浙江省杭州地區(qū)七校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題含解析

浙江省杭州地區(qū)七校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.2．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.3．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長為A.1 B.2C.4 D.84．在等差數(shù)列中，，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40425．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.7．定義焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關(guān)曲線.已知，是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，Р是這對相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn)，則點(diǎn)Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定8．已知橢圓的短軸長和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.9．設(shè)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，，是的兩個頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B.C. D.10．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.11．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立D.如果，那么12．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線方程為________.14．已知數(shù)列滿足，則__________.15．已知，，，若，則______.16．橢圓的焦距為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列各項(xiàng)均不為零，為其前項(xiàng)和，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和的最大值、最小值.18．（12分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由19．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.20．（12分）如圖，在長方體中，，．點(diǎn)E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選2、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A3、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長為故選4、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且，，所以，，.故選：C.5、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C6、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.7、A【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長為，根據(jù)題意可得，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，從而可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長為，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則有，所以，設(shè)，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)Р在以為直徑的圓外.故選：A.8、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A9、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的之間的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.10、A【解析】考點(diǎn)：直線的傾斜角專題：計(jì)算題分析：因?yàn)橹本€的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點(diǎn)評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生對基礎(chǔ)知識熟練掌握11、C【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C12、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為，，所在直線方程為，化簡為，故答案為.考點(diǎn)：1、兩直線垂直斜率的關(guān)系；2、點(diǎn)斜式求直線方程.14、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時，符合.所以，則.故答案為：15、【解析】根據(jù)題意，由向量坐標(biāo)表示，列出方程，求出，，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，若，則，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量坐標(biāo)表示求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設(shè)焦距為，則，則焦距故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析再結(jié)合前和即可求解；（2）運(yùn)用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項(xiàng)變形為，再求和，通過分類討論從單調(diào)性上分析求解即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項(xiàng)和為，則=，當(dāng)n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.18、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線的方程為：，所以有，設(shè)，則有，，原點(diǎn)到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當(dāng)時，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長關(guān)系，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為21、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p