2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)(上海專版) 第6章 四邊形一（多邊形和平行四邊形）（教師版含解析）

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)(上海專用)

第六章四邊形(1)

(多邊形和平行四邊形)

1多邊形

知識(shí)梳理

1.在平面內(nèi)，不在同一直線上的一些線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的封閉圖形，叫做多邊形.

由n條線段組成的多邊形就稱為〃邊形(〃23).

組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊.

相鄰的兩條線段的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

多邊形相鄰兩邊所在的射線組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.

聯(lián)結(jié)多邊形的兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

對(duì)于一個(gè)多邊形，畫出它的任意一邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側(cè)，

那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形；否則叫做凹多邊形.

2.多邊形內(nèi)角和定理：〃邊形的內(nèi)角和等于(〃-2).180°(〃N3).

3.由多邊形的一個(gè)內(nèi)角的一邊和另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.

對(duì)于多邊形的每一個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的所有外角的和,

叫做多邊形的外角和.

多邊形的外角和等于360°.

例題精講

【例1】若正〃邊形的內(nèi)角為140°,邊數(shù)〃為.

【參考答案】9.

【例2】如圖，BE為正五邊形河8￡的一條對(duì)角線，則.

B

C'-------，D

【參考答案】360.

【例3】一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都是36°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.

【參考答案】10.

【例4】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

【參考答案】4.

【例5】從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)可作17條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形內(nèi)角和為度.

【參考答案】3240.

2平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）

知識(shí)梳理

（一）平行四邊形

1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

2.平行四邊形的性質(zhì)定理1：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分

別相等.

簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)邊相等.

平行四邊形的性質(zhì)定理2：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分

別相等.

簡(jiǎn)述為：平行四邊形的對(duì)角相等.

夾在兩條平行線間的平行線段相等.

平行四邊形的性質(zhì)定理3：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線

互相平分.

簡(jiǎn)述為：平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.

平行四邊形的性質(zhì)定理4：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

3.平行四邊形的判定定理1：如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，那么這個(gè)四邊形是平行

四邊形.

簡(jiǎn)述為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的判定定理2：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平

行四邊形.

簡(jiǎn)述為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的判定定理3：如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平

行四邊形.

簡(jiǎn)述為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的判定定理4：如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等，那么這個(gè)四邊形是平行

四邊形.

簡(jiǎn)述為：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.

【說(shuō)明】

1.平行四邊形的判定還可以用平行四邊形的定義：如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，

則這個(gè)四邊

形是平行四邊形.

（二）特殊的平行四邊形

1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

2.矩形的性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角.

矩形的性質(zhì)定理2：矩形的兩條對(duì)角線相等.

菱形的性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等.

菱形的性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.

正方形的性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直，每條對(duì)角線平分一組對(duì)

角.

3.矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四功形是矩形.

菱形判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形.

菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

【說(shuō)明】

1.菱形、矩形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).

2.菱形和正方形的面積還可用對(duì)角線乘積除以2求得

【總結(jié)】

1.平行四邊形滿足的性質(zhì)：①、②、④、⑤、⑧、?

2.菱形滿足的性質(zhì)：①、②、④、⑤、⑥、⑧、⑨、?領(lǐng)?

3.矩形滿足的性質(zhì)：①、②、③、④、⑤、⑦、⑧、⑩、?，領(lǐng)?I

例題精講

【題型--平行四邊形】

【例1】四邊形他CD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O.給出下列四組條件：

①AB〃CE>,AD//BC；

@AB=CD,AD=BC-,

@AO=CO,BO=DO；

@AB//CD,AD^BC.

其中一定能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有（）

A.1組；8.2組；C.3組；D.4組.

【參考答案】C.

【例2】在四邊形458中，AD//BC,要使四邊形他8是平行四邊形，還需

添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是.（只要填寫一種情況）

【參考答案】AD=3。（答案不唯一）.

【例3】已知：平行四邊形他CD中，點(diǎn)”為邊CZ）的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊鉆的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

AM.CN.

（1）求證：AM//CN；

（2）過(guò)點(diǎn)3作3HLiM,垂足為，，聯(lián)結(jié)C”.求證：△BCH是等腰三角形.

【參考答案】

證明：（D：四邊形4BCD是平行四邊形，AB〃C。且AB=C￡>.

:點(diǎn)M、N分別是邊C。、A3的中點(diǎn)，ACM=~CD,AN=-AB.

22

：.CM=AN.又‘：AB"CD,

二四邊形4VCW是平行四邊形AM//CN.

（2）將CN與BH的交點(diǎn)記為E."：BHLAM,：.NAHB=90°.

AM//CN,：.NNEB=ZAHB=90°.即。V_LBH.

..."6.BN_EB

?AM//CNV,??----=-----.

