2024-2025學年北京市東城區(qū)某中學九年級（上）開學數學試卷

2024-2025學年北京市東城區(qū)東直門中學九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.（3分）已知關于x的一元二次方程，+3x-加=0的一個根是x=l,則機的值為（）

A.2B.4C.-4D.-2

3.（3分）方程/+i=3x二次項系數，一次項系數和常數項分別是（）

A.1,-3,1B.-1,-3,1C.1,3,-1D.1,3,1

4.（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線向右平移2個單位長度，向上平移1個單位長度，得到

拋物線（）

A.y—（x-2）2+1B.y—（x-2）2-1

C.y=（x+2）2+lD.y=（x+2）2-1

5.（3分）用配方法解方程f-6x+l=0,方程應變形為（）

A.（x-3）2=8B.（x-3）2=10C.（x-6）2=10D.（x-6）2=8

6.（3分）關于x的一元二次方程，+如「8=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根

D.不能判斷

7.（3分）如圖是一條拋物線的圖象，則其解析式為（）

A.y—x2-2x+3B.y—x2-2x-3C.y—x2+2x+3D.y—x2+2x-3

8.（3分）已知點（7,/）、（-3,”）都在函數y=/的圖象上，則（）

第1頁（共21頁）

A.J^I<J/2<0B.j^2<_yi<0C.0<y2<yiD.0<_yi<y2

9.（3分）如圖，平面直角坐標系中，點2在第一象限，NAOB=/B=30°,04=2.將△/O3繞點。

逆時針旋轉90°（）

A.（-V3,3）B.（-3,V3）C.（-V3,2a）D.（-1,2相）

10.（3分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，

運動員起跳后的豎直高度歹（單位：m）（單位：m）近似滿足函數關系y=Qx2+fcr+c（Q#0）.如圖記錄

了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，水平距離為（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

二、填空題（每題2分，共16分）

11.（2分）在平面直角坐標系中，點（2,-3）關于原點的對稱點坐標為.

12.（2分）已知y=（加+2）x^+2是關于x的二次函數，那么小的值為.

13.（2分）二次函數-4x-1的最小值是.

14.（2分）如圖，在△/BC中，/BAC=35°,得到C,貝?。?夕ZC的度數是

15.（2分）寫出一個開口向下，頂點為（1,2）的二次函數

第2頁（共21頁）

16.（2分）為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，設

該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x,根據題意.

17.（2分）已知拋物線y=ax2+bx+c（aWO）中的x與y滿足下表：

X.??-2-1012.??

y.??-8-20-2-8???

則下列說法：①圖象經過原點；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸是〉軸（-3,-18）.其中正確的

是.

18.（2分）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動.已知某木藝藝術品加工完成共需4,B,C,

D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。須在工序/完成后進行，工序E須在工序3,工序下須在工序C,。都完成后進行；

②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/99797104

分鐘

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要分鐘；若

由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要分鐘.

三、解答題（19題8分，20題12分，21-23題5分，24-25題6分，26題7分）

19.（8分）解一元二次方程x2-4x-12=0.

20.（12分）已知二次函數y=七2-4x+5.

（1）用配方法求函數的頂點坐標；

（2）補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象.

X......-5-4-201......

y......059......

（3）根據圖象回答下列問題：

①當x時，y隨x的增大而減??；

②當x時，函數>有最______值，是

③當y>0時，x的取值范圍是；

④當-5<x<0時，y的取值范圍是.

第3頁（共21頁）

yA

?—?—?—?——?—?——?—19-

????????

i----1__i---1--i----1--i---iG-

iiiiiii

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i-----1——i---1——i-----1——i----1r~

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I____I__I____I__I____I__I______

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iiiiiiii_

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?____?____?___?__?____?__?____14_

1111111

1111111io

1-1——?--------1--1----1--1---\j-

11111111

1---1--i----1--i---1--?----17-

IIIIIIIK

I---1—?-----1—?---1—?----ir-

21.(5分)在平面直角坐標系xQy中，△NBC的三個頂點的坐標分別為N(-2,5),8(-3,0),C(1,

2).將△/2C繞原點。順時針旋轉90°得到△/'B'C,B,C的對應點分別為,B'

(1)畫出旋轉后的△，'B'C；

(2)直接寫出點C的坐標；

22.(5分)如圖，把一塊長為40c機，寬為30c加的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，并用膠帶粘

好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600c混，求剪去小正方形的邊長.

