偶、(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)=+1)(xA0)或函數(shù)/(%)=m(-_-).

a-1a+1

②函數(shù)/(%)=±(a'-a~x).

③函數(shù)f(x)=logfl葉生=log”(1+3-)或函數(shù)f(x)=log“二二”=log。(1一--)

x—mx—mx+mx+m

22

④函數(shù)/(%)=loga(7x+1+x)或函數(shù)f(x)=logj^x+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(%)=加或函數(shù)/(幻=m-3_(加￡尺).

ax-1ax+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/。)=±(優(yōu)+「).

w

②函數(shù)/(x)=loga(a+l)-^.

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(%)2T

/(x+T)='"(x+T)=-——

2T

/(尤)f(x)

f(x+T)=/(x-T)2T

/(x+T)=-/(x-D4T

f于(a+x)=f(a-x)

\f(b+x)=f(b-x)2s-〃)

\于(a+x)=f(a-x)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

f(a+x)=-f(a-尤)

2(Z?-a)

1f(b+x)=-于(b-尤)

于(a+無)=~f(a-x)

2a

!/(尤)為奇函數(shù)

f(a+尤)=f(a-x)

4s-a)

f(b+尤)=~f(t>~尤)

\f(a+x)=f(a-x)

4。

[/(尤)為奇函數(shù)

/(?+尤)=~f(.a-x)

4〃

/(尤)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=f(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(無)是周期函數(shù)，且7=2(6-°)；

(2)若函數(shù)y=f(無)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<8),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=2(6—a)；

(3)若函數(shù)y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(6,0)(4<6),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，

且T=4(6-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=f(尤)關(guān)于直線x=a對稱，則/(a+x)=/(a-x).

(2)若函數(shù)y=f(尤)關(guān)于點(a,6)對稱，則/'(a+x)+/(a-x)=2力.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-尤)關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(a—x)關(guān)于原點對稱.

題型洞察

題型一：單調(diào)性的定義及判斷

【典例1-1](2024?陜西榆林?一模)已知函數(shù)/⑴在[0,+8)上單調(diào)遞增，貝慟實數(shù)。>0力>0,

是“的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為函數(shù)/(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增，且。>0/>0,

由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)〃“時，有〃。)>/伍)，

充分性成立；當(dāng)時，若。=6,由函數(shù)定義可知矛盾，

若a<b,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知矛盾，則a>6,必要性成立.

即對實數(shù)。>0/>0,-a>b”是“/⑷>/⑸”的充要條件.

故選：C

【典例1-2](2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)下列函數(shù)中，滿足“對任意的孫Zw(0,yo)，使得

/(入)―/(々)<0,,成立的是()

玉~X2

A./(x)=-x2-2x+1

B./(x)=x--

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，“對任意的%,%€(0,+8),使得"百)一//)<0,,,則函數(shù)/(x)在(0,+8)上為減函數(shù).

xl—x2

對于選項A,f(x)=-x2-2x+l,為二次函數(shù)，其對稱軸為x=-1,在(0,+S)上遞減，符合題意；

對于選項B,/(%)=%--,其導(dǎo)數(shù)尸(x)=l+4,所以Ax)在(0,+s)上遞增，不符合題意；

對于選項c,/a)=x+i為一次函數(shù)，所以/⑺在?+功上遞增，不符合題意;

對于選項D,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，/（x）=log2（2x）+l在（0,+8）上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：A.

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)/（無）="/+：的圖象恰如其形，因而得名三

叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)“力=依2+、的圖

象經(jīng)過點（2,8）,且"-2）=0.

⑴求函數(shù)/⑺的解析式；

（2）用定義法證明：”X）在（-雙。）上單調(diào)遞減.

4a+—=8

9

【解析】（1）由題意可知7，

J=o

[2

解得"=1,b=8,

Q

故〃x）=V+—（xwO）.

X

（2）證明：Yx、,x2G（-oo,0）,且不<x2，貝！J

玉Ix2Jx,x2

=（%-X2）（Xj+x2）+—―

=（七一）（玉+%2）-----

|_玉%2

=__竺.[再/（芯+々）_8].

玉％2

由毛，9W（Y°，°）且芯<%,

得xxx2>0,xi-x2<0,石+%2<0,

所以“~—<0,玉龍2（玉+九2）—8V。，

所以—~?[尤1%2（占+%）-8]>0,

則/(%)-/(々)>。，即/(%)>/(%).

故/(X)在(-g0)上單調(diào)遞減.

