二次函數(shù)壓軸題-2022年中考數(shù)學復習（解析版）

專題11二次函數(shù)壓軸探究

考向1線段問題

府題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考東營卷

1

【母題題文】如圖，拋物線y=-一x2+bx+c與X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,直

1

線y=-_x+2過B、C兩點，連接AC.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：AAOC^AACB；

(3)點M(3,2)是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D

作DE_Lx軸交直線BC于點E,點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時,

1

當x=0時，代入y=-----x+2,得y=2,即C(0,2),

2

1

當y=0時，代入y=-----x+2,得x=4,即B(4,0),

2

1

把B(4,0),C(0,2)分別代入y=--x2+bx+c,

2

3

8+4=解得力=

#{"ci2°°>2-

，c=2

13

，拋物線的解析式為y=--x2+-x+2；

22

13

(2)：拋物線y=-----x2+—x+2與x軸交于點A,

22

13

-----x2+—x+2=0,解得xi=-1,X2=4,

2---2一

???點A的坐標為(-1,0),

；.AO=1,AB=5,

在Rt/kAOC中，AO=1,OC=2,AAC=6

AO1拜

?.---=---=---,

AC45

AC居AOAC

-----，

AB5ACAB

又：/OAC=/CAB,/.AAOC^AACB；

13

(3)設點D的坐標為(x,——x2+—x+2),

22

1

則點E的坐標為(x,——x+2),

2

131

DE=--x2+—x+2-(-—x+2)

222

131

=--x2+—x+2+—x-2

222

11

=--x2+2x=-—(x-2)~+2,

22

1

—<o,.?.當x=2時，線段DE的長度最大,

2

此時，點D的坐標為(2,3),

VC(0,2),M(3,2),

點C和點M關于對稱軸對稱，

連接CD交對稱軸于點P,此時PD+PM最小，

連接CM交直線DE于點F,則/DFC=90。，點F的坐標為(2,2),

.'.CD=^/CF2+DF2=75,

PD+PM=PC+PD=CD,.,.PD+PM的最小值為".

【命題意圖】函數(shù)思想；應用意識.

【命題方向】本題考查二次函數(shù)的應用，解本題的關鍵熟練掌握數(shù)形結合思想、二次函數(shù)的

性質、對稱性、相似三角形的判定等，一般為壓軸題目。

【得分要點】二次函數(shù)綜合題中線段問題的解題通法：

(1)線段的數(shù)量關系問題：

①在圖中找出對應線段,弄清已知點和未知點，再聯(lián)系函數(shù)設出只含有一個參數(shù)的未知點的坐

標，然后用參數(shù)表示出線段的長度；

②結合已知條件，列出滿足線段數(shù)量關系的等式，求出參數(shù)值(注意排除不符合題意的數(shù)值).

⑵線段的最值問題：

①一條線段的最值問題，根據(jù)(1)①中所得的線段長度的式子，通過二次函數(shù)的性質求最值，繼

而得到線段的最值；

②兩條線段和或差的最值問題,一般利用軸對稱模型解決.

(3)周長的最值問題:一般利用轉化思想，將求周長的最值轉化為求不定線段和的問題.

考向2面積問題

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考內江卷

【母題題文】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點，與y

軸交于點C.直線1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E,點D的坐標為(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線1的解析式；

(2)若點P是拋物線上的點且在直線1上方，連接PA、PD,求當aPAD面積最大時點P

的坐標及該面積的最大值；

(3)若點Q是y軸上的點，且/ADQ=45。，求點Q的坐標.

閽題解密

【試題解析】解：(1),拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點,

設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

VD(4,3)在拋物線上，

1

；.3=a(4+2)x(4-6),解得a=-----,

4

11

.?.拋物線的解析式為y=-----(x+2)(x-6)=-------X2+X+3,

44

:直線1經過A(-2,0)、D(4,3),

設直線1的解析式為y=kx+m(WO),

1

一4**21°，解得，2，

、b=1

1

...直線1的解析式為y=-X+1；

2

11

(2)如圖1中，過點P作PT〃y軸交AD于點T.設P(m,-—m2+m+3),則T(m,,m+l).