ANEH

???點(diǎn)N是AB邊的中點(diǎn)，:?AN=BN.：.EB=EH.

???直線CN是線段BH的垂直平分線.CH=CB.即aBCH是等腰三角形.

【題型二?菱形】

【例1】下列正方形的性質(zhì)中，菱形（非正方形）不具有的性質(zhì)是（）

4.四邊相等；B.對(duì)角線相等；

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角；D.對(duì)角線互相平分且垂直.

【參考答案】B.

【例2】如果平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,那么在下列條件中，能

判斷平行四邊形MCD為菱形的是（）

A.NOAB=/OBA；B.NOAB=NOBC；

C.NOAB=NOCD；D.ZOAB=ZOAD.

【參考答案】D.

【例3】在四邊形ABCD中，如果"〃CO,AB=BC,要使四邊形A3CZ）是菱

形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是.

【參考答案】48=8（答案不唯一）.

【例4】己知菱形的面積為96C/T?,兩條對(duì)角線之比為3：4,則菱形的周長(zhǎng)為

【參考答案】40cm.

【例5】如圖，在菱形MCD中，BHLAD于H,且A”：印)=3:2.

(1)試求.歷叱54。的值；

(2)若菱形ABCD的面積為100,試求其兩條對(duì)角線BD與AC的長(zhǎng).

【參考答案】

解：⑴令A(yù)〃=34,DH=2k,

由四邊形ABCD為菱形得AB=AD=+"D=5人.

在心△AB"中，ZBHA=90°,AH=3k,AB=5k.

I-;------rBH4

BH=<AB2-AH2=4k.，sinABAD=—=-.

AB5

2

(2)VS^iABCD=ADBH=5k-4k=20k,

又新以/磔印00，二？。公=100,解得人=括.

又在Rf△BDH中,NBHD=90°,DH=2k=2君,BH=4k=4出,

：.BD=yjBH2+DH2=10,

S焚^形ABCLD=-2BDAC=2-x]QAC=5AC,

又*?'S^ABCD=100-；?5AC=100,；?AC=20.

【例6】如圖(1),在菱形ABC。中，AEYBC,AF±CD,垂足為E、F.

(1)求證：△皿L

(2)若Nfi4￡=NE4F,求證：AE=BE；

(3)若對(duì)角線8。與AE、A尸交于點(diǎn)例、N,且BM=MN(如圖(2)).求證:

ZEAF^2ZBAE.

【參考答案】

解：(1)；四邊形43CZ)是菱形，AAB=AD,ZABE=ZADF,

又；AEJLBC,AFA.CD,：.ZAEB=ZAFD,：./\ABE^^ADF.

(2)：四邊形ABCD是菱形，A3〃CD,

又,.?AF_LCD,AAFLAB,：.ZBAF=90°,

又Nfi4￡=ZE4F,/.ZBAE=45%

,/ZAEB=90°,ZB=45°=ZBAE,AAE=BE.

(3)'：/XABE^^ADF,：.ZBAE=ZDAF,AB=AD,

：.ZABM=ZADN,

：./^ABM^/\ADN.：.AM^AN,

又；Na47V=90°,BM=MN,：.AM=MN=AN,

：.ZMAN=6O°,：.ZMAB=30°,：.ZEAF=2ZBAE.

【例7】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD〃8C,點(diǎn)E、/在邊3c上，DE//AB,AF

//CD,且四邊形/1EFD是平行四邊形.

(1)試判斷線段AD與8c的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論;

(2)現(xiàn)有三個(gè)論斷：

?AD=AB；

②NB+NC=90°；

③NB=2NC.

請(qǐng)從上述三個(gè)論斷中選擇一個(gè)論斷作為條件，證明四邊形的D是菱形.

【參考答案】

(D解：線段相＞與5c的長(zhǎng)度之間的數(shù)量為：BC=3AD.

證明：":〃AB,...四邊形ABED是平行四邊形.

:.AD=BE.同理可證，四邊形加力是平行四邊形.

：.AD=FC.又I?四邊形田D是平行四邊形，

:.AD^EF.：.AD=BE=EF=FC.BC=3AD.

(2)解：選擇論斷②作為條件.

證明：VDE//AB,:.ZB=ZDEC.

ZB+ZC=90°,/./DEC+NC=90°.即得NEDC=90°.

又；EF=FC,/?DF=EF.

???四邊形AEFD是平行四邊形，.?.平行四邊形AEFD是菱形.

【題型三】矩形

【例1】下列關(guān)于四邊形是矩形的判斷中，正確的是()

A.對(duì)角線互相平分；B.對(duì)角線互相垂直；

C.對(duì)角線互相平分且垂直；D.對(duì)角線互相平分且相等.

