2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1～3章單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版必修第一冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(一)(第1～3章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.集合A={x∈R|x(x-1)(x-2)=0},則集合A的非空子集的個(gè)數(shù)為 ()A.4 B.8 C.7 D.6【解析】選C.集合A={x∈R|x(x-1)(x-2)=0}={0,1,2},共有23=8個(gè)子集,其中非空子集有7個(gè).2.命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定為 ()A.?x∈R,x2+x+1≥0B.?x∈R,x2+x+1≤0C.?x∈R,x2+x+1≥0D.?x?R,x2+x+1≥0【解析】選B.由題意得原命題的否定為?x∈R,x2+x+1≤0.3.若a,b,c∈R且a>b,則下列不等式成立的是 ()A.a2>b2B.QUOTE<QUOTEC.aQUOTE>bQUOTED.QUOTE>QUOTE【解析】選D.選項(xiàng)A:a=0,b=-1,符合a>b,但不等式a2>b2不成立,故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的;選項(xiàng)B:當(dāng)a=0,b=-1符合已知條件,但零沒有倒數(shù),故QUOTE<QUOTE不成立,故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的;選項(xiàng)C:當(dāng)c=0時(shí)aQUOTE>bQUOTE不成立,故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的;選項(xiàng)D:因?yàn)閏2+1>0,所以依據(jù)不等式的性質(zhì),由a>b能推出QUOTE>QUOTE.4.已知集合A=QUOTE,B=QUOTE,則A∪B= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)锳=QUOTE,B=QUOTE,所以A∪B=QUOTE.5.(2024·浙江高考)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.如圖所示,由a>0,b>0,a+b≤4?ab≤4,反之不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.6.QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為 ()A.9 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)?6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=-QUOTE時(shí)取等號(hào)).即QUOTE(-6≤a≤3)的最大值為QUOTE.7.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 ()A.QUOTEB.RC.QUOTED.【解析】選A.因?yàn)棣?a2+4m>0,所以函數(shù)y=mx2-ax-1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),又m>0,所以原不等式的解集不行能是B、C、D選項(xiàng).8.某市原來居民用電價(jià)為0.52元/(kW·h),換裝分時(shí)電表后,峰時(shí)段(早上八點(diǎn)到晚上九點(diǎn))的電價(jià)為0.55元/(kW·h),谷時(shí)段(晚上九點(diǎn)到次日早上八點(diǎn))的電價(jià)為0.35元/(kW·h).對(duì)于一個(gè)平均每月用電量為200kW·h的家庭,換裝分時(shí)電表后,每月節(jié)約的電費(fèi)不少于原來電費(fèi)的10%,則這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量至多為 ()A.110kW·h B.114kW·hC.118kW·h D.120kW·h【解析】選C.設(shè)每月峰時(shí)段的平均用電量為xkW·h,則谷時(shí)段的用電量為(200-x)kW·h;依據(jù)題意得(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)≥200×0.52×10%,解得x≤118.所以這個(gè)家庭每月峰時(shí)段的平均用電量至多為118kW·h.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列命題是真命題的是 ()A.若x=1,則x2+x-2=0B.若x2=16,則x=4C.若A?B,m∈A,則m∈BD.全等三角形的面積相等【解析】選AD.x2=16時(shí)x=±4,B是假命題,若A?B,m∈A,m不肯定屬于B,C是假命題;AD是真命題.10.假如QUOTE是QUOTE的充分不必要條件,則a的值可以是 ()A.-1 B.0 C.2 D.3【解析】選CD.因?yàn)镼UOTE是QUOTE的充分不必要條件,所以QUOTEQUOTE,故a的值可以是2,3.11.下列不等式不正確的是 ()A.QUOTE≥2B.QUOTE≥2C.QUOTE>xyD.QUOTE≥QUOTE【解析】選BCD.因?yàn)閤與QUOTE同號(hào),所以QUOTE=|x|+QUOTE≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí),等號(hào)成立,A正確;當(dāng)x,y異號(hào)時(shí),B不正確;當(dāng)x=y時(shí),QUOTE=xy,C不正確;當(dāng)x=1,y=-1時(shí),D不正確.12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且不等式y(tǒng)>-2x的解集為QUOTE,則 ()A.a<0B.方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是1,3C.b=-4a-2D.若方程y+6a=0有兩個(gè)相等的根,則實(shí)數(shù)a=-QUOTE【解析】選ACD.由于不等式y(tǒng)>-2x的解集為QUOTE,即關(guān)于x的二次不等式ax2+QUOTEx+c>0的解集為QUOTE,則a<0.由題意可知,1,3為關(guān)于x的二次方程ax2+QUOTEx+c=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系得-QUOTE=1+3=4,QUOTE=1×3=3,所以b=-4a-2,c=3a,所以y=ax2-QUOTEx+3a.由題意知,關(guān)于x的方程y+6a=0有兩相等的根,即關(guān)于x的二次方程ax2-QUOTEx+9a=0有兩相等的根,則Δ=QUOTE-36a2=QUOTE=0,因?yàn)閍<0,解得a=-QUOTE.三、填空題(每小題5分,共20分)13.已知集合U=QUOTE,A=QUOTE,則UA=.