23.(5分)關于x的方程/-2x+2m-1=0有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根.

第4頁(共21頁)

24.（6分）已知乒乓球桌的長度為274cm,某人從球桌邊緣正上方高18c正處將乒乓球向正前方拋向對面

桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分.

（1）建立如圖2所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高

度y（單位：cm）（單位：cm）近似滿足函數關系y=a（x-hi）2+k（a<0）.

八y/cm

60

40

20

O20406080100120140160180200220240260280a7cm

圖1圖2

乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表所示.根據表中數據，直接寫出乒乓球豎直高度的最

大值，并求出滿足的函數關系式;

水平距離04080120160

x/cm

豎直高度1842504218

ylem

（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.005（x-

人2）2+8.判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由.

25.（6分）在平面直角坐標系xQy中，存在拋物線y=?ix2+2以及兩點/（-3,，力）和3（1,機）.

（1）求該拋物線的頂點坐標；

（2）若該拋物線經過點/（-3,m）,求此拋物線的表達式；

（3）若該拋物線與線段只有一個公共點，結合圖象，求機的取值范圍.

J'A

5-

4-

3-

2-

1-

5

-4-3-2一12345x

一

-2-

-S-

-4-

-5

26.（7分）如圖1,在正方形/BCD中，點￡是邊CD上一點，過點/作4E的垂線交C3延長線于點凡

連接EF.

第5頁（共21頁）

圖1圖2

（1）計算的度數;

（2）如圖2,過點/作NG_LEF,垂足為G,并證明.

第6頁（共21頁）

2024-2025學年北京市東城區(qū)東直門中學九年級（上）開學數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

B.既是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

2.（3分）已知關于x的一元二次方程/+3x-加=0的一個根是x=l,則比的值為（）

A.2B.4C.-4D.-2

【解答】解：把x=l代入方程f+6x-加=0得1+7-〃?=0,

解得m—4,

即m的值為4.

故選：B.

3.（3分）方程/+l=3x二次項系數，一次項系數和常數項分別是（）

A.1,-3,1B.-1,-3,1C.1,3,-1D.1,3,1

【解答】解：把原方程化為一般式為f-3x+7=0,

...原方程的二次項系數為1,一次項系數為-3,

故選：A.

4.（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2向右平移2個單位長度，向上平移1個單位長度，得到

拋物線（）

A.尸（x-2）2+1B.（x-2）2-1

C.y—（x+2）2+1D.y—（x+2）2-1

2

【解答】解：拋物線y=x2向右平移2個單位長度，得：y=（x-5）;

再向上平移1個單位長度，得：y=（x-6）2+l.

故選：A.

第7頁（共21頁）

5.（3分）用配方法解方程f-6x+l=0,方程應變形為（)

A.（X-3）2=8B.（x-3）2=10C.（x-6）2=10D.（x-6）2=8

【解答】解：?；X2-6X+6=0,

.,.x2-8x+9=8,

（x-5）2=8,

故選：A.

6.（3分）關于x的一元二次方程f+mx-8=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根

D.不能判斷

【解答】解：由題意得，A=m2-4X（-6）=m2+32>0,

原方程有兩個不相等的實數根，

故選：A.

7.（3分）如圖是一條拋物線的圖象，則其解析式為（）

A.y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x+3D.y=x2+2x-3

【解答】解：因為拋物線與x軸的交點坐標為（-1,0）,5）,

可設交點式為y=a(x+1)(x-3),

把(3,-3)代入y=a(x+1)(x-3),

可得：-3=a(0+3)(0-3),

解得：a=3,

所以解析式為：y=，-2x-5,

故選：B.

8.（3分）已知點（7,/）、（-3,”）都在函數y=/的圖象上，則（）

第8頁（共21頁）

A.2VoB.玫</<0C.D.OVyiV”

【解答】解：???點（-1,川）、（-7,二）都在函數的圖象上，

當％=-7時，?1=1,

當％=-2時，/=9,

.\.3<yi<y2-

故選：D.

9.（3分）如圖，平面直角坐標系中，點5在第一象限，/AOB=/B=30：04=2.將△ZOB繞點。

(-3,V3)c.(^3.2V3)D.(-1,2^3)

：.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=?,

.??。//=2+1=6,

：.B'(-北,3),

故選：A.

