（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題4.8 導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題（含答案及解析）

專題4.8導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題題型一討論零點(diǎn)的個數(shù)題型二已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)題型三存在零點(diǎn)求參數(shù)題型四證明零點(diǎn)個數(shù)題型五隱零點(diǎn)題型一 討論零點(diǎn)的個數(shù)例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校聯(lián)考期中）已知，，a是參數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有兩個極值點(diǎn)，則 B．至多2個零點(diǎn)C．若，則的零點(diǎn)之和為0 D．無最大值和最小值例2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，，m∈R．(1)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的零點(diǎn)個數(shù)；(2)設(shè)，當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．練習(xí)1．（2023春·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．練習(xí)2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知.(1)若，證明：存在唯一零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，討論零點(diǎn)個數(shù).練習(xí)3．（2023春·河南鄭州·高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若時，恒成立，求的取值范圍；(2)記，討論函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)．練習(xí)4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸垂直．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．練習(xí)5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知函數(shù)與函數(shù)．(1)若，的圖像在點(diǎn)處有公共的切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)．①求函數(shù)的極值；②試判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．題型二 已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)例3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若點(diǎn)在曲線上，且點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心，求過點(diǎn)的的切線方程；(2)若，且有三個不同的零點(diǎn)，且，求的取值范圍.例4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求a的最大整數(shù)值．練習(xí)6．（2023春·四川樂山·高三四川省峨眉第二中學(xué)校?？计谥校┤艉瘮?shù)有兩個實(shí)根，則的取值范圍是______．練習(xí)7．（2023·河南·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上存在兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)8．（2023春·山東青島·高三青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）若，（0<a<1）有兩個不相等零點(diǎn)，則a的范圍是______．練習(xí)9．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．練習(xí)10．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點(diǎn)，求的取值范圍.題型三 存在零點(diǎn)求參數(shù)例5．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：函數(shù)存在零點(diǎn)．例6．（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于的方程存在正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A． B． C．e D．2練習(xí)11．（2023春·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．練習(xí)12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)校考期中）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.練習(xí)13．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求的值及切線方程；(2)若，函數(shù)在其定義域上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練習(xí)14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值．(2)當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)函數(shù)（且），函數(shù)有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．練習(xí)15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．題型四 證明零點(diǎn)個數(shù)例7．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；(2)當(dāng)時，證明：曲線的圖象與直線的圖象僅有一個交點(diǎn)．例8．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．(1)討論的極值點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；(2)若，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)．練習(xí)16．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為B．C．若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則D．有唯一零點(diǎn)練習(xí)17．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率均不小于2．(1)求a的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．練習(xí)18．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)，求的最小值；(2)證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).練習(xí)19．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)在處的切線方程為．(1)若a；(2)證明有兩個零點(diǎn)．練習(xí)20．（2023春·北京海淀·高三101中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)．題型五 隱零點(diǎn)例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例10．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，且在上存在導(dǎo)函數(shù)（其中）．定義：若區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)．已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為．(1)判斷在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；(2)求證：當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．練習(xí)21．（2023春·山東日照·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù).(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；(2)證明：當(dāng)時，.練習(xí)22．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.練習(xí)23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)若函數(shù)的圖象與的圖象有3個不同的交點(diǎn)，試求的取值范圍.練習(xí)24．（2022春·浙江·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，其中.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；(3)設(shè)，證明：.練習(xí)25．（2023春·江蘇無錫·高三江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

