2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課時規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用[A組基礎(chǔ)對點練]1．2024年6月，上海合作組織青島峰會后，青島成為國內(nèi)外旅游的好去處，隨著游客的增加，菜價上漲，某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據(jù)預(yù)料，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)料的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()解析：由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的曲線上的點的切線斜率應(yīng)當(dāng)漸漸增大．答案：B2．甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點動身，路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先動身B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同D．甲比乙先到達終點解析：由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時動身，但甲用時間少，即甲的速度比乙快．答案：D3．20世紀(jì)30年頭，為了防范地震帶來的災(zāi)難，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．若“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅為0.001，測震儀測得某地地震的震級為4級，則該地地震的最大振幅為()A．6 B．8C．10 D．12解析：由題意知，lgA－lg0.001＝4，所以lgA＝1，即A＝10.答案：C4．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x為銷售輛數(shù)).若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為()A．11000元 B．22000元C．33000元 D．40000元解析：設(shè)甲連鎖店銷售x輛，則乙連鎖店銷售(110－x)輛，故利潤L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴當(dāng)x＝60時，有最大利潤33000元．答案：C5．今有一組數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四個模擬函數(shù)中，最適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do9(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2解析：把t看作自變量，v看作其函數(shù)值，從表中數(shù)據(jù)的改變趨勢看，函數(shù)遞增的速度不斷加快，比照四個選項，選項A是對數(shù)型函數(shù)，其遞增速度不斷變慢，選項B隨著t的增大v變小，故解除．選項D以一個恒定的幅度改變，其圖象是直線型的，不符合本題的改變規(guī)律，選項C是二次型函數(shù)，對比數(shù)據(jù)知，其最接近試驗數(shù)據(jù)的改變趨勢．答案：C6．某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時，每天可獲利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當(dāng)k＝9時，獲得利潤最大．答案：C7．(2024·河南開封質(zhì)檢)用長度為24(單位：米)的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A．3米 B．C．6米 D．解析：設(shè)隔墻的長為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x·eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當(dāng)x＝3時，y取得最大值．答案：A8.某廠有很多形態(tài)為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖所示，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以當(dāng)y＝12時，S有最大值，此時x＝15.答案：A9．某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)驗了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)驗了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為()A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法推斷盈虧狀況解析：設(shè)該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)驗n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a·1.1n元，經(jīng)驗n次跌停后的價格為a·1.1n·(1－10%)n＝a·1.1n·0.9n＝a·(1.1·0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損．答案：B10．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則他經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10，所以若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則他至少須要經(jīng)過10個“半衰期”．答案：C11．某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()A．10元 B．20元C．30元 D．eq\f(40,3)元解析：設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當(dāng)t＝100時，100k1＋20＝100k2，化簡得k2－k1＝eq\f(1,5).當(dāng)t＝150時，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10(元).答案：A12．某企業(yè)打算投入適當(dāng)?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣揚，在一年內(nèi)預(yù)料銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝1＋eq\f(3x,x＋2)(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完．若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當(dāng)廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為()A．30.5萬元 B．31.5萬元C．32.5萬元 D．33.5萬元解析：由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價為eq\f(30y＋4,y)·150%＋eq\f(x,y)·50%，故年銷售收入為z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(30y＋4,y)·150%＋\f(x,y)·50%))·y＝45y＋6＋eq\f(1,2)x，∴年利潤W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq\f(x,2)＝17＋eq\f(45x,x＋2)－eq\f(x,2)(萬元)，∴當(dāng)廣告費為1萬元時，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為17＋eq\f(45,1＋2)－eq\f(1,2)＝31.5(萬元).答案：B13．?dāng)M定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.2414．某人依據(jù)閱歷繪制了從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)改變的函數(shù)圖象如圖所示，則此人在12月26日解析：前10天滿意一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(1，10)和點(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)15．某人安排購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車一年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年削減它的價值的10%)，試求，大約運用多少年后，花費在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元？解析：設(shè)運用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元．依題意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化簡得x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因為f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上應(yīng)有一個零點．故大約運用4年后，花費在該車上的費用達到14.4萬元．[B組素養(yǎng)提升練]1．(2024·遼寧沈陽模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底部一個微小的小孔漸漸地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有起先時的八分之一．解析：依題意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，所以b＝eq\f(ln2,8)，所以y＝a·e－eq\f(ln2,8)t.若容器中的沙子只有起先時的八分之一，則有a·e－eq\f(ln2,8)t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24，所以再經(jīng)過的時間為24－8＝16(min).答案：162．某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為激勵銷售商訂購，確定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不低于51元．(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p＝f(x)的解析式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購多少個時，該廠獲得的利潤為6000元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)解析：(1)設(shè)每個零件的實際出廠價格恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋eq\f(60－51,0.02)＝550(個)，因此，當(dāng)一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價格恰好降為51元．(2)當(dāng)0≤x≤100時，p＝60；當(dāng)100＜x＜550時，p＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50)；當(dāng)x≥550時，p＝51.所以p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60（0≤x≤100），,62－\f(x,50)（100＜x＜550），（x∈N*），,51（x≥550）))(3)設(shè)銷售商的一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元，則L＝(p－40)x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x（0≤x≤100），,22x－\f(x2,50)（100＜x＜550），（x∈N*），,11x（x≥550）))當(dāng)0≤x≤100時，L≤2000；當(dāng)x≥550時，L≥6050；當(dāng)100＜x＜550時，L＝22x－eq\f(x2,50).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22x－\f(x2,50)＝6000，,100＜x＜550，))解得x＝500.3．某種特色水果每年的上市時間從4月1號起先僅能持續(xù)5個月的時間．上市初期價格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢，中期價格起先下降，后期價格在原有價格基礎(chǔ)之上接著下跌．現(xiàn)有三種價格改變的模擬函數(shù)可供選擇：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p).其中p，q均為常數(shù)且q＞1.(注：x表示上市時間，f(x)表示價格，記x＝0表示4月1號，x＝1表示5月1號，…，以此類推x∈[0，5])(1)在上述三個價格模擬函數(shù)中，哪一個更能體現(xiàn)該種水果的價格改變態(tài)勢，請你選擇，并簡要說明理由；(2)對(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，記g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)，經(jīng)過多年的統(tǒng)計發(fā)覺，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時，拓展外銷市場的效果最為明顯，請預(yù)料明年拓展外銷市場的時間是幾月1號？解析：(1)依據(jù)題意，該