【參考答案】D.

【例2】我們把兩個(gè)能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，則下列命題中真命題是（）

A.有一條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)矩形是全等圖形；

B.有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形是全等圖形；

C.有兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)矩形是全等圖形；

D.有兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形是全等圖形.

【參考答案】D.

【例3】四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）

A.AB=CD；B.AD=BC；C.AB=BC；D.AC=BD.

【參考答案】D.

【例4】已知：如圖，在四邊形中，點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上，CE平分/BCD、CF

平分NGC￡>,EF//BC交CD于■點(diǎn)0.

（1）求證：OE=OFx

（2）若點(diǎn)。為CZ）的中點(diǎn)，求證：四邊形OECF是矩形.

【參考答案】

證明：（1）；CE平分ZBCD、CF平分ZGCD：.ZBCE=ZDCE,NDCF=NGCF

EF//BC,ZBCE=ZFEC,NEFC=ZGCF

ZDCE=NFEC,AEFC=/DCF：.OE-OC,OF=OC,OE=OF.

(2)：點(diǎn)。為CD的中點(diǎn)，AOD=OC,又OE=OF,

/.四邊形DECF是平行四邊形CE平分ZBCD、CF平分NGCD,

：.ZDCE=-ZBCD,ZDCF=-ZDCG

22

NDCE+NDCF=g(NBCD+NDCG)=g/BCG=90°

ZDCE+ZJDCF=AECF,：.NECF=90°

.四邊形。EC戶是平行四邊形，.,.平行四邊形DEC產(chǎn)是矩形.

【題型四】正方形

【例1】在下列命題中，真命題是（）

A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；

B.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；

C.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

D.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形.

【參考答案】c.

【例2】已知四邊形A8CD中，ZA=ZB=ZC=90\如果添加一個(gè)條件，即可判定該四邊

形是正方形，那么所添加的這個(gè)條件可以是（）

A.Z￡>=90°；B.AB=CD；C.AD=BC；D.BC=CD.

【參考答案】D.

【例3】下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；B.對(duì)角線相等的菱形是正方形；

C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；D.一組鄰邊相等的矩形是正方形.

【參考答案】A.

【例4】已知：如圖，在梯形至8中，AD//BC,AB=CD,BC=2AD,DEA.BC,垂

足為點(diǎn)尸，且尸是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE,交邊8C于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形MG。是平行四邊形；

(2)如果4￡>=夜48,求證：四邊形DGEC是正方形.

【參考答案】

證明：⑴,：DE上BC,尸是OE的中點(diǎn)，，:.DC=EC.

即得“＜才=/￡。尸.又二AD"BC,AB=CD,

：.ZB^ZDCF,AB=CE.：.ZB=NECF.：.AB//EC.

y.'：AB^EC,：.四邊形AflEC是平行四邊形.，BG=CG=』3C.

2

VBC=2AD,：.AD=BG.

又力〃8G,.,.四邊形ABGD是平行四邊形.

(2)：四邊形486￡＞是平行四邊形，,43〃。6,AB=DG.

又,.,4?〃EC,AB=EC,：.DG//EC,DG=EC.

???四邊形DGEC是平行四邊形.

又,：DC=EC,：.四邊形DGEC是菱形.二DG=DC.

由4。=夜48,即得CG=V5OC=&OG.

DG2+DC-=CG2.，NGDC=90°.；.四邊形DGEC是正方形.

真題訓(xùn)練

1.(2018?上海)已知平行四邊形A8C。，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是

A.ZA=ZBB.Z4=ZCC.AC=BDD.ABA.BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、Z4+N8=180。，所以NA=NB=90。，可以判定這個(gè)平行四邊形

為矩形，正確;

B、ZA=NC不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；

C、AC=?。瑢?duì)角線相等，可推出平行四邊形A8c。是矩形，故正確:

D、ABYBC,所以NB=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確;

故選：B.

2.（2018?上海）對(duì)于一個(gè)位置確定的圖形，如果它的所有點(diǎn)都在一個(gè)水平放置的矩形內(nèi)部或邊上,

且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）,那么這個(gè)矩形水平方向的邊長(zhǎng)稱為該圖

形的寬，鉛錘方向的邊長(zhǎng)稱為該圖形的高.如圖2,菱形45co的邊長(zhǎng)為1,邊45水平放

置.如果該菱形的高是矩形的寬的士，那么矩形的寬的值是.