圖1

1

：SAPAD=—?(XD-XA)*PT=3PT,

2

，PT的值最大值時，APAD的面積最大，

1111191

VPT=-—m2+m+3-----m-1=--m2+—m+2=-----(m-1)2+—,-----<0,

4242444

92715

時，PT的值最大，最大值為一，此時APAD的面積的最大值為——，P(1,

444

(3)如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉90。得到AT,則T(-5,6),

設DT交y軸于點Q,則/ADQ=45。,

113

VD(4,3),.?.直線DT的解析式為y—x+—

33

13

AQ(0,——)，作點T關于AD的對稱點T(1,-6),

3

則直線DT，的解析式為y=3x-9,

設DQ，交y軸于點Q1則NADQ占45。，.，.Q，(0,-9),

13

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為(0,——)或(0,-9).

3

【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質；推理能力

【命題方向】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，待定系

數(shù)法，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建二次函數(shù)解決最值問

題，學會構造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

【得分要點】二次函數(shù)綜合題中面積問題的解題通法:

1

(1)直角坐標系中圖形面積的求法，以“S三角彩=,X水平底x鉛直高”為基礎求解.

(2)圖形面積的數(shù)量關系：

①找出所求圖形的頂點，其中動點的坐標根據(jù)函數(shù)關系式用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;

②結合圖形作輔助線，并將關鍵線段的長度用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；

③利用面積公式用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；

④列方程求解.

(3)圖形面積的最值，解題思路跟(2)中的前三步相同，然后利用函數(shù)的增減性求解.

考向3等腰三角形的存在性探究

畫題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考攀枝花卷

【母題題文】(2021?攀枝花)如圖，開口向上的拋物線與x軸交于A(xi，0)、B(X2,0)

兩點，與y軸交于點C,且AC_LBC,其中xi，X2是方程x?+3x-4=0的兩個根.

(1)求點C的坐標，并求出拋物線的表達式；

(2)垂直于線段BC的直線1交x軸于點D,交線段BC于點E,連接CD,求ACDE的面

積的最大值及此時點D的坐標；

(3)在(2)的結論下，拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得APDE是等腰三角形？若存

在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【試題解析】解：(1)由x?+3x-4=0得X1=-4,X2=l,

AA(-4,0),B(1,0),

.\OA=4,OB=1,

VAC±BC,

AZACO=90°-ZBCO=ZOBC,

VZAOC=ZBOC=90°,

AAAOC^ACOB,

OAOC4OC

???一=——，即一=—，

OCOBOC1

.\OC=2,

???C(0,-2),

設拋物線解析式為y=a(x+4)(x-1),

將C(0,-2)代入得-2=-4a,

1

.?a——,

2

由A(-4,0),B(1,0),C(0,-2)得：AB=5,BC=gAC=24,

VDE±BC,AC±BC,

；.DE〃AC,

.'.△ABC^ADBE,

BDDEBE

,，AB-AC-BC，

設D(t,0),則BD=1-t,

1-tDEBE

.??藍-=乖=3

244

ADE=__(1-t),BE=—(1-t),

55

11

SBDE=—DE?BE-(1-t)2,

A25

11

而SABDC=—BD*OC=—(1-t)x2=1-t,

22

1134135

?'?SCDE=SBDC-SBDE=1-t-----(1-t)2=------12-----1+—=-----(t+—)2+—,

AAA5555524

35

?'?t=-—時，S^CDE最大為一，

24

3

此時D(-一，0)；

2

133

(3)存在，由y=-x?+—x-2知拋物線對稱軸為直線x=-,

222

3

而D(-0),；.D在對稱軸上,

2

；.DP=75,AP（-一，加）或（-一，

△DHE^ADEB,

DEHEDH

BD=BE=DE

1

；.HE=1,DH=2,；.E-1),

2

3

：E在DP的垂直平分線上，；.P（-—，-2）,

2

331

設P(-----，m),則m2=(-------—)2+(m+1)2,

222

535

解得m=-----,/.P(-----，--),

222

33335

綜上所述，P的坐標為（——，擊）或（——，-x/5）或（——，-2）或（——，——）.