專題4.8導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題題型一討論零點(diǎn)的個數(shù)題型二已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)題型三存在零點(diǎn)求參數(shù)題型四證明零點(diǎn)個數(shù)題型五隱零點(diǎn)題型一 討論零點(diǎn)的個數(shù)例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校聯(lián)考期中）已知，，a是參數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有兩個極值點(diǎn)，則 B．至多2個零點(diǎn)C．若，則的零點(diǎn)之和為0 D．無最大值和最小值【答案】ACD【分析】求導(dǎo)，把兩個極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程有兩個解問題，分離參數(shù)數(shù)形結(jié)合即可求解a的范圍，判斷A，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，直接判斷即可判斷B；問題等價于直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為0，由函數(shù)的奇偶性容易判斷C，結(jié)合函數(shù)的的單調(diào)性及圖象變化趨勢判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，若有兩個極值點(diǎn)，則有兩個不同的解，分參得，有兩個不同的解，記，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，作出函數(shù)的圖象，

要使有兩個不同的解，則直線與函數(shù)有兩個不同的交點(diǎn)，由圖知，，故A正確；對于B，當(dāng)時，，，結(jié)合A選項(xiàng)知，存在，，使得，又，所以，又，x趨向負(fù)無窮大時，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時，函數(shù)無限趨向于正無窮大，且，由零點(diǎn)存在性可知，有三個零點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，的根即為的根，亦即直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以直線y＝a與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)時，由選項(xiàng)A知，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且x趨向負(fù)無窮大時，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時，函數(shù)無限趨向于正無窮大，此時函數(shù)無最大值和最小值；當(dāng)時，由選項(xiàng)B知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且x趨向負(fù)無窮大時，函數(shù)無限趨向于負(fù)無窮大，x趨向正無窮大時，函數(shù)無限趨向于正無窮大，此時函數(shù)無最大值和最小值；綜上，函數(shù)無最大值和最小值，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.例2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，，m∈R．(1)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的零點(diǎn)個數(shù)；(2)設(shè)，當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)．【分析】（1）分離參數(shù)得，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為交點(diǎn)問題，求得的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性畫出大致函數(shù)圖象，分類討論m的取值與函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系即可；（2）簡化不等式，根據(jù)不等式特征構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)單調(diào)性將外函數(shù)的大小比較簡化成內(nèi)函數(shù)的大小比較，再求解內(nèi)函數(shù)的大小關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1），令，函數(shù)的零點(diǎn)即為的方程的根，令，，當(dāng)x＜－3或x＞1時，，單調(diào)遞增，當(dāng)－3＜x＜1時，，單調(diào)遞減，且，，x→∞時，，x→＋∞時，，且當(dāng)或時，當(dāng)時，則的大致圖象如圖所示：

由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)m＝－2e或時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)－2e＜m≤0或時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，有三個零點(diǎn)；當(dāng)m＜－2e時，無零點(diǎn)．（2）當(dāng)時，若成立，即對恒成立，即對恒成立，亦即對恒成立，設(shè)函數(shù)，∴對恒成立，又，設(shè)，∴，∴當(dāng)時，，此時點(diǎn)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，∴，∴在R上單調(diào)遞增，又，∴在上恒成立，令，則，?①當(dāng)m≤1時，在上恒成立，∴，此時滿足已知條件，?②當(dāng)m＞1時，由，解得x＝m，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；∴的最小值，解得1＜m≤e，綜上，m的取值范圍是．練習(xí)1．（2023春·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值點(diǎn)定義可求得極值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個數(shù)問題，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象分析可得結(jié)果．【詳解】（1）∵定義域?yàn)?，，又恒成立，∴?dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；所以極小值為，無極大值．（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象如圖：的零點(diǎn)個數(shù)等價于與的交點(diǎn)個數(shù)；當(dāng)時，與有且僅有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，與有兩個不同交點(diǎn)；當(dāng)時，與有且僅有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，與無交點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，有兩個不同零點(diǎn)；當(dāng)時，無零點(diǎn)．練習(xí)2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知.(1)若，證明：存在唯一零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，討論零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)見解析(2)有2個零點(diǎn)，【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在單調(diào)遞減，進(jìn)而由零點(diǎn)存在性定理即可求解，（2）分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1），，由于，所以進(jìn)而，所以在單調(diào)遞減，又，所以存在唯一零點(diǎn)（2），，則，，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，，所以在在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，令，所以在單調(diào)遞增，又故當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)0，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，，故使得，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)此時無零點(diǎn)，當(dāng)，只有一個零點(diǎn)，綜上可知：時，有2個零點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于較難題.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.練習(xí)3．