【變式1-2](2024?高三?上海?期中)由方程WH+yN=l確定函數(shù)y=/(x),則y=/(x)在(y,e)

上是()

A.增函數(shù)B,減函數(shù)C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

【答案】B

【解析】當(dāng)xNO且>20時，x2+y2=l,

當(dāng)x>0且"。時，x2-y2=1,

當(dāng)x<0且y>0時，/-尤2=1,

當(dāng)x<0且y<0時，無意義，

如圖：

結(jié)合圖象可知，了=/("在(-8,8)上是減函數(shù).

故選：B

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

【典例2-1】函數(shù)/(X)=(g)42A8的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+co)D.(1,+co)

【答案】A

【解析】函數(shù)/(X)=(；)"3-8的定義域為R,函數(shù)〃=三一2十-8在(一叫1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

而函數(shù)yng)11在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)/(X)在(一凡1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)=(g)F3-8的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1).

故選：A

【典例2-2】(2024?高三?浙江紹興?期末)函數(shù)y=ln(尤2一2耳的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-co,l)B.(1,+℃)C.(-oo,0)D.(2,+co)

【答案】C

【解析】由y=ln(f_2x),

:.X2-2X>0^解得xv0或1〉2,

所以函數(shù)y=ln(尤2_2龍)的定義域為(F,0)_(2,+W),

令〃=/-2巧則函數(shù)〃=/一2彳在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=In”在(0,+8)上為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得y=ln(x2-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).

故選：C.

【方法技巧】

討論復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性.一般

需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性,

再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若a=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=/[g(x)]為增函數(shù)；

2、若a=g(無)，,=/(")在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則、=/出(無)]為減函

數(shù).列表如下：

M=g(X)y=/(?)y=f[gMl

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

【變式2-1](2024?高三?甘肅?開學(xué)考試)函數(shù)〃x)=2,cos：-3尤的單調(diào)遞減區(qū)間是()

7i2kn7i2左兀7i2E5兀2防i

A.-------1--------,-------1--------(左wZ)B.一+---,一+---(keZ)

43123123123

兀2E兀2kli7i2左兀兀2kli

C.---------1--------,-------1---(-)-1---eZ)D.一+---，一+---(keZ)

12312312343

【答案】D

【解析1/(%)=2/cos^-3x^=2/cos一；J,

由題意>=cos單調(diào)遞減，且cos(3x-20,

貝IJ2EW3%—工<二+2配次EZ,^―+-<%<-+—,keZ,

4212343

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是2L+—+eZ).

故選：D.

]

【變式2?2】函數(shù)”元)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(

Jx~-8x+15

A.(-℃,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.(4,+oo)

【答案】C

1

【解析】由〃力=G-8X+15可得人8元+15>0,

解得％<3或x>5,

由y=%2—8%+15圖象的對稱軸為％=4,

則y=兀2一8%+15在[4,+00)上單調(diào)遞增,

1

故f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間為(5,+8),

Jx2-8x+15

故選：C

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性

—X+2ox,x<1

【典例3?1】(2024?陜西商洛?一模)已知函數(shù)?是定義在R上的增函數(shù)，則〃的

[(3-〃)尤+2,%>1

取值范圍是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

_丫2?2/^7Y系<1

~~二一，是定義在R上的增函數(shù)，

(3—a)x+2,x>1

——>1

-2

所以<3-〃〉0,解得

-1+2。<3—〃+2

故選：B

/、{（a-2）x+4a-6,x<l/,（%,）-f（x）_

【典例3-2】已知函數(shù)〃x）=：/,滿足對于任意的七，%（而/弓）都有八，一八?2^>（）成

立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

【答案】B

,/（x）-于（X。）八

【解析】根據(jù)題意，對于任意的周，無2（無產(chǎn)%）都有_>°成立

X]—%2

/、f（6z-2）x+4tz-6,x<l

則函數(shù)/（%）=t+；x〉i在尺上是增函數(shù)

a—2〉0

「?<a>1,解得。（2,5,

（a—2）x1+4a—64a'+2

故選：B.

【方法技巧】

函數(shù)/。）=F（刈'"在R上為增函數(shù)，貝人

[Z（x）,x>m

①$（x）在（-00,河上單調(diào)遞增；②4尤）在（北+8）上單調(diào)遞增；③S（〃2）Wf（〃2）.