10.（3分）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，

運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）（單位：m）近似滿足函數關系y=a/+6x+c（a^O）.如圖記錄

了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，水平距離為（）

第9頁（共21頁）

A.10/77B.\5mC.20mD.22.5m

【解答】解：

法一：根據題意知，拋物線y=a/+%+c(aWO)經過點(2,54.0),46.2),57.5),

'c=54.0

1600a+40b+c=46.2

400a+20b+c=57.5

^=-0.0195

解得卜=0.585，

c=54.4

所以尤=_上;=-----°。585.

2a8X(-0.0195)

法二：?.?拋物線開口向下,

.,.后對稱軸越近，位置越圖,

從/、C兩點來看，即在20左邊,

從4、8兩點來看，即在10右邊,

故選：B.

第10頁（共21頁）

11.（2分）在平面直角坐標系中，點（2,-3）關于原點的對稱點坐標為(-2,3)

【解答】解：在平面直角坐標系中，點（2,3）.

故答案為：（-8,3）.

12.（2分）已知>=（加+2），訓+2是關于x的二次函數，那么加的值為2

【解答】解：?.1=（%+2）x附+2是y關于x的二次函數，

/.\m\=2且%+2W0.

解得加=3.

故答案為：2.

13.（2分）二次函數y=x2-4x-1的最小值是-5.

【解答】解：y—x2-4x-5—x2-4x+4-5=（x-2）5-5,

可見二次函數-2x-l的最小值是-5.

故答案為-7.

14.（2分）如圖，在△4BC中，NBAC=35°,得到△48,C,則/"AC的度數是15°

【解答】解：：將△N8C繞點/順時針方向旋轉50°得到△48'C,

：.ZBAB'=50°,

又4c=35°,

第11頁（共21頁）

:./B'AC=50°-35°=15°.

故答案為：15°.

15.（2分）寫出一個開口向下，頂點為（1,2）的二次函數y=-（x-1）2+2（答案不唯一）.

【解答】解：???頂點為（1,2）,

設二次函數的解析式y=a（%-6）2+2,

?開口向下，

，Q=-2<0,

??y=~（x_1）‘+2,

故答案為：>=-（X-1）5+2（答案不唯一）.

16.（2分）為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，設

該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x,根據題意301（1+x）2=數0.

【解答】解：設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為X,

依題意得：301（1+x）2=500.

故答案為:301（6+x）2=500.

17.（2分）已知拋物線y=ax2+bx+c（°W0）中的x與y滿足下表:

???

X???-2-1012

.??

y???-8-20-2-8

則下列說法：①圖象經過原點；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸是〉軸（-3,-18）.其中正確的

是①②⑶⑷.

【解答】解：,拋物線y=ax2+6x+c（aWO）經過點（2,0）,

該拋物線圖象經過原點，故①正確；

,/當x=-1和x=5的函數值相同，

對稱軸為直線乂口丈=0,即對稱軸為〉軸，

6

..?當x=-1時的函數值小于x=6的函數值，

???在對稱軸左邊，>隨x增大而增大，

???圖象開口向下，故②正確；

設拋物線解析式為>="2+的

把（1,-6）,-8）代入中得：3,

I4a+c=-8

第12頁（共21頁）

lc=O

拋物線解析式為y=-2必，

.,.當x=-3時，y=-2X（-8）2=-18,

，圖象經過點（-3,-18）；

故答案為：①②③④.

18.（2分）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動.已知某木藝藝術品加工完成共需4,B,C,

D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。須在工序/完成后進行，工序￡須在工序3,工序尸須在工序C,。都完成后進行；

②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/99797104

分鐘

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要53分鐘;若由

兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要28分鐘.

【解答】解：由題意得：9+9+5+9+7+10+2=55（分鐘），

即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要55分鐘；

假設這兩名學生為甲、乙，

:工序C,。須在工序/完成后進行，。都完成后進行，2都需要9分鐘完成，

甲學生做工序/,乙學生同時做工序8,

然后甲學生做工序。，乙學生同時做工序C,需要11分鐘，

最后甲學生做工序尸，乙學生同時做工序￡,

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要9+11+6=28（分鐘），

故答案為：55,28.

三、解答題（19題8分，20題12分，21-23題5分，24-25題6分，26題7分）

19.（8分）解一元二次方程，-4x-12=0.

