2025屆北京市海淀清華附中高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆北京市海淀清華附中高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．直線l過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知為第二象限角，則的值是（）A.3 B.C.1 D.4．的值等于（）A. B.C. D.5．下列四個式子中是恒等式的是（）A. B.C. D.6．已知扇形OAB的周長為12，圓心角大小為，則該扇形的面積是（）cm.A.2 B.3C.6 D.97．若都是銳角，且，，則的值是A. B.C. D.8．函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)又在冪函數(shù)的圖象上，則的值為（）A.-8 B.-9C. D.9．若，，且，則A. B.C. D.10．已知a＝4-5，b=log45，c＝log0.45，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.c>a>b二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為2，高為，則球的表面積為________12．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．設(shè)①當(dāng)時，t=___________；②若，則t的最大值是___________13．在平面內(nèi)將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________14．在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點(diǎn)，，的縱坐標(biāo)分別為，.則的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_____________.15．已知冪函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)2,8，那么16．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代.目前數(shù)據(jù)量已經(jīng)從級別越升到，，乃至級別.某數(shù)據(jù)公司根據(jù)以往數(shù)據(jù)，整理得到如下表格：時間2008年2009年2010年2011年2012年間隔年份（單位：年）01234全球數(shù)據(jù)量（單位：）0.50.751.1251.68752.53125根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型能較好地描述2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量（單位：）與間隔年份（單位：年）的關(guān)系.（1）求函數(shù)的解析式；（2）請估計2021年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2011年的多少倍（結(jié)果保留3位小數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：，，，，，.18．已知函數(shù)f(x)=（1）求f(x)的最小正周期；（2）當(dāng)x∈[-π6,19．如圖，為等邊三角形，平面，，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.20．已知函數(shù)，實數(shù)且（1）設(shè)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）設(shè)且時，的定義域和值域都是，求的最大值21．如圖，在四棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面.（2）若四棱錐的體積為4，求四面體的表面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定a，b，c的范圍，由此比較它們的大小.【詳解】∵函數(shù)在上為減函數(shù)，，∴，即，∵函數(shù)在上為減函數(shù)，，∴，即，函數(shù)在上為減函數(shù)，，即∴.故選：C.2、D【解析】作出圖形，并將直線l繞著點(diǎn)M進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與線段PQ相交，進(jìn)而得到l斜率的取值范圍.【詳解】∵直線l過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段相交，如圖所示：∴所求直線l的斜率k滿足或，，則或，∴，故選：D3、C【解析】由為第二象限角，可得，再結(jié)合，化簡即可.【詳解】由題意，，因為為第二象限角，所以，所以.故選：C.4、D【解析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】.故選：D5、D【解析】，故錯誤，故錯誤，故錯誤故選6、D【解析】設(shè)扇形的半徑和弧長，根據(jù)周長和圓心角解方程得到，再利用扇形面積公式計算即得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形OAB的半徑r，弧長l，則周長，圓心角為，解得，故扇形面積為.故選：D7、A【解析】由已知得,,故選A.考點(diǎn)：兩角和的正弦公式8、A【解析】令，可得點(diǎn)，設(shè)，把代入可得，從而可得的值.【詳解】∵，令，得，∴，∴的圖象恒過點(diǎn)，設(shè)，把代入得，∴，∴，∴.故選：A9、A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一個根，b是方程的另一個根由韋達(dá)定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=?6，即b=?8，∴2×b=?16=?q，∴q=16∴p+q=21故選：A10、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷的大致范圍，即可比較大小.【詳解】因為，且，故；又，故；又，故；故.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】首先判斷正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心連線的中點(diǎn)，然后構(gòu)造直角三角形求半徑，代入公式求解.【詳解】如圖：設(shè)和分別是上下底面等邊三角形的中心，由題意可知連線的中點(diǎn)就是三棱柱外接球的球心，連接，是等邊三角形，且，，，球的表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體外接球的表面積的問題，意在考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.12、①.0②.【解析】利用坐標(biāo)法可得，結(jié)合條件及完全平方數(shù)的最值即得.【詳解】由題可建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∴，∴當(dāng)時，，因為，要使t最大，可取，即時，t取得最大值是.故答案為：0；.13、【解析】由條件可得與x軸正向的夾角為，故與x軸正向的夾角為設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為答案：14、【解析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可得，，，，再由展開求解即可.【詳解】以軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于，兩點(diǎn)，，的縱坐標(biāo)分別為，所以，是銳角，可得，因為銳角的終邊與單位圓相交于Q點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為，所以，是銳角，可得，所以，所以的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：.15、3【解析】根據(jù)冪函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)2,8，由2【詳解】因為冪函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)所以2α解得α=3，故答案：316、【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】時，，是奇函數(shù)，此時故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意選取點(diǎn)代入函數(shù)解析式，取出參數(shù)即可.（2）先求出2021年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量，然后結(jié)合條件可得答案.【小問1詳解】由題意點(diǎn)在函數(shù)模型的圖像上則，解得所以【小問2詳解】2021年時，間隔年份為13，則2021年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2011年的倍數(shù)為：18、（1）π（2）x∈-π6,π3時，f(x)【解析】（1）對f(x)化簡后得到fx=sin2x-π6【小問1詳解】f(x)=所以f(x)的最小正周期為2【小問2詳解】當(dāng)x∈-π故當(dāng)-π2?2x-π6當(dāng)π2?2x-π6?當(dāng)2x-π6∈所以-32?f(x)?119、(1)見解析(2)見解析【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由三角形中位線定理可得，，結(jié)合已知，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（Ⅱ）由線面垂直的性質(zhì)可得平面，得到，再由為等邊三角形，得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得面面【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)∵在中，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形∴又∵平面∴平面（Ⅱ）證：∵面，平面，∴，又∵為等邊三角形，∴，又∵，∴平面，又∵，∴面，又∵面，∴面面20、（1）在上單調(diào)遞增，理由見解析（2）【解析】（1）由定義法直接證明可得；（2）由題知是方程的不相等的兩個正數(shù)根，然后整理成一元二次方程，由判別式和韋達(dá)定理列不等式組求解可得a的范圍，再用韋達(dá)定理表示出所求，然后可解.【小問1詳解】設(shè)，則，，，，故在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可得時，在上單調(diào)遞增，的定義域和值域都是，，則是方程的不相等的兩個正數(shù)根，即有兩個不相等的正數(shù)根，則，解得，，，時，最大值為；21、（1）見解析（2）9【解析】（1）由已知可得，根據(jù)線面垂直的判定得平面，進(jìn)而可得平面，由面面垂直的判定可得證.（2）根據(jù)四棱錐的體積可得.過作于，連接，可證得平