函數(shù)在R上為減函數(shù)，貝1

[心）,x>m

①s（x）在（F）,〃d上單調(diào)遞減；②心）在（私+00）上單調(diào)遞減；③S（"2）Zf（"2）.

\ax+\—a,0<x<\f（x\—f（x.}

【變式3-1】已知函數(shù)2,若％,/e0,2）,石工馬，都有’八">。成立,

2*一口，1<尤42々一尤1

則。的取值范圍為（）

A.（0,2]B.（-8,1]C.（0,1]D.（0,+巧

【答案】C

【解析】因為對于氣,馬?0,2）,西7馬，都有"斗）一,，）>0成立,所以函數(shù)“X）是增函數(shù)，

則函數(shù)y=?x+1_a（0Vx41）和'=2'-"（1（尤〈2）均為增函數(shù)，且有142~，

Q〉0

即，,解得0<aWL

2?>1

故選：C.

（2?-3）x+2,x<l

【變式3-2】已知函數(shù)〃x）=<a?是R上的減函數(shù)，則，的取值范圍是（

一,%>1

33

A.0<a<一B.1Wa<—

22

3<3

C.0<aV—D.1<tz<—

22

【答案】B

（2a-3）x+2,xW1

【解析】由于函數(shù)〃x）=a是定義在R上的減函數(shù),

—,x>l

所以，函數(shù)y=（2a-3）x+2在區(qū)間（-哂1］上為減函數(shù),

函數(shù)y=@在區(qū)間（1,內(nèi)）上為減函數(shù)，且有1?（2。-3）+22”,

X

2。—3<0

3

即〃〉0,解得工

2a-l>a

因此，實數(shù)a的取值范圍是1,|：

故選：B.

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

【典例4-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)%￡。仁，則函數(shù)y=Jsinx+Jcosx的最大值為.

【答案】21

【解析】設(shè)1=Jsinx+Jcosx,。弓,兩邊平方得=sin%+cosx+2jsinxcosx.

設(shè)，=sinx+cosx,兩邊平方得產(chǎn)=sin之％+2sin%cosx+cos2x=l+2sinxcosx，

2-l

貝1Jsinxcosx=-r------，

2

-十八//兀兀,兀，371.I71I［―

由于OWx<一,—<%+—<—,r貝V=smx+lcosx=，2sin%+—,1<r<J2，

24444J

又由于9=/+2后l在區(qū)間［1,血］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=0時,V的最大值為20，

則y=Jsinx+Jcosx在區(qū)間0,—上的最大值為（2&戶=2^-

故答案為：21

【典例4-2］若函數(shù)〃x）=f-2x+歸-磯a>0）在［0,2］上的最小值為1,則正實數(shù)。的值為.

13

【答案】v

4

【解析】由題可得“尤）=爐-2x+|x-a|=［：:a,x>a,

因為函數(shù)/（力=%2-2了+,一4（°>0）在［0,2］上的最小值為1,

當(dāng)0<a4；時，在［0,2］上，“X）在0,1單調(diào)遞減，Q,2單調(diào)遞增，

所以=/（3］=；一1一°=1，解得.（舍）；

1Q

當(dāng);時，在［0,2］上“X）在［0,可單調(diào)遞減，（a,2］單調(diào)遞增，

所以/⑺皿=〃。）=。2-2。=1，解得a=l土&（舍）；

當(dāng)a>：時，在［0,2］上，〃x）在［0,：］單調(diào)遞減，3,21單調(diào)遞增，

所以〃初「43=：C+”1,解得由*

13

故答案為：--

4

【方法技巧】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)y=/*（尤）在區(qū)間（〃，6］上是增函數(shù)，在區(qū)間屹，c）上是減函數(shù)，貝U函數(shù)y=/（x）（xea,c）

在x=b處有最大值/（〃）.

2、如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（〃，句上是減函數(shù)，在區(qū)間屹，c）上是增函數(shù)，貝U函數(shù)y=/（x）（x￡a,°）

在％斗處有最小值那）.

3、若函數(shù)、=/（%）在［a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）在［a,切上一定有最大、最小值.

4、若函數(shù)y=>(%)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)遞增,則y=/(%)的最大值是，(份,最小值是/(〃).

5、若函數(shù)y=/(;r)在區(qū)間［a,切上是單調(diào)遞減，則y=，(%)的最大值是/(a),最小值是/(A).

【變式4-11(2024?上海嘉定?一模)函數(shù)、=2--筋+5在xe3上的最大值和最小值的乘積為

x-1|_2_

【答案】4072+10/10+4072