3------

【分析】先根據(jù)要求畫圖，設(shè)矩形的寬AF=x,則CF=2x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

3

【解答】解：在菱形上建立如圖所示的矩形E4FC,

2

設(shè)AF=x,則CV=—x,在RtACBF中，CB=1,BF=x-\,

3

由勾股定理得：BC2=BF2+CF-,l2=(x-l)2+

解得：x=更或0（舍），即它的寬的值是竺，故答案為：-

131313

3.（2017?上海）已知平行四邊形ABC￡>,AC、皮）是它的兩條對(duì)角線，那么下列條件中，能判

斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）

A.ZBAC=ZDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、ZBAC=ZDCA,不能判斷四邊形是矩形；

B、ZBAC-ZDAC,能判定四邊形是菱形；不能判斷四邊形是矩形；

C、ABAC=ZABD,能得出對(duì)角線相等，能判斷四邊形ABCD是矩形；

D、ABAC=ZADB,不能判斷四邊形是矩形；

故選：C

4.（2017?上海）已知：如圖，四邊形43CD中，AD//BC,AD=CD,E是對(duì)角線比>上一點(diǎn),

且￡4=EC.

（1）求證：四邊形A88是菱形;

（2）如果B￡=8C,且/€7組:48四=2:3,求證：四邊形ABC。是正方形.

【分析】（1）首先證得=由全等三角形的性質(zhì)可得NADEuNCDE',由A￡>〃BC

可得NA￡>E=NC8￡）,易得NCDB=NCBD,可得3c=8，易得">=3C,利用平行線的

判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由4。=CD可得四邊形是菱形；

⑵由BE=BC可得\BEC為等腰三角形，可得N3CE=N8EC,利用三角形的內(nèi)角和定理可得

ZCBE=180xl=45°,易得ZABE=45。,可得NABC=90。，由正方形的判定定理可得四邊

4

形ABC。是止方形.

AD=CD

【解答】證明：（1）在石與ACT）石中，,。后=。后，

EA=EC

:.&\DEw〉CDE,:.ZADE=NCDE,

AD/IBC.：.ZADE=ZCBD,：.NCDE=NCBD,:.BC=CD,

?;AD=CD,.?.BC=AD,

???四邊形A8CD為平行四邊形，

???AZ）=8,.?.四邊形ABC。是菱形；

（2）???BE=BCZBCE=/BEC,

2

NCBE:ZBCE=2:3,ZCBE=180x-----------=45°,

2+3+3

?.?四邊形是菱形，.?.NABE=45。，.?.NABC=90。，.?.四邊形ABC￡）是正方形.

模擬題專練

1.（2019?虹口區(qū)二模）正六邊形的半徑與邊心距之比為（）

A.1：GB.-73:1C.6:2D.2:73

【分析】求出正六邊形的邊心距（用R表示），根據(jù)“接近度”的定義即可解決問(wèn)題.

【解答】解：?.?正六邊形的半徑為R，

.,.邊心距r=R:r=i:=2:\/3.故選：D.

22

2.（2019?嘉定區(qū)二模）對(duì)于一個(gè)正多邊形，下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.正多邊形是軸對(duì)稱圖形，每條邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸

B.正多邊形是中心對(duì)稱圖形，正多邊形的中心是它的對(duì)稱中心

C.正多邊形每一個(gè)外角都等于正多邊形的中心角

D.正多邊形每一個(gè)內(nèi)角都與正多邊形的中心角互補(bǔ)

【分析】利用正多邊形的對(duì)稱軸的性質(zhì)、對(duì)稱性、中心角的定義及中心角的性質(zhì)作出判斷即可.

【解答】解：A、正多邊形是軸對(duì)稱圖形，每條邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸，正確，故此選項(xiàng)

錯(cuò)誤；

正奇數(shù)多邊形多邊形不是中心對(duì)稱圖形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；

C、正多邊形每一個(gè)外角都等于正多邊形的中心角，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、正多邊形每一個(gè)內(nèi)角都與正多邊形的中心角互補(bǔ)，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（2020?奉賢區(qū)一模）公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，這

個(gè)正多邊形面積可無(wú)限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來(lái)近似估計(jì)圓的面積,

如圖，口O是正十二邊形的外接圓，設(shè)正十二邊形的半徑。4的長(zhǎng)為1,如果用它的面積來(lái)近似

估計(jì)口。的面積，那么口。的面積約是.

【分析】設(shè)四為正十二邊形的邊，連接08,過(guò)A作A￡>_LO8于。，由正十二邊形的性質(zhì)得出

NAO8=30。，由直角三角形的性質(zhì)得出A￡>=，OA=,，求出AAO8的面積=」OBxA￡）=’,即

2224

可得出答案.

【解答】解：設(shè)的為正十二邊形的邊，連接08,過(guò)A作于O,如圖所示：

360°I1

/.ZAOB=——=30。，vAD.LOB,:.AD=-OA=-,

1222

.?.△403的面積=,03'4。=工'1、!=1正十二邊形的面積=12x2=3,

22244

，口O的面積"正十二邊形的面積=3,故答案為：3.

