（圓夢高考數(shù)學(xué)）題型17 5類數(shù)列求和（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期與類周期綜合）（含答案及解析）

題型17手把手教學(xué)答題模板之5類數(shù)列求和（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期與類周期綜合）技法0技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧技法02裂項(xiàng)相消的應(yīng)用及解題技巧技法03錯位相減（萬能公式）的應(yīng)用及解題技巧技法04奇偶并項(xiàng)的應(yīng)用及解題技巧技法05周期與類周期的綜合應(yīng)用及解題技巧技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧分組求和是分組求和是把數(shù)列分為兩組求和，一般為等差+等比，此類題型較簡單，利用公式求和即可，也是高考中的常考考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)例1．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，記的前項(xiàng)和為，求.（1）（2）.所以的前項(xiàng)和.1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，且，，是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和．技法02裂項(xiàng)相消的應(yīng)用及解題技巧裂項(xiàng)相消求和是裂項(xiàng)相消求和是把數(shù)列拆分，然后抵消后即可求和，此類題型較簡單，也是高考中的?？伎键c(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)知識遷移常見的裂項(xiàng)技巧：指數(shù)型對數(shù)型例2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．（1）的通項(xiàng)公式；（2）∴1．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，．若對于任意，有，求的取值范圍．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．3．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．5．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．技法03錯位相減的應(yīng)用及解題技巧錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，是高考中的高頻考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)知識遷移萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）．（2）因?yàn)椋?，，兩式相減得，，，即，．也可以用萬能公式求出A、B、C直接求解1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且是公差為1的等差數(shù)列．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知兩個正項(xiàng)數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．技法04奇偶并項(xiàng)的應(yīng)用及解題技巧有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強(qiáng)化練習(xí)有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強(qiáng)化練習(xí)例4-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．（1）.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.例4-2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）.（2）由（1）得：，即，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：.1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.技法05周期綜合的應(yīng)用及解題技巧數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，需強(qiáng)化學(xué)習(xí)例5-1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項(xiàng)的積為（

）A．2 B．3 C． D．依題意，，，所以，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，，所以數(shù)列前項(xiàng)的積為，故選：B例5-2．（2023下·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760由，故，，，，….故，，，….從第一項(xiàng)開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于3；，，，….從第二項(xiàng)開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以13為首項(xiàng)，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.例5-3．（2023·安徽模擬）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為（

）A． B． C． D．由二倍角公式得出，，，.故選：A.1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，則.2．（2023·四川廣元·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則.3．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則（

）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于A． B． C． D．

題型17手把手教學(xué)答題模板之5類數(shù)列求和（分組求和、裂項(xiàng)相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項(xiàng)、周期與類周期綜合）技法0技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧技法02裂項(xiàng)相消的應(yīng)用及解題技巧技法03錯位相減（萬能公式）的應(yīng)用及解題技巧技法04奇偶并項(xiàng)的應(yīng)用及解題技巧技法05周期與類周期的綜合應(yīng)用及解題技巧技法01分組求和的應(yīng)用及解題技巧分組求和是分組求和是把數(shù)列分為兩組求和，一般為等差+等比，此類題型較簡單，利用公式求和即可，也是高考中的?？伎键c(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)例1．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，記的前項(xiàng)和為，求.（1）（2）.所以的前項(xiàng)和.1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，且，，是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差，進(jìn)而得到所求；（2）由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得所求和．【詳解】（1）由數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，可得．又，，是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，可得，即有，解得或，時，，不能作為等比數(shù)列的項(xiàng)，舍去，所以；（2）由（1）可得等比數(shù)列的前三項(xiàng)為1，2，4，則首項(xiàng)為1公比為2，，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和2．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可；（2）分組求和即可.【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，，．設(shè)的公比為，則，，，解得或．由單調(diào)遞增，得，故．（2）由上可知，，．3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合數(shù)列中的分組求和法即可求解.【詳解】（1）由題意得．又因?yàn)椋裕允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得．所以．所以.技法02裂項(xiàng)相消的應(yīng)用及解題技巧裂項(xiàng)相消求和是裂項(xiàng)相消求和是把數(shù)列拆分，然后抵消后即可求和，此類題型較簡單，也是高考中的?？伎键c(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)知識遷移常見的裂項(xiàng)技巧：指數(shù)型對數(shù)型例2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．（1）的通項(xiàng)公式；（2）∴1．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，．若對于任意，有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1），∴，，∴,∴當(dāng)時，；當(dāng)時，也符合上式，∴．（2），∵，∴，當(dāng)時，滿足，當(dāng)時，存在，（其中，表示不超過的最大整數(shù)），使得，則，∴，不滿足條件，∴．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)公式得到是常數(shù)列，確定，計算得到通項(xiàng)公式.（2）放縮，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計算得到證明.【詳解】（1），則，整理得到，故，故是常數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，驗(yàn)證時滿足，故（2），故.3．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將替換得到新等式，然后分析原式與新等式作差的結(jié)果，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）先根據(jù)條件求解出的通項(xiàng)公式，然后代入的通項(xiàng)，通過裂項(xiàng)先化簡，然后用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）由題可知，因?yàn)?，所以時，，兩式相減得，化簡可得，且滿足條件，綜上可得，是公差為的等差數(shù)列；（2）因?yàn)?，故，解得，所以，所以，所以所?4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時，，故.5．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，把用1代入算出首項(xiàng)，再用退位相減法發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列，則數(shù)列通項(xiàng)可求；（2）由（1）可先算出，代入求得通項(xiàng)并裂項(xiàng)，再求和即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得，，，，，，，，.技法03錯位相減的應(yīng)用及解題技巧錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，錯位相減求和一般是等差數(shù)列乘等比數(shù)列求和，即差比數(shù)列，解題的關(guān)鍵是乘公比錯位相減，也可以用萬能公式求解，是高考中的高頻考點(diǎn)，需強(qiáng)加練習(xí)知識遷移萬能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．也可以用萬能公式求出ABC直接求解1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且是公差為1的等差數(shù)列．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算得到，根據(jù)等比數(shù)列公式得到，計算得到答案.（2）確定，則，，相減計算得到答案.【詳解】（1），是公差為的等差數(shù)列，，即，當(dāng)時，，滿足通項(xiàng)公式，則.是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，而，故，，即.（2），，，兩式相減得到：故.2．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知兩個正項(xiàng)數(shù)列，滿足，．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由遞推公式列方程求出得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)高斯函數(shù)先推出得解析式，再運(yùn)用錯位相減法求解.【詳解】（1）由，得，由，得，，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，，；（2），則當(dāng)時，，所以，兩式相減得

