甘肅省慶陽(yáng)市第六中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

甘肅省慶陽(yáng)市第六中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.2．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)3．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．若，則的面積為（）A. B.C. D.4．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.25．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，且三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長(zhǎng)為7．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，8．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.10．下列說(shuō)法正確的有（）個(gè).①向量，，，不一定成立；②圓與圓外切③若，則數(shù)是數(shù)，的等比中項(xiàng).A.1 B.2C.3 D.011．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則12．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的圓的方程為______.14．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.15．不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機(jī)取出3張．設(shè)X為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標(biāo)號(hào)為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號(hào)3、4和4、5，此時(shí)X的值是2）．則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望______16．寫出一個(gè)漸近線的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，）的距離與它到直線的距離相等（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，求直線AB的方程22．（10分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.2、B【解析】利用極值點(diǎn)的定義求解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個(gè)交點(diǎn)：第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)有2個(gè)，故選：B3、D【解析】先由拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為，故選：D4、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D5、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A6、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.漸近線方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.虛軸長(zhǎng)，D選項(xiàng)正確.故選：D7、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.8、C【解析】對(duì)于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對(duì)于C是正確的9、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.10、A【解析】由向量數(shù)量積為實(shí)數(shù)，以及向量共線定理，即可判斷①；求出圓心距，即可判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷②；取，即可判斷③【詳解】對(duì)于①，與共線，與共線，故不一定成立，故①正確；對(duì)于②，圓的圓心為，半徑為，圓可變形為，故其圓心為，半徑為，則圓心距，由，所以兩圓相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，取，則數(shù)不是數(shù)的等比中項(xiàng)，故③錯(cuò)誤故選：A11、C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，可以舉反例判斷；對(duì)于選項(xiàng)BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，所以該選項(xiàng)正確；D.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C12、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)所求圓的方程為，然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【詳解】設(shè)所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：14、【解析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問(wèn)題的重要途徑.15、##【解析】設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機(jī)取出3張，共有種，設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個(gè)，，的情況有：取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：故答案為：16、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫出一個(gè)符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點(diǎn)在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝＝＝1（2）由y＝，得y′＝設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1，2＝2±2從而|AB|＝|x1－x2|＝由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7所以直線AB的方程為y＝x＋718、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可得，即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，由，得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立，得，恒成立，由韋達(dá)定理，得，，假設(shè)存在一點(diǎn)，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時(shí)對(duì)應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)應(yīng)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含20、（1）略；（2）【解析】（1）推導(dǎo)出BD⊥BC，PB⊥BC，從而BC⊥平面PBD，由此能證明PD⊥BC．（2）利用等體積求得點(diǎn)B到面的距離【詳解】（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC為等邊三角形∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD?平面PBD，∴PD⊥BC（2）由（1）知，，故故得點(diǎn)B到面PCD的距離為【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義或者直接列式化簡(jiǎn)即可求出；（2）方法一：設(shè)切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由即可求出的值，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)M（x，y），則解得．所以該拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】［方法一］：依題意，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，令，得或．從而或，解得或，所以切點(diǎn)A（－1，），B（2，2），直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．［方法二］：由可得，所以，設(shè)切點(diǎn)為（），則切線的斜率，又切線過(guò)點(diǎn)P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為A（－1，），B（2，2），所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得22、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②