A

O

4.（2020?閔行區(qū)一模）正五邊形的邊長(zhǎng)與邊心距的比值為—.（用含三角比的代數(shù)式表示）

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)求出NBOC，再根據(jù)垂徑定理求出Nl=36。，然后利用勾股

定理和解直角三角形即可得解

【解答】解：?.PO是正五邊形ABCZ9E的外接圓，

ZBOC=-x360°=72°.

J5

Z1=-ZBOC=-x72°=36°,

22

設(shè)這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)為。，半徑為R，邊心距為r,/?2一,=（；〃了=；/,

—a=/?sin36°?a=27?sin36°：—a=rtan36°>.,.a=2；"tan36°,z.—=2tan36°,

22r

故正五邊形的邊長(zhǎng)與邊心距的比值為2tan36。，故答案為：2tan36。.

5.（2020?崇明區(qū)一模）正五邊形的中心角的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正”邊形的圓中心角為36更0°，則代入求解即可.

n

【解答】解：正五邊形的中心角為：弛=72。.

5

故答案為：72°.

6.（2019?浦東新區(qū)二模）已知一個(gè)正多邊形的中心角為30度，邊長(zhǎng)為x厘米（x>0）,周長(zhǎng)為y

厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為.

【分析】由正多邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓心角定理求出正多邊形的邊數(shù)，即可得出結(jié)果.

【解答】解：?.?正多邊形的中心角為30度，

二”⑵

30°

二正多邊形為正十二邊形，

設(shè)邊長(zhǎng)為x厘米(x>0),周長(zhǎng)為y厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=12x；

故答案為：y=12x.

7.(2019?金山區(qū)二模)一個(gè)正多邊形的對(duì)稱軸共有10條，且該正多邊形的半徑等于4,那么該

正多邊形的邊長(zhǎng)等于.

【分析】根據(jù)釉對(duì)稱圖形的性質(zhì)得到這個(gè)正多邊形是正十邊形，求出正十邊形的中心角，作4C

平分NQAB交08于C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【解答】解：?.?正多邊形的對(duì)稱軸共有10條，

這個(gè)正多邊形是正十邊形，

設(shè)這個(gè)正十邊形的中心為O,則。4=。8=4,

ZAOB=^36—0°=36°,-：OA=OB,:.AOAB=AB=1T,

10

作AC平分NOAB交08于C,則NQ4C=NO,ZACB=ZB.

,-.OC=CA=AB-^ABC^\OAB.即AB?=4x(4-A8),

OAAB

解得，Aq=2逐-2,=-2后-2(舍去)，

:.AB=2亞一2,故答案為：2后-2.

'B

8.（2019?崇明區(qū)一模）如果一個(gè)正六邊形的半徑為2,那么這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為.

【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)，

.??正六邊形的邊長(zhǎng)。=2,

正六邊形的周長(zhǎng)=&/=12,

故答案為：12.

9.（2019?松江區(qū)二模）正六邊形的中心角等于度.

【分析】根據(jù)正六邊形的六條邊都相等即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?正六邊形的六條邊都相等，

.??正六邊形的中心角="=60°.

6

故答案為：60.

10.（2019?長(zhǎng)寧區(qū)一模）邊長(zhǎng)為6的正六邊形的邊心距為.

【分析】已知正六邊形的邊長(zhǎng)為6,欲求邊心距，可通過(guò)邊心距、邊長(zhǎng)的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造

直角三角形，通過(guò)解直角三角形求解即可.

【解答】解：如圖所示，此正六邊形中48=6,

則Z4O8=6（）。：-：OA=OB^，A04B是等邊三角形，

?：OGLAB,/.ZAOG=30%OG=OADcos30°=6x—=3>/3,故答案為30.

2

UAGB/

11.（2019春?嘉定區(qū)期末）如果平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為AC=8,〃，

BD=12cm,那么3c邊的長(zhǎng)度可能是（）

A.BC=2cmB.BC=6cmC.BC=lOcmD.BC=20cm

【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分確定對(duì)角線的一半的長(zhǎng)，然后利用三角形的三邊關(guān)系

確定邊長(zhǎng)的取值范圍，從該范圍內(nèi)找到一個(gè)合適的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：設(shè)平行四邊形的對(duì)角線交于。點(diǎn)，

,-.OA=OC=4,OB=OD=6,/.6-4<BC<6+4.-.2<BC<10,

.?.6cm符合，故選：B.

12.（2019春?浦東新區(qū)期中）下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（）

A.一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)

B.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等

C.兩組對(duì)邊相等

D.一組對(duì)邊平行，且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角

【分析】平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）

兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.根據(jù)平

行四邊形的判定逐一驗(yàn)證.