22222

【命題意圖】分類討論；待定系數(shù)法；函數(shù)的綜合應用；圖形的相似；幾何直觀；應用意識.

【命題方向】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形相似的判定及性質、三

角形面積、等腰三角形判定及應用等知識，解題的關鍵是分類討論及用含字母的代數(shù)式表示

相關點的坐標、相關線段的長度，一般為壓軸題.

【得分要點】二次函數(shù)綜合題中等腰三角形存在性探究的解題思路：

（1）求出三角形的三邊長（有的邊長用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示）；

（2）根據(jù)等腰三角形中兩條邊相等分類討論,列方程求解.

考向4直角三角形的存在性探究

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考畢節(jié)卷

【母題題文】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點，與y軸相交于點C,對

稱軸為直線x=2,頂點為D,點B的坐標為（3,0）.

（1）填空：點A的坐標為一，點D的坐標為—,拋物線的解析式為—；

5

（2）當二次函數(shù)y=x?+bx+c的自變量x滿足mgxSm+2時，函數(shù)y的最小值為一，求m的

4

值；

（3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P,使APAC是以AC為斜邊的直角三角形?

請說明理由.

【試題解析】解：(1)???對稱軸為直線x=2,

.■.b=-4,.'.y=x2-4x+c,

:點B(3,0)是拋物線與x軸的交點，

?".9-12+c=0,；.c=3,/.y=x2-4x+3,

令y=0,x2-4x+3=0,

，x=3或x=l,/.A(1,0),

OD是拋物線的頂點，；.D(2,-1),

故答案為(1,0),(2,-1),y=x2-4x+3；

(2)當m+2<2時，即m<0,

此時當x=m+2時，y有最小值，

5

貝Ij(m+2)2-4(m+2)+3=

4

33

解得m=±—，.'.m=-----；

—22

當m>2時，此時當x=m時，y有最小值，

5

則m2-4m+3=—,

4

717

222

當gmW2時，此時當x=2時,y有最小值為-1,與題意不符;

73

綜上所述：m的值為一或-一;

22

(3)存在，理由如下：A(1,0),C(0,3),

.1.AC=5,AC的中點為E

1

：APAC是以AC為斜邊的直角三角形，；.PE=—AC,

2

I~F3：410

；.t=2或t=l,.,.P(2,2)或P(2,1),

...使APAC是以AC為斜邊的直角三角形時，P點坐標為(2,2)或(2,1).

【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質；運算能力；應用意識

【命題方向】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，利用直角三

角形斜邊中線等于斜邊的一半，將直角三角形存在性問題轉化為邊的關系是解題的關鍵，一

般為壓軸.

【得分要點】二次函數(shù)綜合題中直角三角形存在性探究的解題思路：

(1)求出三角形的三邊長(有的邊長用含未知數(shù)的代數(shù)式表示)；

(2)根據(jù)直角頂點分類討論,應用勾股定理列方程求解.

