2024-2025學年高考數學一輪復習專題2.9函數模型及其應用知識點講解文科版含解析

函數模型及其應用【核心素養(yǎng)分析】1.了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合詳細實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義；2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍運用的函數模型)的廣泛應用.3.培育學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算的素養(yǎng)?！局攸c學問梳理】學問點一指數、對數、冪函數模型性質比較函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的改變隨x的增大漸漸表現為與y軸平行隨x的增大漸漸表現為與x軸平行隨n值改變而各有不同學問點二種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)與指數函數相關模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與對數函數相關模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數相關模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)【特殊提示】1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“對數增長”先快后慢，其增長速度緩慢.2.充分理解題意，并嫻熟駕馭幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必需驗證數學結果對實際問題的合理性.【典型題分析】高頻考點一利用函數模型解決實際問題例1.【2024年高考全國Ⅱ卷文數】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數為，設須要志愿者x名，，,故須要志愿者18名，故選B?！痉椒记伞?1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)依據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該模型求解實際問題．【變式探究】【2024·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付勝利后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15【解析】①x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，須要支付元.②設顧客一次購買水果的促銷前總價為元，當元時，李明得到的金額為，符合要求；當元時，有恒成立，即，因為，所以的最大值為.綜上，①130；②15.高頻考點二構建二次函數模型解決實際問題例2.（2024·山西康杰中學模擬）某企業(yè)為打入國際市場，確定從A，B兩種產品中只選擇一種進行投資生產，已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表(單位：萬美元)：項目類別年固定成本每件產品成本每件產品銷售價每年最多可生產的件數A產品20m10200B產品40818120其中年固定成本與年生產的件數無關，m為待定常數，其值由生產A產品的原料價格確定，預料m∈[6,8]，另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特殊關稅，假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．(1)寫出該廠分別投資生產A，B兩種產品的年利潤y1，y2與生產相應產品的件數x1，x2之間的函數關系式，并指明定義域；(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃．【解析】(1)由題意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05xeq\o\al(2,2)＝－0.05xeq\o\al(2,2)＋10x2－40＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x1－20為增函數．又0≤x1≤200，x1∈N，∴當x1＝200時，生產A產品的最大利潤為(10－m)×200－20＝1980－200m(萬美元)．∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，∴當x2＝100時，生產B產品的最大利潤為460萬美元．(y1)max－(y2)max＝(1980－200m)－460＝1520－200m.易知當6≤m＜7.6時，(y1)max＞(y2)max.即當6≤m＜7.6時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤；當m＝7.6時，投資生產A產品200件或投資生產B產品100件，均可獲得最大年利潤；當7.6＜m≤8時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤． 【方法突破】(1)二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但肯定要親密留意函數的定義域，否則極易出錯；(2)確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；(3)解決函數應用問題時，最終要還原到實際問題．【變式探究】（2024·河北唐山一中模擬）“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.探討表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在肯定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數.當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等緣由，v的值為0千克/年.(1)當0<x≤20時，求函數v關于x的函數解析式；(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.【解析】(1)由題意得當0<x≤4時，v＝2，當4<x≤20時，設v＝ax＋b(a≠0)，明顯v＝ax＋b在(4，20]內是減函數，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20.))(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當0<x≤4時，f(x)為增函數，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.故當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.高頻考點三構建指數函數、對數函數模型解決實際問題例3．【2024·全國Ⅰ卷】基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數增長率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍須要的時間為天，則，所以，所以，所以天.【方法技巧】(1)要先學會合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先須要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題．【變式探究】（2024·江蘇省丹陽高級中學模擬）一片森林原來面積為a，支配每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為愛護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？【解析】(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).故每年砍伐面積的百分比為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).(2)設經過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，把x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10))代入，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年.高頻考點四構建分段函數模型解決實際問題例4.（2024·陜西西安中學模擬）某景區(qū)供應自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃運用，管理這些自行車的費用是每日115元．依據閱歷，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必需高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．(1)求函數y＝f(x)的解析式；(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？【解析】(1)當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x為整數，∴3≤x≤6，x∈Z.當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結合x為整數得6＜x≤20，x∈Z.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，明顯當x＝6時，ymax＝185；對于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，當x＝11時，ymax＝270.∵270＞185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．【方法突破】(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；(2)構造分段函數時，要力求精確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【變式探究】（2024·云南昆明第三中學模擬）某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元．(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？(2)現按(1)中的數量購買機器人，須要支配m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經試驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m（60－m），1≤m≤30，,480，m＞30))(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機