【解答】解：A、能用兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；

8、不能判定平行四邊形，如等腰梯形；

C、能用兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；

D、能用兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形：

故選：B.

13.（2019春?楊浦區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC=1O,

BD=24,則A￡>=.

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求AO的長(zhǎng).

【解答】解：?.?□ABCZ）的對(duì)角線AC與即相交于點(diǎn)O,

.-.BO=DO=-BD=\2,AO=CO=-AC=5,

22

■.■ABrAC.AD=V52+122=13,故答案為：13.

14.（2019?嘉定區(qū)二模）如圖，平行四邊形45co的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、O,過(guò)點(diǎn)O的線段

EF與AD、8c分別交于點(diǎn)E、F,如果4?=4,BC=5,OE=-,那么四邊形EF8的周

2

長(zhǎng)為.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,ZOAD=ZOCF,

NAOE和NCOF是對(duì)頂角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=OE=1.5,CF=AE,所于是

得到結(jié)論.

【解答】解：?.?四邊形平行四邊形，

.-.AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC，ZOAD=ZOCF,ZAOE=NCOF,

:.\OAE=\OCF{AAS),：.()F=OE=\.5,CF=AE,

.?.四邊形EFCD的周長(zhǎng)=￡￡>+CD+CF+OF+OE

^ED+AE+CD+OE+OF

AD+CD+OE+OF

=4+5+1.5+1.5

=12.

故答案為：12.

15.（2019春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形4JCD中，ZABC=60°,BC=2AB=S,

點(diǎn)C關(guān)于4）的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接BE交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)G為CO的中點(diǎn)，連接EG,8G,則

S&BEG=----------'

【分析】如圖，取8c中點(diǎn)“，連接AH,連接EC交AD「N,作EM_LC￡>交CD的延長(zhǎng)線于

M.構(gòu)建5AMe=SARCE+S^-S^計(jì)算即可；

【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)4,連接AH,連接EC交AD于N,作項(xiàng)f_LCD交CD的延長(zhǎng)

線于M.

?：BC=2AB,BH=CH,Z4BC=60。，：.BA=BH=CH,

.■.AABH是等邊三角形，:.HA=HB=HC.ABAC=90°,.-.ZACB=30°.

■.■ECA-BC,ZBCD=180°-ZABC=120°,.-.ZACE=60°,ZECM=30°,

?.-8C=248=8,:.CD=4,CN=EN=26/.EC=4^.EM=273,

?,^AHEG=S,\BCE+SKG-^MiCG

=5x8x4,y3+—x2x2#--S平行四邊彩48co

=16^+2>/3-45/3

=146.

故答案為46.

E

16.(2019春?楊浦區(qū)期中)如果一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的平分線分它的一邊為1:2兩部分，

那么稱這樣的平行四邊形為“協(xié)調(diào)平行四邊形”，稱該邊為“協(xié)調(diào)邊”，當(dāng)協(xié)調(diào)邊為6時(shí),它的

周長(zhǎng)為.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出/歸=AE；分兩種情況：①當(dāng)他=2,

￡)E=4時(shí)；②當(dāng)A￡=4,￡>E=2時(shí)；即可求出平行四邊形的周長(zhǎng).

【解答】解：如圖所示：①當(dāng)AE=2,叱=4時(shí).，

?.?四邊形438是平行四邊形，

:.BC=AD=6,AB=CD，AD//BC,;.ZAEB=NCBE,

?.?BE平分ZA8C,:.ZABE=ZCBE,:.ZABE=ZAEB..-.AB=AE=2,

.??平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+AD)=16：

②當(dāng)AE=4,止=2時(shí)，同理得：AB=A￡=4,.?.平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+AD)=20；

故答案為：16或20.

17.(2019春?金山區(qū)期末)已知：如圖，LI/WCD中，AE,CF分別是和ZBCO的角平分

線，分別交邊。C、A8于點(diǎn)E\F,求證：AE=CF.

D,EC

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義，證明=尸即可判斷A￡=CF.

【解答】解：?.?四邊形A3CZ）是平行四邊形，.?.N￡MB=NDCB,ZD=ZB,AD=BC.

■：AE^C廠分別是NS4￡）和N8CD的角平分線，:.ZDAE=ZBCF.

MDE=ACBF（ASA）.:.AE=CF.

18.（2019春?楊浦區(qū)期中）在平行四邊形A8CD中，ZA=45°,BD1AD,BD=2.

（1）求平行四邊形43CZ）的周長(zhǎng)和面積；

（2）求A、C兩點(diǎn)間的距離.

