2025屆江蘇省揚(yáng)州市示范初中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆江蘇省揚(yáng)州市示范初中高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.22．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.3．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.4．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m5．已知某班有學(xué)生48人，為了解該班學(xué)生視力情況，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學(xué)生在樣本中，則樣本中另外一個學(xué)生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.296．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.8．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.10．雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，若直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，漸近線上的一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______14．用1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有n個，則的展開式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）15．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.16．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，（1）分別求數(shù)列的通項公式和前項和；（2）設(shè)，求18．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)是圓與軸的一個交點(diǎn).（1）求拋物線的方程;（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.19．（12分）如圖，在四棱柱中，底面，，，且，（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時，二面角的大小為？22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程E；（2）過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)弦長求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：A2、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A3、B【解析】對A，根據(jù)當(dāng)時，的值即可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，的定義域為，且，故為奇函數(shù)；，當(dāng)時，當(dāng)時，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對C，為奇函數(shù)，故C錯誤；對D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：B.4、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.5、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號為,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學(xué)生來自第三組,設(shè)其編號為,則,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，其在上對應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因為AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A7、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A8、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A9、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選10、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點(diǎn)，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.11、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點(diǎn)的距離公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設(shè)在漸近線上，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，由，解得，即點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：14、2022【解析】根據(jù)排列和組合計數(shù)公式求出，然后利用二項式定理進(jìn)行求解即可【詳解】解：用1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有個，即，當(dāng)時，，則系數(shù)是，故答案為：202215、【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.16、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）通過（1）判斷符號，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為,，，，【小問2詳解】解：由（1）可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由圓與軸的交點(diǎn)分別為，可得拋物線的焦點(diǎn)為，從而即可求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理及，求出即可得證.【小問1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點(diǎn)分別為，則拋物線的焦點(diǎn)為，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因為，，所以，，因為，所以，所以，即因為底面，所以底面，所以因為，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯.（3）利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.20、（1），；（2）答案見解析.【解析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小問1詳解】的定義域為，，因為在點(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.【小問2詳解】由（1）知：.①當(dāng)時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.21、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設(shè)易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長方體的性質(zhì)及勾股定理構(gòu)造方程求即可.【小問1詳解】由題設(shè)，連接、，又長方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點(diǎn)，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長方體性質(zhì)知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時，二面角的大小為.22、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出