2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課時(shí)規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用[A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]1．2024年6月，上海合作組織青島峰會(huì)后，青島成為國(guó)內(nèi)外旅游的好去處，隨著游客的增加，菜價(jià)上漲，某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)料，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)料的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()解析：由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)當(dāng)漸漸增大．答案：B2．甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點(diǎn)動(dòng)身，路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先動(dòng)身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)解析：由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時(shí)動(dòng)身，但甲用時(shí)間少，即甲的速度比乙快．答案：D3．20世紀(jì)30年頭，為了防范地震帶來的災(zāi)難，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運(yùn)用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．若“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅為0.001，測(cè)震儀測(cè)得某地地震的震級(jí)為4級(jí)，則該地地震的最大振幅為()A．6 B．8C．10 D．12解析：由題意知，lgA－lg0.001＝4，所以lgA＝1，即A＝10.答案：C4．李華經(jīng)營(yíng)了甲、乙兩家電動(dòng)轎車銷售連鎖店，其月利潤(rùn)(單位：元)分別為L(zhǎng)甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x為銷售輛數(shù)).若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A．11000元 B．22000元C．33000元 D．40000元解析：設(shè)甲連鎖店銷售x輛，則乙連鎖店銷售(110－x)輛，故利潤(rùn)L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴當(dāng)x＝60時(shí)，有最大利潤(rùn)33000元．答案：C5．今有一組數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四個(gè)模擬函數(shù)中，最適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do9(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2解析：把t看作自變量，v看作其函數(shù)值，從表中數(shù)據(jù)的改變趨勢(shì)看，函數(shù)遞增的速度不斷加快，比照四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A是對(duì)數(shù)型函數(shù)，其遞增速度不斷變慢，選項(xiàng)B隨著t的增大v變小，故解除．選項(xiàng)D以一個(gè)恒定的幅度改變，其圖象是直線型的，不符合本題的改變規(guī)律，選項(xiàng)C是二次型函數(shù)，對(duì)比數(shù)據(jù)知，其最接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)的改變趨勢(shì)．答案：C6．某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為8元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元．用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤(rùn)最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天可獲利潤(rùn)為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當(dāng)k＝9時(shí)，獲得利潤(rùn)最大．答案：C7．(2024·河南開封質(zhì)檢)用長(zhǎng)度為24(單位：米)的材料圍成一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為()A．3米 B．C．6米 D．解析：設(shè)隔墻的長(zhǎng)為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x·eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當(dāng)x＝3時(shí)，y取得最大值．答案：A8.某廠有很多形態(tài)為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖所示，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15.答案：A9．某位股民購(gòu)進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)驗(yàn)了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)驗(yàn)了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費(fèi)用)為()A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法推斷盈虧狀況解析：設(shè)該股民購(gòu)進(jìn)這支股票的價(jià)格為a元，則經(jīng)驗(yàn)n次漲停后的價(jià)格為a(1＋10%)n＝a·1.1n元，經(jīng)驗(yàn)n次跌停后的價(jià)格為a·1.1n·(1－10%)n＝a·1.1n·0.9n＝a·(1.1·0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損．答案：B10．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則他經(jīng)過的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10，所以若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則他至少須要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”．答案：C11．某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A．10元 B．20元C．30元 D．eq\f(40,3)元解析：設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，化簡(jiǎn)得k2－k1＝eq\f(1,5).當(dāng)t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10(元).答案：A12．某企業(yè)打算投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣揚(yáng)，在一年內(nèi)預(yù)料銷售量y(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝1＋eq\f(3x,x＋2)(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完．若每件甲產(chǎn)品售價(jià)(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和，則當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為()A．30.5萬元 B．31.5萬元C．32.5萬元 D．33.5萬元解析：由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價(jià)為eq\f(30y＋4,y)·150%＋eq\f(x,y)·50%，故年銷售收入為z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(30y＋4,y)·150%＋\f(x,y)·50%))·y＝45y＋6＋eq\f(1,2)x，∴年利潤(rùn)W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq\f(x,2)＝17＋eq\f(45x,x＋2)－eq\f(x,2)(萬元)，∴當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為17＋eq\f(45,1＋2)－eq\f(1,2)＝31.5(萬元).答案：B13．?dāng)M定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為________元．解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.2414．某人依據(jù)閱歷繪制了從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時(shí)間x(天)改變的函數(shù)圖象如圖所示，則此人在12月26日解析：前10天滿意一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時(shí)，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)15．某人安排購(gòu)買一輛A型轎車，售價(jià)為14.4萬元，購(gòu)買后轎車一年的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需2.4萬元，同時(shí)汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年削減它的價(jià)值的10%)，試求，大約運(yùn)用多少年后，花費(fèi)在該車上的費(fèi)用(含折舊費(fèi))達(dá)到14.4萬元？解析：設(shè)運(yùn)用x年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元．依題意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化簡(jiǎn)得x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因?yàn)閒(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上應(yīng)有一個(gè)零點(diǎn)．故大約運(yùn)用4年后，花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元．[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·遼寧沈陽模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有起先時(shí)的八分之一．解析：依題意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，所以b＝eq\f(ln2,8)，所以y＝a·e－eq\f(ln2,8)t.若容器中的沙子只有起先時(shí)的八分之一，則有a·e－eq\f(ln2,8)t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24，所以再經(jīng)過的時(shí)間為24－8＝16(min).答案：162．某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元．該廠為激勵(lì)銷售商訂購(gòu)，確定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不低于51元．(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為p元，寫出函數(shù)p＝f(x)的解析式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)多少個(gè)時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)為6000元？(工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)＝實(shí)際出廠單價(jià)－成本)解析：(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元時(shí)，一次訂購(gòu)量為x0個(gè)，則x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)＝550(個(gè))，因此，當(dāng)一次訂購(gòu)量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)格恰好降為51元．(2)當(dāng)0≤x≤100時(shí)，p＝60；當(dāng)100＜x＜550時(shí)，p＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；當(dāng)x≥550時(shí)，p＝51.所以p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60（0≤x≤100），,62－\f(x,50)（100＜x＜550），（x∈N*），,51（x≥550）))(3)設(shè)銷售商的一次訂購(gòu)量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，則L＝(p－40)x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x≤100），,22x－\f(x2,50)（100＜x＜550），（x∈N*），,11x（x≥550）))當(dāng)0≤x≤100時(shí)，L≤2000；當(dāng)x≥550時(shí)，L≥6050；當(dāng)100＜x＜550時(shí)，L＝22x－eq\f(x2,50).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22x－\f(x2,50)＝6000，,100＜x＜550，))解得x＝500.3．某種特色水果每年的上市時(shí)間從4月1號(hào)起先僅能持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間．上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢(shì)，中期價(jià)格起先下降，后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上接著下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格改變的模擬函數(shù)可供選擇：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p).其中p，q均為常數(shù)且q＞1.(注：x表示上市時(shí)間，f(x)表示價(jià)格，記x＝0表示4月1號(hào)，x＝1表示5月1號(hào)，…，以此類推x∈[0，5])(1)在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中，哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格改變態(tài)勢(shì)，請(qǐng)你選擇，并簡(jiǎn)要說明理由；(2)對(duì)(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，記g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)，經(jīng)過多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時(shí)，拓展外銷市場(chǎng)的效果最為明顯，請(qǐng)預(yù)料明年拓展外銷市場(chǎng)的時(shí)間是幾月1號(hào)？解析：(1)依據(jù)題意，該