【分析】⑴由等腰直角三角形的性質(zhì)得出4>=切>=2,由勾股定理求出

AB=y]AD2+BD2=2>/2,由平行四邊形的性質(zhì)得出。C=AB=2四，BC=AD=2,即可得出

平行四邊形的周長(zhǎng)和而積；

（2）連接AC,與皿相交于點(diǎn)O,由平行四邊形的性質(zhì)得出8=1B￡>=1,AC=2AO,由勾股

2

定理求出。4，得出AC=24即可.

【解答】（1）解：；8。_1_4）；./4￡）8=90。

又?.?ZA=45°，ZA8r>=45°，">=8D=2,r.AB=4AD?+BD?=2&,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，:.DC=AB=2叵,BC=AD=2,

'''C平行四邊形Aso?=2AB+2AD=2（2^+2）=4P+4.

$平行四邊形ABCO=A。xBD=2x2=4；

（2）解：連接AC,與迎相交于點(diǎn)O,如圖所示:

?.?四邊形AB8是平行四邊形，,AC=2AO,

2

???在RlAAOD中，ZADO=90°,OA=>JAD2+OD2=V22+12=石,

AC=245,所以A、C兩點(diǎn)間的距離為2逐.

19.（2018秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在UABCD中，AC=4,BD=6,CA±AB,求

A8a）的周長(zhǎng)和面積.

【分析】依據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可得到AO=2,BO=3,再根據(jù)勾股定理即可

得出45與8c的長(zhǎng)，進(jìn)而得到口ABCD的周長(zhǎng)和面積.

【解答】解：如圖所示，?.?AC=4,BD=6..\AO=2,80=3,

又?.?C4JLAB,.〔RtAAOB中，AB=《BO?-AO?=招-22=亞,

RtAABC中，BC=4AB-+AC2=個(gè)電丫+42=后,

的周長(zhǎng)=2(石+庖)=2逐+2歷，E1/W8的面積=A8xAC=&x4=46.

20.（2018春?金山區(qū)期中）己知，如圖，在等邊AABC中，。是3c邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一

點(diǎn)，且C￡>=3尸，以為邊作等邊AADE,聯(lián)結(jié)砂、FC.求證：

(1)MZX7SACFB；

(2)四邊形￡尸8是平行四邊形.

【分析】(1)A4C。和AC8尸中，已知的條件有：AC=BC，CD=BF,ZACD=ZCBF=60°

根據(jù)SAS即可判定兩個(gè)三角形全等.

(2)由⑴的全等三角形知：AD=CF,即OE=CF=AO；因此只需判斷DE與C尸是否平行即

可，由⑴的全等三角形，可得ZDAC=NBCF,而ZBCF+ZACG=60°,即

ZC4￡>+ZACG=60°；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得NAGF=60。=NCGD,由此可判定

DE//FC，即可得出四邊形CDE產(chǎn)的形狀.

【解答】證明：(D8c為等邊三角形，

AC=BC，ZACD=ZB=60°,?:CD=BF,:.AACD=ACBF(SAS)；

(2)四邊形CDEF為平行四邊形；

-.-M.CD=ACBF；:.ZDAC=ZBCF.CF=AD-

?.?A4￡E>是等邊三角形；;.AD=DE；;.CF=DE①;

?.?ZACG+N8C尸=60°；ZACG+ZDAC=^)°■,

ZAGC=]80°-(ZACG+ADAC)=120°；ADGF=ZAGC=120°；

?.?A4ED是等邊三角形；.-.ZADE=60°；:.ZDGF+ZADE=i80°；:.CF//DE@x

綜合①②可得四邊形CDEF是平行四邊形.

21.(2018春?浦東新區(qū)期中)如圖，口ABCD中，E、F是直線AC上兩點(diǎn)，且AE=C尸.

求證：(1)BE=DF：

(2)BE!IDF

E

D.

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)借助全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可：

(2)利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定方法得出即可.

【解答】證明：(1A.?四邊形ABCD是平行四邊形，

;.AD=BC，AD//BC,:.ZDAC=ZBCA■ZDAF=ZBCE,

?：AE=CF,AF=EC,

AF=CE

在AFAD和A￡CB中，＜ZFAD=ZECB,AFAD=^ECB(SAS),:.BE=DF；

AD=BC

(2)-.-^FAD=AECB,

;.NF=NE,:.BE//DF.

22.(2018春?浦東新區(qū)期中)在平行四邊形至8中，分別以4)、8c為邊向內(nèi)作等邊A4DE

和等邊ABC/，連接8￡\DF.求證：四邊形尸是平行四邊形.

【分析】由題意先證NZM￡=NBCF=60。，再由SAS證ADC尸三AS4￡,繼而題目得證.

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.?.CD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD.

又?.?AM織和AC8產(chǎn)都是等邊三角形，/，AE=CF.

