2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.1.3分層抽樣課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修3

PAGE其次章統(tǒng)計(jì)2．1隨機(jī)抽樣2．1.3分層抽樣[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．某中學(xué)有中學(xué)生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從中學(xué)生中抽取70人，則n為 ()A．100 B．150C．200 D．250解析：由題意得，eq\f(n,3500＋1500)＝eq\f(70,3500)，解得n＝100.答案：A2．對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則 ()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：不管是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣還是分層抽樣，它們都是等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為eq\f(n,N).答案：D3．為了保證分層抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被等可能地抽取，必須要求 ()A．每層等可能抽取B．每層抽取的個(gè)體數(shù)相等C．每層抽取的個(gè)體數(shù)可以不一樣多，但必需滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中i是層的序號(hào)，k是總層數(shù)，n為抽取的樣本容量，Ni是第i層中的個(gè)體數(shù)，N是總體容量)D．只要抽取的樣本容量肯定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒(méi)有限制解析：分層抽樣時(shí)，在各層中按層中所含個(gè)體在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣．A中，雖然每層等可能地抽樣，但是沒(méi)有指明各層中應(yīng)抽取幾個(gè)個(gè)體，故A不正確；B中，由于每層的個(gè)體數(shù)不肯定相等，每層抽取同樣多的個(gè)體數(shù)，明顯從總體來(lái)看，各層的個(gè)體被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正確；C中，對(duì)于第i層的每個(gè)個(gè)體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無(wú)關(guān)，即對(duì)于每個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō)，被抽取為樣本的可能性是相同的，故C正確；D明顯不正確．答案：C4．某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問(wèn)卷調(diào)查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個(gè)年齡段回收的問(wèn)卷依次為：120份，180份，240份，x份．因調(diào)查須要，從回收的問(wèn)卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學(xué)生問(wèn)卷中抽取60份，則在15～16歲學(xué)生中抽取的問(wèn)卷份數(shù)為 ()A．60 B．80C．120 D．180解析：11～12歲回收180份，其中在11～12歲學(xué)生問(wèn)卷中抽取60份，抽樣比為eq\f(1,3)，因?yàn)榉謱映槿颖镜娜萘繛?00，故回收問(wèn)卷總數(shù)為eq\f(300,\f(1,3))＝900份，故x＝900－120－180－240＝360份，360×eq\f(1,3)＝120份．答案：C5．在120個(gè)零件中，一級(jí)品24個(gè)，二級(jí)品36個(gè)，三級(jí)品60個(gè)，用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是__________．解析：在分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等，且為eq\f(樣本容量,總體容量).所以每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)6．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，依據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類型ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130由于不當(dāng)心，表格中A，C兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清晰了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，依據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是__________件．解析：抽樣比130∶1300＝1∶10，即每10個(gè)產(chǎn)品中取1個(gè)個(gè)體，又A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的多10，故A產(chǎn)品比C產(chǎn)品多100件，故eq\f(1,2)(3000－1300－100)＝800(件)為C產(chǎn)品數(shù)量．答案：8007．下列問(wèn)題中，采納怎樣的抽樣方法較為合理？(1)從10臺(tái)電冰箱中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；(2)某學(xué)校有160名教職工，其中老師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的看法，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本；(3)體育彩票000001～100000編號(hào)中，凡彩票號(hào)碼最終三位數(shù)為345的中一等獎(jiǎng)．(1)__________(2)__________(3)__________．解析：題號(hào)推斷緣由分析(1)抽簽法總體容量較小，宜用抽簽法(2)分層抽樣由于學(xué)校各類人員對(duì)這一問(wèn)題的看法可能差異較大，用分層抽樣(3)系統(tǒng)抽樣總體容量大，樣本容量較大，等距抽取，用系統(tǒng)抽樣答案：(1)抽簽法(2)分層抽樣(3)系統(tǒng)抽樣8．某單位有2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開(kāi)發(fā)、營(yíng)銷、生產(chǎn)各部門(mén)中，如下表所示：人數(shù)管理技術(shù)開(kāi)發(fā)營(yíng)銷生產(chǎn)合計(jì)老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200合計(jì)16032048010402000(1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？(2)若要開(kāi)一個(gè)25人的探討單位發(fā)展與薪金調(diào)整方面的座談會(huì)，則應(yīng)怎樣抽選出席人？解析：(1)按老年、中年、青年分層抽樣，抽取比例為eq\f(40,2000)＝eq\f(1,50).故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技術(shù)開(kāi)發(fā)、營(yíng)銷、生產(chǎn)進(jìn)行分層，用分層抽樣，抽取比例為eq\f(25,2000)＝eq\f(1,80)，故管理，技術(shù)開(kāi)發(fā)，營(yíng)銷，生產(chǎn)各抽取2人，4人，6人，13人．9．為了考察某校的教學(xué)水平，抽查了該學(xué)校高三年級(jí)部分學(xué)生的本年度考試成果．為了全面地反映實(shí)際狀況，實(shí)行以下三種考察方式(已知該校高三年級(jí)共有14個(gè)教學(xué)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生都已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào)，假定該校每班人數(shù)都相同)．①?gòu)娜昙?jí)14個(gè)班中隨意抽取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀须S意抽取14人，考察他們的學(xué)習(xí)成果；②每個(gè)班都抽取1人，共計(jì)14人，考察這14個(gè)學(xué)生的成果；③把該校高三年級(jí)的學(xué)生按成果分成優(yōu)秀，良好，一般三個(gè)級(jí)別，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考查(已知若按成果分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名，良好學(xué)生有420名，一般學(xué)生有175名)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問(wèn)題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個(gè)體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式各自采納何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫(xiě)出上面三種抽取方法各自抽取樣本的步驟．解析：(1)這三種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成果，個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本年度的考試成果．