【解答】解：：/-4工-12=8,

（%-6）（x+2）=8,

貝!Jx-6=0或x+3=0,

第13頁（共21頁）

??xi=2,X2~~~2.

20.（12分）已知二次函數y=-x?-4x+5.

（1）用配方法求函數的頂點坐標；

（2）補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象.

X...............-5-4-201..............

y...............059..............

（3）根據圖象回答下列問題:

①當x>-2時,y隨x的增大而減小;

②當x=-2時,函數”有最大值,是9

③當>>0時，x的取值范圍是-5<x<l；

④當-5<x<0時，y的取值范圍是0〈vW9

V4

?—?—?—?—?—?—?—19-

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i-------1__i--------1--i--------1--i---------

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?-------1—?------1—?------1—?------ir-

????????

【解答】解：（1）依題意，

y--x2-4x+4=-（/+4丫+4-4）+5=-（x+8）2+9,

...函數的頂點坐標（-7,9）；

（2）依題意，

"-"y=-x2-8x+5=-（x+2）3+9,

???函數的對稱軸是直線x=-2,

x=-8和x=l關于對稱軸直線工=-2對稱，

以及x=-7和x=0關于對稱軸直線苫=-2對稱，

.,.當x=8,則y=5,則y=0,

補全表格，

第14頁（共21頁）

X......-3-4-241......

y......07952......

并在平面直角坐標系中用描點法畫出該二次函數的圖象.如圖所示:

①當X>-2時，y隨x的增大而減??；

②當x=-2時，函數y有最大值；

③當y>3時，x的取值范圍是

④當-3<x<0時，y最大值=9,

當x=-5,則y=0,則y=5；

當-2<x<0時，y的取值范圍是0<yW7.

21.(5分)在平面直角坐標系xOy中，△48C的三個頂點的坐標分別為/(-2,5),5(-3,0),C(1,

2).將△/2C繞原點。順時針旋轉90°得到△/'B'C,B,。的對應點分別為H,B'

(1)畫出旋轉后的△，'B'C；

(2)直接寫出點C的坐標；

(3)求△/BC的面積.

第15頁(共21頁)

(3)如圖所示:

第16頁(共21頁)

.117

??SAAK=4X7-yX8X5-yX2X4-yX3X7=9-

22.（5分）如圖，把一塊長為40cm,寬為30c加的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，并用膠帶粘

好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600°混，求剪去小正方形的邊長.

【解答】解：設剪去小正方形的邊長是切加，則紙盒底面的長為（40-2x）cm,

根據題意得：（30-2x）（40-8x）=600.

整理得：（x-5）（x-30）=0.

解得：X7=30（舍去），X2=5,

答：剪去小正方形的邊長是

23.（5分）關于x的方程/-2x+2%-1=0有實數根，且加為正整數，求加的值及此時方程的根.

【解答】解：?.?關于x的方程x2-2x+5加-1=0有實數根，

：.b6-^ac=^-7⑵?-1）23,

解得：

為正整數，

??加=1,

，原方程可化為X4-2x+l=7,

則（x-1）2=5,

第17頁（共21頁）

解得：XI=X2=5.

24.(6分)已知乒乓球桌的長度為274CM某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球向正前方拋向對面

桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分.

(1)建立如圖2所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高

度y(單位：cm)(單位：cm)近似滿足函數關系y=a(x-/zi)2+kCa<0).

八y/cm

60

40

20

O2040608010012014016018020022024026028嚴幾111

圖1圖2

乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表所示.根據表中數據，直接寫出乒乓球豎直高度的最

大值，并求出滿足的函數關系式;

水平距離04080120160

x/cm

豎直高度1842504218

y/cm

(2)乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度了與水平距離x近似滿足函數關系y=-0.005(x-

〃2)2+8.判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由.

【解答】解：(1)由表中數據可知，乒乓球豎直高度的最大值為50c%,船=80,左=50；

與x的函數關系式為y=a(x-80)2+50,

把(7,18)代入函數解析式得：18=6ZX802+50,

解得a=-0.005,

與x的函數關系式為y=-3.005(x-80)2+50；

(2)令尸0,貝！1-8.005(x-80)2+50=0,

解得x=180或x=-20(舍去)，

球第一次落在球桌面上的點為(180,4),

把(180,0)代入