考向5平行四邊形的存在性探究

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考西藏卷

【母題題文】在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B兩點.與y軸

交于點C.且點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,5).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖(甲).若點P是第一象限內拋物線上的一動點.當點P到直線BC的距離最大時,

求點P的坐標；

（3）圖（乙）中，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M

使得以B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

「?題解密

【試題解析】（1）將A的坐標（-1,。），點C的坐（0,5）代入y=-x2+bx+c得:

°=,解得七二：，；?拋物線的解析式為y=-x2+4x+5；

（2）過P作PDJ_x軸于D,交BC于Q,過P作PH_LBC于H,如圖：

在y=-X2+4X+5中，令y=0得-x2+4x+5=0,

解得x=5或x=-1,

AB(5,0),

/.OB=OC,ABOC是等腰直角三角形，

.?.ZCBO=45°,

；PD_Lx軸，.,.ZBQD=45°=ZPQH,

.-.△PHQ是等腰直角三角形，

PQ

APH=—,.,.當PQ最大時，PH最大，

72

設直線BC解析式為丫=1?+5,將B(5,0)代入得0=5k+5,

；.k=-l,.?.直線BC解析式為y=-x+5,

設P(m,-m2+4m+5),(0<m<5),則Q(m,-m+5),

525

；.PQ=(-m2+4m+5)-(-m+5)=-m2+5m=-(m-----)2+——,

24

525

Va=-l<0,.?.當m=—時，PQ最大為——，

24

5535

=—時，PH最大，即點P到直線BC的距離最大，此時P(—，一.)；

224

(3)存在，理由如下：

拋物線y=-X2+4X+5對稱軸為直線x=2,

設M(s,-S2+4S+5),N(2,t),而B(5,0),C(0,5),

①以MN、BC為對角線，則MN、BC的中點重合，如圖：

s+52+0

2一2

--s2+4s+4+0t+5，解得ft=-21'

,2二F

AM(-3,-16),

③以MC、NB為對角線，則MC、NB中點重合，如圖:

）'A

fs+02+5

-2-=-2__

-s2+4s+5+0t+0,解得｛*二I'M（7,-16）；

、22

綜上所述，M的坐標為：(3,8)或(-3,-16)或(7,-16).

【命題意圖】數(shù)形結合；分類討論；待定系數(shù)法；函數(shù)的綜合應用；多邊形與平行四邊形;

幾何直觀；應用意識.

【命題方向】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點坐標的特征、等

腰直角三角形、平行四邊形等知識，解題的關鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關點的坐標和相

關線段的長度，一般為壓軸題.

【得分要點】二次函數(shù)綜合題中平行四邊形存在性探究的解題思路：

(1)己知三個點，順次連接這三個點，分別過這三個點作對邊的平行線，三條平行線的交點即為

所求的點；

如圖1,已知點A,B,C,則點Pi,P2,P3即為所求的與點A,B,C組成平行四邊形的點.

(2)已知兩個點,分兩種情況：

①以這兩點所構成的線段為邊時，可將該線段上下左右平移確定另兩點的位置，如圖2,已知點

A,B;

血仗這兩點所構成的線段為對角線時，取該線段的中點，旋轉經過該點的直線確定另兩點的位

置，如圖3,已知點A,B.

1.(2021?耿馬縣二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于A(-

1,0)、B兩點，與y軸交于點C(0,3),頂點坐標為點D,連接CD、BC、BD.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求證：ADCB^AAOC；

(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到新的拋物線y=aix2+bix+ci，點E是平移后的

拋物線與原拋物線的交點，點F是原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存

在點P,使得以點B、E、F、P為頂點的四邊形是矩形.若存在，求出點P的坐標；若不存

得解得

該拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)證明：如圖1,連結AC,

Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

，拋物線的頂點D的坐標為(1,4),對稱軸為直線x=l,

:點B與點A(-1,0)關于直線x=l對稱，

AA(3,0),

/.CD2=12+(4-3)2=2,BC2=32+32=18,BD2=(3-1)2+42=20,

/.CD=y/2,CB=3也，CD2+BC2=BD2=20,

.?.△DCB是直角三角形，且NDCB=90。，

VOA=1,OC=3,

CDCB

：NDCB=NAOC,——=——,

OAOC

.'.△DCB^AAOC.

