2025屆湖北省漢川二中高二上數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆湖北省漢川二中高二上數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列中，，則這個數(shù)列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.162．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則3．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.5．已知曲線，則曲線W上的點到原點距離的最小值是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和7．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.8．直線經(jīng)過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種10．已知函數(shù)，.若存在三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．某次生物實驗6個小組的耗材質(zhì)量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.6512．直線過雙曲線：的右焦點，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點，若∠OPQ＝90°（O為坐標原點），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項和為___________.14．已知為直線上的動點，為函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為______15．如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲1600個點,其中落入白色部分的有700個點,據(jù)此可估計黑色部分的面積為______________16．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的準線方程是，直線與拋物線相交于M、N兩點（1）求拋物線的方程；（2）求弦長；（3）設O為坐標原點，證明：18．（12分）已知數(shù)列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和19．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：20．（12分）設數(shù)列的前項和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)，有.21．（12分）為了了解高二段1000名學生一周課外活動情況，隨機抽取了若干學生的一周課外活動時間，時間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動時間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數(shù)為8（1）求第一組數(shù)據(jù)的頻率并計算調(diào)查中隨機抽取了多少名學生的一周課外活動時間；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】直接利用公式計算即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，解得.故選：A2、B【解析】根據(jù)線線，線面，面面位置關(guān)系的判定方法即可逐項判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯誤.故選：B.3、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B4、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.5、A【解析】化簡方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過圖象觀察，即可得到原點距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點與點或的距離最小，且為故選：A6、C【解析】求導后，由可解得結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎題.7、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A8、A【解析】由兩點坐標求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A9、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B10、B【解析】根據(jù)題意，當時，有一個零點，進而將問題轉(zhuǎn)化為當時，有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為存在三個零點，所以方程有三個實數(shù)根，因為當時，由得，解得，有且只有一個實數(shù)根，所以當時，有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，所以令，則，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實數(shù)根，則故選：B11、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.12、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線標準方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因為∠OPQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、129【解析】依次寫出前6項，即可求得數(shù)列的前6項和.【詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項和為故答案為：12914、【解析】求得的導數(shù)，由題意可得與直線平行的直線和曲線相切，然后求出的值最小，設出切點，求出切線方程，再由兩直線平行的距離公式，得到的最小值【詳解】解：函數(shù)的導數(shù)為，設與直線平行的直線與曲線相切，設切點為，則，所以，所以，所以，所以，所以切線方程為，可得的最小值為，故答案為：15、9【解析】先根據(jù)點數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設可估計落入黑色部分概率設黑色部分的面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:916、【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的準線方程求解；（2）由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解；（3）結(jié)合韋達定理，利用數(shù)量積運算證明；【小問1詳解】解：因為拋物線的準線方程是，所以，解得，所以拋物線的方程是；【小問2詳解】由，得，設，則，所以；【小問3詳解】因為，，，所以，即.18、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達式，再按照與的關(guān)系計算,；(2)裂項相消求和即可.【小問1詳解】由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，又因為，所以；【小問2詳解】所以；故答案為：，.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點,為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標系，設,,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點睛】本題考查三個向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎題20、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進而寫出的通項公式；（2）由，將不等式左側(cè)放縮，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當時，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2詳解】，..21、（1）0.06，50名（2）64（分鐘）【解析】（1）利用頻率和為1可求解頻率，再利用頻率，頻數(shù)，總數(shù)之間的關(guān)系可求解學生人數(shù)；（2）平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的中點乘以對應的長方形面積之和；【小問1詳解】設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得所以．所以第一組數(shù)據(jù)的頻率為，設調(diào)查中隨機抽取了n名學生的課外活動時間，則，得，所以調(diào)查中隨機抽取了50名學生的課外活動時間小問2詳解】由題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(分鐘)22、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)