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；其次種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為14；第三種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成果，樣本容量為100.(2)第一種方式采納的方法是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；其次種方式采納的方法是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；第三種方式采納的方法是分層抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個(gè)班中用抽簽法隨意抽取一個(gè)班；其次步：從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：在第一個(gè)班中，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法隨意抽取某一學(xué)生，記其學(xué)號(hào)為x；其次步：在其余的13個(gè)班中，選取學(xué)號(hào)為x＋50k(1≤k≤13，k∈Z)的學(xué)生，共計(jì)14人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因?yàn)槿舭闯晒?，其中?yōu)秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取樣本中，應(yīng)當(dāng)把全體學(xué)生分成三個(gè)層次；其次步：確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)，因?yàn)闃颖救萘颗c總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每個(gè)層抽取的個(gè)體數(shù)依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15，60，25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取15人，在良好生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取60人，在一般生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取25人．第四步：將所抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成樣本．[B組實(shí)力提升]10．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視人數(shù)分別為 ()A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000人，則樣本容量為10000×2%＝200人，其中抽取的中學(xué)生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20.答案：A11．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案．運(yùn)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為001，002，003，…，270；運(yùn)用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)為001，002，003，…，270，并將整個(gè)編號(hào)平均分為10段．假如抽得的號(hào)碼有下列四種狀況：①007，034，061，088，115，142，169，196，223，250；②005，009，100，107，111，121，180，195，200，265；③011，038，065，092，119，146，173，200，227，254；④036，062，088，114，140，166，192，218，244，270.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 ()A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①③都可能為分層抽樣解析：系統(tǒng)抽樣又稱為“等距抽樣”，做到等距的有①③④，但只做到等距還不肯定是系統(tǒng)抽樣，還應(yīng)做到10段中每段要抽1個(gè)，檢查這一點(diǎn)只需看第一個(gè)元素是否在001～027范圍內(nèi)，結(jié)果發(fā)覺(jué)④不符合，同時(shí)，若為系統(tǒng)抽樣，則分段間隔k＝eq\f(270,10)＝27，④也不符合這一要求，所以可能是系統(tǒng)抽樣的為①③，因此解除A，C；若采納分層抽樣，一、二、三年級(jí)的人數(shù)比例為4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三個(gè)年級(jí)應(yīng)分別抽取4人、3人、3人，即在001～108范圍內(nèi)要有4個(gè)編號(hào)，在109～189和190～270范圍內(nèi)要分別有3個(gè)編號(hào)，符合此要求的有①②③，即它們都可能為分層抽樣(其中①③在每一層內(nèi)采納了系統(tǒng)抽樣，②在每一層內(nèi)采納了簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣)，所以解除B.答案：D12．山東某中學(xué)針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開(kāi)設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參與這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，依據(jù)要求每人只能參與一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參與社團(tuán)的人數(shù)狀況如下表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿足程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取__________人．解析：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320.因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)為320×eq\f(3,10)＝96.由題意知，抽樣比為eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為96×eq\f(1,16)＝6.答案：613．某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工只能參與其中一組．在參與活動(dòng)的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山組的職工占參與活動(dòng)總?cè)藬?shù)的eq\f(1,4)，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.為了了解各組不同年齡層的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿足程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參與活動(dòng)的全體職工中抽取容量為200的樣本．試求：(1)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；(2)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．解析：(1)設(shè)登山組人數(shù)為x，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a，b，c，則有eq\f(x·40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq\f(x·10%＋3xc,4x)＝10%.解得b＝50%，c＝10%.故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占的比例為40%，50%，10%.(2)游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×40%＝60；抽取的中年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×50%＝75；抽取的老年人人數(shù)為200×eq\f(3,4)×10%＝15.14．某中學(xué)實(shí)行了為期3天的新世紀(jì)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)，同時(shí)進(jìn)行全校精神文明擂臺(tái)賽．為了解這次活動(dòng)在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名中學(xué)生中作問(wèn)卷調(diào)查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評(píng)估．(1)應(yīng)如何抽取才能得到比較客觀的評(píng)價(jià)結(jié)論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個(gè)容量為48的樣本，假如采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，應(yīng)如何操作？(3)為了從4000份中學(xué)生的答卷中抽取一個(gè)容量為64的樣本，如何運(yùn)用系統(tǒng)抽樣抽取到所需的樣本？解析：(1)由于這次活動(dòng)對(duì)教職員工、初中生和中學(xué)生產(chǎn)生的影響不會(huì)相同，所以應(yīng)當(dāng)實(shí)行分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣．因?yàn)闃颖救萘繛?20，總體個(gè)數(shù)為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8，300