(3)存在.Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

；?將該拋物線向右平移兩個單位得到的拋物線為y=-(x-3)2+4,

即y=-X2+6X-5,

由匕/++6*得修,

/.E(2,3),

設點F的坐標為(1,m),

如圖2,四邊形PBEF是矩形，

設PF交x軸于點K,拋物線平移后點A的對應點為L,則L(l,0),

/.L在拋物線的對稱軸直線x=1上，

過點E、P分別作直線x=l的垂線，垂足分別為點G、T,作EHLx軸于點H,

則G(1,3),H(2,0),

；.EG=LH=BH=1,EH=3,

ZEGL=ZGLK=ZEHL=90°,

四邊形EGLH是矩形，

.?.ZGEH=ZFEB=90°,

.,.ZFEG=ZBEH=90°-ZFEH,

,.,ZEGF=ZEHB=90°,

FGEG1

.'.△FEG^ABEH,；________=-

BHEH3

11118

AFG=-BH=-x1=一，-=一,

33333

:PT〃x軸，PF/7BE,

ZFPT=/FKL=ZEBH,

,.,ZFTP=ZEHB=90°,PF=BE,

/.△FPT^AEBH(AAS),

；.PT=BH=1,FT=EH=3,

81

；.xp=l+l=2,yp=yT=--3=----，

33

1

；.P(2,--)；

3

如圖3,以BE的中點Q為圓心，以BE為直徑作。Q交直線x=l于點F、F,

過點F作直徑為FP,作四邊形BPEF、四邊形BP'EF,

：QP=PF,PB=PE,

/.四邊形BPEF是平行四邊形，

VPF=BE,

四邊形BPEF是矩形，；QF=QB,

53

；.QF2=QB2,VQ(-,_),

22

3535

(m----)2+(1-----)2=(一)2+(―_3)2,解得mi=l,012=2,

2222

；.F(1,1),F(1,2),

53

?.?點P與點F(1,1)關于點Q(---)成中心對稱，

22

AP(4,1),同理可得P(4,2).

1

拋物線的頂點是A(1,-4),點B在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M是y軸上一點，點N是坐標平面內一點，當以A、B、M、N為頂點的四邊形

是矩形時，求點M的坐標.

(3)在拋物線上是否存在點Q,使NBAQ=45。，若存在，請直接寫出點Q的橫坐標；若

不存在，說明理由.

備用圖

解：(1)將點A(1,-4)代入直線y=2x+n得，

2+n=-4,.*.n=-6,.,.直線y=2x-6,

當y=0時，代入直線得：0=2x-6,解得：x=3,

...點B坐標(3,0),

設拋物線表達式為y=a(x-1)2-4,將點B代入拋物線得，

0=4a-4,解得：a=l,

拋物線表達式y(tǒng)=(x-1)2-4；

(2)當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，有兩種情況:

.\MA2=12+(m+4)2,AB2=(1-3)2+(-4-0)2=20,BM2=32+m2,

7

.,.MB2=AM2+AB2,即12+(m+4)2+20=32+m2,解得m=——，

2

7

即點M的坐標(0,——)，

2

延長BN交y軸于點M，，作AGLy軸于G,BHLGA交GA的延長線于點H.

OM'OB

由ABOMs^BHA,可得----=——，

AHBH

OM'333

----=一，；.OM'=：.M'(0,一)，

2422

②如圖，當AB為對角線時，

取線段AB的中點P,作輔助圓。P,與y軸交于點Mi，M2,作PGLy軸于點G,

XA+XR!y+y

點P坐標（一，A____即B（2,-2）,

22

由①可得線段AB=\[20=OP半徑

在RtAPMiG中，PMi=非,PG=2,

MiG=J(&)2_22=1,根據(jù)垂徑定理可得，M2G=1,

.,.點Mi坐標(0,-1),點M2坐標(0,-3)；

7

綜上所述，當以A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形時，點M坐標為：（0,--）或（0,

2

3

一）或（0,-1）或（0,-3）；

2

4

（3）存在點Q的橫坐標為-2或一，使NBAQ=45。.

