2025屆遼寧省大連市103中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆遼寧省大連市103中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.22．參加抗疫的300名醫(yī)務人員，編號為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務人員的年齡進行調(diào)查.若抽到的第一個編號為6，則抽到的第二個編號為（）A.21 B.26C.31 D.363．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或4．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.65．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.36．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設兩個變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號相同 B.與符號相同C.與符號相反 D.與符號相反8．甲、乙、丙、丁四位同學一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績9．如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，且，設異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知隨圓與雙曲線相同的焦點，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________14．若向量，，，且向量，，共面，則______15．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.16．已知命題“，”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數(shù)；（2）根據(jù)回歸方程預測當單價為10元時的銷量.18．（12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，O為線段BD中點，是邊長為1正三角形，且OA⊥BC，AB=AD（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若|OA|=1，，求平面BCE與平面BCD的夾角的余弦值19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線1與坐標軸的交點都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）設過點P(0，－2)的直線l與圓C交于A，B兩點，且AB＝2，求l的方程20．（12分）已知橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于長軸的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明為定值.21．（12分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由22．（10分）已知兩點（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點的圓C的切線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計算可得；【詳解】解：因為，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因為，所以，所以；故選：C2、B【解析】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，則第一編號為006，第二個編號為.故選：B.3、D【解析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D4、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A5、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C6、D【解析】由題意得當時，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當時，，又，∴當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個單位，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，作出其大致圖象得，當時，由得，或，由圖可知，若對任意，都有，則，故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題7、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負，表示負相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號相同故選：A8、A【解析】分析可知乙、丙的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進行推導，可得出結(jié)論.【詳解】由于個人中的成績中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績，還是不知道自己的成績，則乙、丙的成績必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，因為給乙看丙的成績，則乙必然知道自己的成績，丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績.故選：A.9、D【解析】設線段的中點為，連接，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，然后以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設線段的中點為，連接，，為的中點，則，，則，，同理可得，，，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，所以，為等邊三角形，故為的中點，平面，平面，則，，，平面，以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，則、、、，由于點在平面內(nèi)，可設，其中，且，從而，因為，則，所以，，故當時，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.10、B【解析】設公共焦點為，推導出，可得出，進而可求得、的值.【詳解】設公共焦點為，則，則，即，故，即，，故選：B11、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為，所以，即，故14、##【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因為，，共面，所以存在實數(shù)x，y，使得，得，解得∴故答案為：15、.【解析】設事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.16、【解析】根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反，即可得到，為真命題，則，從而求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因為命題“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，所以，解得；故答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)數(shù)據(jù)的平均值一定在回歸直線上；(2)將x=10代入回歸方程即可.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，，代入，解得.【小問2詳解】由（1）得，故單價為10元時，.當單價為10元時銷量為50件.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可得OA⊥平面BCD，從而可證明.（2）作OF⊥BD交BC于點F，如圖，以O為坐標原點，分別以OF，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標系,利用向量法可求解.【小問1詳解】因為AB=AD，O為BD中點，所以OA⊥BD因為OA⊥BC，且BD，BC平面BCD，BD∩BC=B，所以OA⊥平面BCD又因為OA平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD【小問2詳解】作OF⊥BD交BC于點F，如圖，以O為坐標原點，分別以OF，OD，OA所在直線軸建立空間直角坐標系因為三角形OCD為邊長為1的正三角形，且OA=OB=1，DE=2AE所以A(0，0，1)，B(0，－1，0)，設平面EBC的法向量為=()因為⊥BE，⊥BC，所以令，則，，所以已知平面BCD的法向量所以所以平面EBC與平面BCD的夾角的余弦值為19、（1）（2）或【解析】（1）求出曲線與坐標軸的交點坐標，設出圓的一般方程，代入求解；（2）分類討論，斜率不存在時，直接驗證，斜率存在時，設直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求解【小問1詳解】時，，又得，，所以三交點為，設圓方程為，則，解得，圓方程為；【小問2詳解】由（1）知圓標準方程為，圓心為，半徑為，直線斜率不存在時，直線為，它與圓的兩交點為，滿足題意；斜率存在時，設直線方程為，即，圓心到的距離為，又，所以，，直線方程為即所以直線方程是：或20、(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)借助題設條件建立方程組求解；(2)依據(jù)題設運用直線與橢圓的位置關(guān)系探求.試題解析：（1）由，可得橢圓方程.（2）設的方程為，代入并整理得：.設，，則，同理則.所以，是定值.考點：橢圓的標準方程幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運用【易錯點晴】本題考查的是橢圓的標準方程等基礎知識及直線與橢圓的位置關(guān)系等知識的綜合性問題.解答本題的第一問時,直接依據(jù)題設條件運用橢圓的幾何性質(zhì)和橢圓的有關(guān)概念建立方程組,進而求得橢圓的標準方程為；第二問的求解過程中,先設直線的方程為,再借助二次方程中根與系數(shù)之間的關(guān)系，依據(jù)坐標之間的關(guān)系進行計算探求，從而使得問題獲解.21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標系，假設點M存在，設，求出M點坐標，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因為，所以平面，因為平面中，所以平面平面.（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標系.則，，，，若存