2025屆湖北省孝感市八校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆湖北省孝感市八校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°2．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.3．“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種4．準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.6．若點P在曲線上運動，則點P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.47．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.8．已知曲線，則“”是“C為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．給出下列四個說法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題10．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.11．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n12．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，部分省市的政府工作報告將“推進5G通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點工作，2020年一月份全國共建基站3萬個如果從2月份起，以后的每個月比上一個月多建設(shè)0.2萬個，那么2020年這一年全國共有基站________萬個14．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點的對稱點為點，則___________.15．已知數(shù)列滿足，，的前項和為，則______.16．過點的直線與拋物線相交于，兩點，，則直線的方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍19．（12分）設(shè)點是拋物線上異于原點O的一點，過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（P、A、B三點互不相同）（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時，B點的縱坐標(biāo)的取值范圍20．（12分）2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動，老師們立即開展了線上教學(xué)．某中學(xué)為了解教學(xué)效果，于11月30日復(fù)課第一天安排了測試，數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高二學(xué)生隨機抽取45名進行調(diào)查，了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時，并得到如下的統(tǒng)計圖：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖填寫下面列聯(lián)表，是否有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”；數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學(xué)中隨機抽取2名，求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）已知函數(shù)（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時，求證：；（3）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D2、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.3、B【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B4、D【解析】的準(zhǔn)線方程為.【詳解】的準(zhǔn)線方程為.故選：D.5、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C6、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺?biāo)軸上的點），實際上整個曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點對稱的圖形加上原點，點到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A7、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程解為或，且，利用韋達定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.8、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進行判斷可得選項【詳解】解：當(dāng)時，表示雙曲線，當(dāng)表示雙曲線時，則，所以“”是“C為雙曲線”的充分不必要條件.故選A9、D【解析】A選項：否命題應(yīng)該對條件結(jié)論同時否定，說法不正確；B選項：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項：否定應(yīng)該是：，，所以說法不正確；D選項：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時三角形不是銳角三角形，所以這是一個假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項說法正確.故選：D【點睛】此題考查四個命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.10、A【解析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據(jù)題意的邊角關(guān)系，完成體積的求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.11、D【解析】根據(jù)空間線面、面面的平行，垂直關(guān)系，結(jié)合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質(zhì)定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關(guān)系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關(guān)系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關(guān)系判定，要注意直線、平面的不確定情況12、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解【詳解】以為坐標(biāo)原點，平面內(nèi)過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2##【解析】由題意可知一月份到十二月份基站個數(shù)是以3為首項，0.2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】一月份全國共建基站3萬個，2月全國共建基站萬個，3月全國共建基站萬個，，12月全國共建基站萬個，基站個數(shù)是以3為首項，0.2為公差的等差數(shù)列，2020年這一年全國共有基站萬個.故答案為：49.2.14、【解析】先利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征求出點，再利用空間兩點間的距離公式即可求.【詳解】因為B與關(guān)于原點對稱，故，所以.故答案為：.15、【解析】分析出當(dāng)為正奇數(shù)時，，可求得的值，再分析出當(dāng)為正偶數(shù)時，，可求得的值，進而可求得的值.【詳解】由題知，當(dāng)為正奇數(shù)時，，于是,，，，，所以.又因為當(dāng)為正偶數(shù)時，，且，所以兩式相加可得，于是，兩式相減得.所以，故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于分析出當(dāng)為正奇數(shù)時，，以及當(dāng)為正偶數(shù)時，，找出規(guī)律，結(jié)合并項求和法求出以及的值.16、##【解析】根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，進而點P為拋物線的焦點，設(shè)，利用拋物線的定義可得，有軸，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，拋物線的焦點坐標(biāo)，又，所以點P為拋物線的焦點，設(shè)，由，由拋物線的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線AB的方程為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時，設(shè)出點的坐標(biāo)進行求解；（2）結(jié)合第一問的定點坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點，使得為定值，求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因為，所以，即，根據(jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點【小問2詳解】由（1）可知因為，取中點，則此時，【點睛】直線過定點問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進而得到定點坐標(biāo).18、（1）（2）【解析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出的長度的表達式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達式，將兩線段長度表達式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時，由知，設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，，，，同理得，所以，，令，則，，設(shè)，，所以，，所以，，則綜合可知，的取值范圍是【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.19、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式，結(jié)合點坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理求得點坐標(biāo)，同理求得點坐標(biāo)，再利用斜率計算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個不相等的實數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為點在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時，故可得，即點的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問3詳解】當(dāng)時，可得，此時，因為兩點在拋物線上，故可得，，因為，故可得，整理得：，，因為三點不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因為，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點睛】本題考察直線與拋物線相交時范圍問題，定值問題，解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達定理，本題計算量較大，屬綜合困難題.20、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖計算填表即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可得：每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時數(shù)學(xué)成績超過120分的有人，可得列聯(lián)表如下：數(shù)學(xué)成績不超過120分數(shù)學(xué)成績超過120分總計每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時151025每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時51520總計202545根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，所以有95%的把握認為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長有關(guān)”【小問2詳解】由列聯(lián)表可得，被抽查學(xué)生中這次數(shù)學(xué)成績超過120分的有25人，其中每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的有10人，每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的有15人，人數(shù)比為2∶3，按分層抽樣每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長不超過1小時的抽2人，記為：1，2；每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長超過1小時的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結(jié)果如下：，共計10種．設(shè)事件A為“兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時長超過一小時”包含這7種可能結(jié)果所以21、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得，即可證得結(jié)論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，再構(gòu)造，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，當(dāng)時，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域