3

理由如下：假設存在滿足條件的點Q,如圖，

當四邊形ADBC為正方形，且點Qi，Q2分別在直線AD和直線AC上時，ZBAQ=45°,

1

設過線段AB中點P,且與線段AB垂直的直線：y=--b,

2x+

將點P(2,-2)代入得：-2=-1+b,

1

解得b=-l,.?.直線為y—X-1，

2

1

設點C點坐標(n,——n-1),

2

BD

在RtAABD中，NBAQ=45°,AB=2痛，sin45°=——

AB

I1

解得BD=y/10,.'.BD=i(n-3)2+(—n+I)2=

解得卬=0,n2=4,

.?.點C坐標(0,-1),點D坐標(4,-3),

設直線AD表達式為：y=qx+p,將點A(1,-4),點D(4,-3)代入得,

1

q=—3

{13’品；君，解得13，

p-

113

直線AD的表達式為y=—x,

33

同理可得直線AC的表達式為y=-3x-1,

聯(lián)立直線AD與拋物線丫=(x-1)2-4可得，

1134

—X-——=(X-1)2-4,解得X1=1,X2=一,

333

同理聯(lián)立直線AC與拋物線可解得X3=l,X4=-2,

4

.??點Q的橫坐標為-2或一.

3

3.(2021?南充模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c經過點A(4,0)、

B(0,4)、C.其對稱軸I交x軸于點D,交直線AB于點F,交拋物線于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為直線1上的動點，求APBC周長的最小值；

(3)點N為直線AB上的一點(點N不與點F重合)，在拋物線上是否存在一點M,使以

點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標，不存在，說

明理由.

解：(1)把點A(4,。)、B(0,4)代入拋物線y=-x?+bx+c中,

得，｛-16+$+c=0,解得

拋物線的解析式為：y=-X2+3X+4,

3

(2)由拋物線解析式可知，1：x=-,C(-1,0),

2

如圖，作點B關于直線1的對稱軸連接B，C交1于一點P,點P即為使APBC周長最小

的點，

22

VB(0,4),C(-1,0),B，(3,4),

ABC=上,CB，=44,

.?.△PBC周長的最小值為：而+4

4+731

(3)存在，以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為(——_—

7+2百4-商7-2J31521

-----------),()或(―,——).理由如下:

4--------2424

325

由拋物線解析式可知，E——),

24

VA(4,0)、B(0,4),.?.直線AB的解析式為：y=-x+4,

3515

.\F(-,/.EF

224

設M(m,-m2+3m+4),

①當EF為邊時，貝I|EF〃MN,AN(m,-m+4),

1515

；.NM=EF=——，即|-m2+3m+4-(-m+4)|=——

44

3―p-5-p.4+HV—p.4-再V

解得m-(舍)或一或---------或--------,

2222

521.4+7317+2商-7^1

一,)(-----，—----------------

2424-2-4

335

②當EF為對角線時，EF的中點為(一，——),

28

19

點N的坐標為(3-m,m?-3m+——)，

4

1935521

/.-3+m+4=m2-3m+----,解得m=—(舍)，m=—，M3(-)—)

42224

4+7^1

綜上，滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為(_——.—

2

7+2回、，4一商7-2百…,521

42424

4.(2021?諸城市三模)如圖，拋物線y=ax2+bx+4經過點A(-2,0),點B(4,0),與y

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并用配方法求拋物線的頂點坐標；

(2)E是拋物線上的點，求滿足/ECD=NACO的點E的坐標；

(3)點M在y軸上，且位于點C的上方，點N在直線BC上，點P為直線BC上方拋物線

上一點，若以點C,M,N,P為頂點的四邊形是菱形，求菱形的邊長.