，即，因?yàn)闈M足，所以.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法和裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，故；當(dāng)時，，作差，得，即，此式對也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．（2）由（1）知，，不妨令，且數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，，作差，得，即．則，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)．【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式變形化簡，利用等比數(shù)列的定義即可證明得解；（2）利用錯位相減法求和即可得解.【詳解】（1）由，得，所以．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故．（2）由（1）知．設(shè)的前項(xiàng)和為，所以，①，②①－②得.所以．技法04奇偶并項(xiàng)的應(yīng)用及解題技巧有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強(qiáng)化練習(xí)有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等。這類題目對大部分學(xué)生來說難度較大，需強(qiáng)化練習(xí)例4-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．（1）.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.例4-2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）.（2）由（1）得：，即，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：.1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接得到的通項(xiàng)公式，由作差得到，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.【詳解】（1）依題意可得，∵①，當(dāng)時，②，，，，∵，∴，且在①式中令或（舍去），∴，綜上可得，．（2）由（1）可得，∴．2．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將代入到中，得，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論正確；（2）由（1）求出，再求出，然后分組，利用等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)求和方法可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以.3．（天津·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯位相減求和等，屬于中等題.4．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）將代入可求出，從而進(jìn)出，故可求出；再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求出，代入可求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出，，進(jìn)而求出；（2）由（1）求出，再由分組求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1），解得：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，，，則：又，得：（2）數(shù)列的前項(xiàng)的和：.5．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可；（2）利用分組求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消法和錯位相減法運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)時，則，設(shè)，則，兩式相減得，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，則，設(shè)，所以；綜上所述：，當(dāng)為奇數(shù)時，則；當(dāng)為偶數(shù)時，則；綜上所述：.技法05周期綜合的應(yīng)用及解題技巧數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，函數(shù)的周期性考察往往也存在于數(shù)列題中。周期性數(shù)列求和相對簡單，但在高考和模擬考題中經(jīng)常出現(xiàn)一類與周期數(shù)列結(jié)合的類周期數(shù)列求和問題。我們稱其為“類周期數(shù)列”，該類數(shù)列求和往往具有一定的迷惑性和難度，需強(qiáng)化學(xué)習(xí)例5-1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2023項(xiàng)的積為（

）A．2 B．3 C． D．依題意，，，所以，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，，，所以數(shù)列前項(xiàng)的積為，故選：B例5-2．（2023下·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760由，故，，，，….故，，，….從第一項(xiàng)開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于3；，，，….從第二項(xiàng)開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以13為首項(xiàng)，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.例5-3．（2023·安徽模擬）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為（

）A． B． C． D．由二倍角公式得出，，，.故選：A.1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，推得，得到數(shù)列的一個周期為，求得的值，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，所以，即，所以，所以數(shù)列的一個周期為，又由，所以，