2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用知識點講解文科版含解析

函數(shù)模型及其應(yīng)用【核心素養(yǎng)分析】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合詳細實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍運用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.3.培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)?！局攸c學(xué)問梳理】學(xué)問點一指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的改變隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值改變而各有不同學(xué)問點二種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)【特殊提示】1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.2.充分理解題意，并嫻熟駕馭幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必需驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.【典型題分析】高頻考點一利用函數(shù)模型解決實際問題例1.【2024年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數(shù)為，設(shè)須要志愿者x名，，,故須要志愿者18名，故選B?！痉椒记伞?1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)依據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實際問題．【變式探究】【2024·北京卷】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15【解析】①x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，須要支付元.②設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元，當(dāng)元時，李明得到的金額為，符合要求；當(dāng)元時，有恒成立，即，因為，所以的最大值為.綜上，①130；②15.高頻考點二構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題例2.（2024·山西康杰中學(xué)模擬）某企業(yè)為打入國際市場，確定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位：萬美元)：項目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原料價格確定，預(yù)料m∈[6,8]，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特殊關(guān)稅，假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去．(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x1，x2之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域；(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃．【解析】(1)由題意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05xeq\o\al(2,2)＝－0.05xeq\o\al(2,2)＋10x2－40＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x1－20為增函數(shù)．又0≤x1≤200，x1∈N，∴當(dāng)x1＝200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品的最大利潤為(10－m)×200－20＝1980－200m(萬美元)．∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，∴當(dāng)x2＝100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品的最大利潤為460萬美元．(y1)max－(y2)max＝(1980－200m)－460＝1520－200m.易知當(dāng)6≤m＜7.6時，(y1)max＞(y2)max.即當(dāng)6≤m＜7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；當(dāng)m＝7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件，均可獲得最大年利潤；當(dāng)7.6＜m≤8時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤． 【方法突破】(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但肯定要親密留意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；(2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最終要還原到實際問題．【變式探究】（2024·河北唐山一中模擬）“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.探討表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在肯定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達到20尾/立方米時，因缺氧等緣由，v的值為0千克/年.(1)當(dāng)0<x≤20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.【解析】(1)由題意得當(dāng)0<x≤4時，v＝2，當(dāng)4<x≤20時，設(shè)v＝ax＋b(a≠0)，明顯v＝ax＋b在(4，20]內(nèi)是減函數(shù)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數(shù)v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20.))(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當(dāng)0<x≤4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當(dāng)0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.故當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.高頻考點三構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題例3．【2024·全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間為天，則，所以，所以，所以天.【方法技巧】(1)要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先須要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．【變式探究】（2024·江蘇省丹陽高級中學(xué)模擬）一片森林原來面積為a，支配每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為愛護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).故每年砍伐面積的百分比為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10)).(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，把x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,10))代入，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年.高頻考點四構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實際問題例4.（2024·陜西西安中學(xué)模擬）某景區(qū)供應(yīng)自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃運用，管理這些自行車的費用是每日115元．依據(jù)閱歷，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必需高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？【解析】(1)當(dāng)x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，明顯當(dāng)x＝6時，ymax＝185；對于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，當(dāng)x＝11時，ymax＝270.∵270＞185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．【方法突破】(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；(2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求精確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【變式探究】（2024·云南昆明第三中學(xué)模擬）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元．(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，須要支配m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經(jīng)試驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m（60－m），1≤m≤30，,480，m＞30))(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機