ZDAE=ZBCF=6O°.ZDCF=ZBCD-ZBCF,ZBAE=ZDAB-ZDAE,

:.ZDCF=ZBAE.:.ADCF=ABAE(SAS).:.DF=BE.

.??西邊形尸是平行四邊形.

23.（2019?楊浦區(qū)三模）如圖，在四邊形ABCD中，AC與比>相交于點(diǎn)O,ZBAD=90°,

BO=DO,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形A8CD是矩形的是（）

A.ZABC=90°B.ZfiCD=90°C.AB=CDD.AB//CD

【分析】根據(jù)矩形的判定定理：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形

是矩形分別進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、?.?/^4￡>=90。，BO=DO,.\OA=OB=OD,

-,?Z4BC=90°.:.AO=OB=OD=OC,即對(duì)角線平分且相等，

四邊形ABCD為矩形，正確；

B、?.?NBAD=90°,BO=DO,

：.OA=OB=OD,vZBCD=90°.：.AO=OB=OD=（XJ,

即對(duì)角線平分且相等，.?.四邊形鉆8為矩形，正確；

C、NBAD=90°,BO=DO,AB=CD,無(wú)法得出AABO三ADCO，

故無(wú)法得出四邊形43co是平行四邊形，進(jìn)而無(wú)法得出四邊形A8CD是矩形，錯(cuò)誤；

D、-■?AB\\CD,ZBAD=90°，/.ZADC=90°，

■：BO=DO,:.OA=OB=OD,ZDAO=ZADO?;.ZBAO=NODC，

?.?ZAOB=ZD（）C,.?.AAOBMADOC,..AB=CD,二四邊形ABCD是平行四邊形，

-.?ZBAD=90°..1ABCD是矩形，正確；故選：C.

24.（2019?浦東新區(qū)二模）已知在四邊形45a）中，ADHBC,對(duì)角線AC與8/）相交于點(diǎn)O,

AO=CO,如果添加下列一個(gè)條件后，就能判定這個(gè)四邊形是菱形的是（）

A.BO=DOB.AB=BCC.AB=CDD.ABHCD

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAQ8=NCQ,根據(jù)全等一角形的性質(zhì)得到AQ=8C,于是得

到四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到即可.

【解答】解：//BC,ZAQ3=NCB￡＞，

ZDB=ZCBD

在AADO與ACBO中，■NAOD=ZCOB.

OA=CO

:.^ADO^\CBO{AAS）,.?.4）=CS,.?.四邊形ABCD是平行四邊形,

?.?鉆=8。.?.四邊形鉆8是菱形；故3正確；故選：B.

25.（2019?普陀區(qū)二模）如圖，口A3C￡）的對(duì)角線4C、8￡）交于點(diǎn)O,順次連接口488各邊中

點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：?ACYBD；②〃加=68。；

③ZDAO=NCBO；④ZDA0=NBAO,可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)

是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān),

利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形.逐一對(duì)四個(gè)條件進(jìn)行判斷.

【解答】解：順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān),

利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形.

?-.-AC±BD..?.新的四邊形成為矩形，符合條件；

②?四邊形ABCD是平行四邊形，.?.AO=OC,BO=DO.

^MRO=C\cBO'''''BC.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知BOLAC,；.5￡＞，AC.所以新的四邊形成為矩形，符合條件;

③???四邊形ABC。是平行四邊形，.?.NC3O=NAPO.

???NZMO=NC8O，,\ZADO=ZDAO.

AO=OD.

;.AC=B3，.?.四邊形是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件；

@-.-ZDAO=ZBAO,BO=DO,

AOrBD,即平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，

,新四邊形是矩形.符合條件.所以①②④符合條件.故選：C.

26.（2019?徐匯區(qū)二模）在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=AD,添加下列條件不能推得四邊

形ABCD為菱形的是（）

A.AB=CDB.AD/IBCC.BC=CDD.AB=BC

【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得.

【解答】解：A選項(xiàng)：若鉆=8,?.?AB//CO，.?.四邊形是平行四邊形，

當(dāng)=AT>nJ判定四邊形ABCD是菱形；

B選項(xiàng)：當(dāng)AD//8C時(shí)，又A8//CD,.?.四邊形是平行四邊形，

當(dāng)=可判定四邊形ABC。是菱形；

C選項(xiàng)：當(dāng)3c=8時(shí)，AABCaMC￡>（SAS）,.-.ZA=ZC.

?：AB//CD..-.ZC+ZABC=180°.:.ZA+ZABC=\S（T.:.AD//BC.乂AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)/W=AD可判定四邊形AfiCD是菱形；

。選項(xiàng)只能說(shuō)明四邊形的三條邊相等，所以不能判定是菱形.故選：D.

27.（2018?閔行區(qū)二模）已知四邊形43co是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（