解：(1),拋物線y=ax?+bx+c的圖象經過點A(-2,0),點B(4,0),

1

二得降+溫+)=4，解得2，

，b=1

1

.??拋物線解析式為y=--X2+X+4,

2

1119

222

'?"y=-----X+X+4=-—(x-2x)+4=-—(x-I)+-■9

2222

9

拋物線的頂點坐標為(1,

(2)如圖1,

1

設滿足條件的點E(t,-,t2+t+4)在拋物線上：

①當點E位于直線CD下方時，過點E作EF_L直線CD,垂足為F.

11

則F(t,4),CF=t,EF=4-(——t?+t+4)=—F-1>

22

根據(jù)題意，當NECD=/ACO時，tan/ACO=tan/ECD

OAEF

即一=—，???2芋

OCCF

4t

5

解得h=0(舍去)，t2=3,E(3,—)；

②當點E，位于直線CD上方時，過點E作EFL直線CD,垂足為F.

11

貝IJF'(s,4),CF'=s,E'F'=——2+S+4-4=——s2+s,

2S2

根據(jù)題意，當/ECD=NACO時，tanZACO=tanZECD,

12

OAE'F'--s2+S

即一=■——，:.2乙

OCCF'一

4s

9

解得si=0(舍去)，S2=l.，E'(1,-).

59

所以，點E的坐標為（3,2）或a,2）；

在第一象限內取點P',過點P作P'N，〃y軸，交BC于N，，過點P作PM%BC,交y軸于

M，，.?.四邊形CMPN是平行四邊形，

:四邊形CM，PN是菱形，

.,.P,M,=PTSI,,

過點P作P'Q'Ly軸，垂足為Q',

VOC=OB,NBOC=90°,.".ZOCB=45°,

1

.?.NP'M'C=45°,設點P'(m,--m2+m+4),

2

在RSP'M'Q'中，PQ=m,P'M，="m,

VB(4,0),C(0,4),

直線BC的解析式為y=-x+4,

?.?P'N'〃y軸，；.N'(m,-m+4),

11

.,.PN'=-—m2+m+4-(-m+4)=--m2+2m,

22

1

m=--m2+2m,/.m=0(舍)或m=4-2道,

菱形CMPN，的邊長為摳(4-2/)=4也-4.

在第一象限內拋物線上取點P,過點P作PM〃:BC,

交y軸于點M,連接CP,過點M作MN〃CP,交BC于N,

，四邊形CPMN是平行四邊形，連接PN交CM于點Q,

:四邊形CPMN是菱形，

.-.PQ±CM,NPCQ=NNCQ,：NOCB=45。，

.-.ZNCQ=45°,.\ZPCQ=45O,

.?.ZCPQ=ZPCQ=45°,；.PQ=CQ,

1

設點P(n,-----n2+n+4),/.CQ=n,0Q=n+4,

2

1

.*.n+4=-—n2+n+4,n=0(舍)，此種情況不存在.

2

綜上，菱形的邊長為43-4.

10.(2021?達拉特旗三模)如圖，拋物線交x軸于A(-2,0),B(3,0)兩點，與y軸交

于點C(0,3),連接AC,BC.M為線段OB上的一個動點，過點M作PMLx軸，交拋

物線于點P,交BC于點Q.

(1)求拋物線的表達式；

(2)過點P作PNLBC,垂足為點N.設M點的坐標為M(m,0),請用含m的代數(shù)式表

示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形

是等腰三角形.若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)設拋物線的表達式為：y=a(x+2)?(x-3),

a,2x(-3)=3,

1

??a———，

2

111

.?.拋物線的關系式是丫=-一(x+2)?(x-3)=-----x2+—x+3；

22

(2)VB(3,0),C(0,3),

直線BC的表達式是y=-x+3,

.'.Q(m,-m+3),

QM=-m+3,

11

'?'P(m,-----m2+—m+3)>

22

11

?PM=-----m2H—m+3>

22

13

PQ=