【解析】因?yàn)閁=QUOTE,A=QUOTE,所以UA=QUOTE答案:QUOTE14.若二次函數(shù)y=x2-mx+3有且只有一個(gè)零點(diǎn),則m=.

【解析】二次函數(shù)y=x2-mx+3有且只有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程x2-mx+3=0的判別式Δ=m2-12=0,所以m=±2QUOTE.答案:±2QUOTE15.已知A={x|1<x<2},B={x|x2-2ax+a2-1<0},若A?B,則a的取值范圍是.

【解析】方程x2-2ax+a2-1=0的兩根為a+1,a-1,且a+1>a-1,所以B={x|a-1<x<a+1}.因?yàn)锳?B,所以QUOTE解得1≤a≤2.答案:1≤a≤216.若0<x<QUOTE,則函數(shù)y=xQUOTE的最大值為.

【解析】因?yàn)?<x<QUOTE,所以1-4x2>0,所以xQUOTE=QUOTE×2xQUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2x=QUOTE,即x=QUOTE時(shí)等號(hào)成立.答案:QUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B={x|x>2}.(1)分別求A∩B,(RB)∪A;(2)已知集合C={x|1<x<a},若C?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},B={x|x>2},所以A∩B={x|2<x≤3},(RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3},(2)①當(dāng)a≤1時(shí),C=?,此時(shí)C?A;②當(dāng)a>1時(shí),C?A,則1<a≤3;綜合①②,可得a的取值范圍是(-∞,3].18.(12分)已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10.由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m(m>0),所以p:{x|-2≤x≤10},q:{x|1-m≤x≤1+m},因?yàn)閝是p的充分不必要條件,所以QUOTE解得0<m≤3,所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|0<m≤3}.19.(12分)(1)若x<3,求y=2x+1+QUOTE的最大值;(2)已知x>0,求y=QUOTE的最大值.【解析】(1)因?yàn)閤<3,所以3-x>0.又因?yàn)閥=2(x-3)+QUOTE+7=-QUOTE+7,由基本不等式可得2(3-x)+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2(3-x)=QUOTE,即x=3-QUOTE時(shí),等號(hào)成立,于是-QUOTE≤-2QUOTE,-QUOTE+7≤7-2QUOTE,故y的最大值是7-2QUOTE.(2)y=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閤>0,所以x+QUOTE≥2QUOTE=2,所以0<y≤QUOTE=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE,即x=1時(shí),等號(hào)成立.故y的最大值為1.20.(12分)設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°.【證明】(1)必要性:設(shè)方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根x0,則QUOTE+2ax0+b2=0,QUOTE+2cx0-b2=0,兩式相減可得x0=QUOTE,將此式代入QUOTE+2ax0+b2=0,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.(2)充分性:因?yàn)椤螦=90°,所以b2+c2=a2,b2=a2-c2.①將①代入方程x2+2ax+b2=0,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.將①代入方程x2+2cx-b2=0,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.故兩方程有公共根x=-(a+c).所以方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°.21.(12分)“綠水青山就是金山銀山”.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,我國(guó)更加重視對(duì)生態(tài)環(huán)境的愛護(hù),2024年起,政府對(duì)環(huán)保不達(dá)標(biāo)的養(yǎng)雞場(chǎng)進(jìn)行限期整改或勒令關(guān)閉.一段時(shí)間內(nèi),雞蛋的價(jià)格起伏較大(不同周價(jià)格不同).假設(shè)第一周、其次周雞蛋的價(jià)格分別為x、y(單位:元/kg);甲、乙兩人的購(gòu)買方式不同:甲每周購(gòu)買3kg雞蛋,乙每周購(gòu)買10元錢雞蛋.(1)若x=8,y=10,求甲、乙兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格;(2)推斷甲、乙兩人誰的購(gòu)買方式更實(shí)惠(平均價(jià)格低視為實(shí)惠),并說明理由.【解析】(1)因?yàn)閤=8,y=10,所以甲兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=9(元),乙兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE(元).(2)甲兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE,乙兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格為QUOTE=QUOTE,由(1)知x=8,y=10時(shí)乙兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格低,揣測(cè)乙的購(gòu)買方式更實(shí)惠.依題意x,y>0,且x≠y,因?yàn)镼UOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE,所以乙兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購(gòu)買雞蛋的平均價(jià)格低,即乙的購(gòu)買方式更實(shí)惠.22.(12分)志愿者團(tuán)隊(duì)要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的矩形隊(duì)徽ABCD,已知點(diǎn)E在邊CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周長(zhǎng)為8cm.(1)設(shè)AB=xcm,試用x表示出圖中DE的長(zhǎng)度,并求出x的取值范圍;(2)安排在△ADE區(qū)域涂上藍(lán)色代表星空,假如要使△ADE的面積最大,那么應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)隊(duì)徽的長(zhǎng)和寬.【解析】(1)由題意可得AD=4-x,且x