（2023春·河南鄭州·高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若時，恒成立，求的取值范圍；(2)記，討論函數(shù)與的交點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，記，將函數(shù)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，求導(dǎo)討論即可得到結(jié)果.【詳解】（1），．，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，不等式成立，當(dāng)時，．，，單調(diào)遞減，，這與題設(shè)矛盾．綜上，的取值范圍為．（2）記，則，．記，則，單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)，于是在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在處取得最小值．當(dāng)，即時，，故在上單調(diào)遞增，在上有唯一零點(diǎn);當(dāng)，即時，，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，，故有兩個零點(diǎn)，且，于是在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，則，，，，則由零點(diǎn)存在定理可得在存在唯一零點(diǎn)，在存在唯一零點(diǎn)，故此時有三個零點(diǎn)．綜上可得：時，有一個交點(diǎn)；時，有三個交點(diǎn)．練習(xí)4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸垂直．(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為2【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，解得即可；（2）由（1）知，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到在上的零點(diǎn)情況，當(dāng)時，將變形得，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可判斷其零點(diǎn)個數(shù)，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，由題意得，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，即，解得．（2）由（1）知，，，令，則．當(dāng)時，，，此時，單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故函數(shù)在上無零點(diǎn)．當(dāng)時，將變形得，設(shè)，則，設(shè)，則，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故存在，使，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，故，又，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn)．綜上所述，在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．練習(xí)5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)與函數(shù)．(1)若，的圖像在點(diǎn)處有公共的切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)．①求函數(shù)的極值；②試判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．【答案】(1)(2)①答案見解析；②答案見解析.【分析】（1）因?yàn)榈膱D像在點(diǎn)處有公共的切線，，因此則在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，得到參數(shù)a的值．（2）①設(shè)，分別對參數(shù)a進(jìn)行分類討論：i.時，在上單調(diào)遞增，無極值；ii.時，用列表法求出函數(shù)的極小值.②根據(jù)單調(diào)性結(jié)合極值正負(fù)分類討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?所以點(diǎn)同時在函數(shù)的圖像上，因?yàn)椋?，，由已知，得，所以，?（2）①因?yàn)?，所?i.當(dāng)時，因?yàn)椋宜詫愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，無極值；ii.當(dāng)時，令，解得（舍）.列表得：x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以當(dāng)時，取得極小值，且.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上無極值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為1；當(dāng)時，在上單調(diào)遞,在上單調(diào)遞增,函數(shù)在處取得極小值.設(shè)單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時，趨近于0時趨近于正無窮大，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為2;當(dāng)時，趨近于正無窮大時趨近于正無窮大，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為2;當(dāng)時，在上單調(diào)遞,在上單調(diào)遞增,函數(shù)在處取得極小值,函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為1;當(dāng)或時，函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)1;當(dāng)或時,函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)2;題型二 已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)例3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若點(diǎn)在曲線上，且點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心，求過點(diǎn)的的切線方程；(2)若，且有三個不同的零點(diǎn)，且，求的取值范圍.【答案】(1)和(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上和對稱中心得到，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)得到切線方程，將點(diǎn)代入切線方程得到答案.（2）確定當(dāng)時，方程有兩個不同的解，變換得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值為，解得答案.【詳解】（1），則，設(shè)，，故，解得，即，則.函數(shù)在處的切線方程為，即，將點(diǎn)代入切線方程得，整理得，即，解得或.故過點(diǎn)的函數(shù)的圖象的切線方程為：和.（2）根據(jù)題意：當(dāng)時，方程有兩個不同的解，故，等號兩邊同時取對數(shù)得，，令，則，令，得，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.，又當(dāng)無限趨近于負(fù)無窮大時，為正數(shù)，無限趨近于正無窮大，當(dāng)無限趨近于0時，也無限趨近于正無窮大，故要使有兩個零點(diǎn)，只需，即，所以，解得，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，將函數(shù)的零點(diǎn)問題通過構(gòu)造函數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.例4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求a的最大整數(shù)值．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解為正為負(fù)時的不等式作答.（2）利用（1）中信息結(jié)合已知，確定，再利用零點(diǎn)存在性定理探討有兩個零點(diǎn)的條件，得，進(jìn)而確定，分析的情況作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，①當(dāng)，即時，恒成立，此時在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時，由解得，，由解得，，由解得或，此時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；③當(dāng)，即時，由解得或(舍)，由解得，由解得，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時在上至多有一個笭點(diǎn)，不待合題意，由于是整數(shù)，必有，當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，取，有，當(dāng)時，，若在上有兩個零點(diǎn)，則，因?yàn)?，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，則存在唯一的，使得，當(dāng)時，，此時，若，則，令，則在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時，，此時，因此，則當(dāng)時，成立，所以的最大整數(shù)值為.練習(xí)6．（2023春·四川樂山·高三四川省峨眉第二中學(xué)校校考期中）若函數(shù)有兩個實(shí)根，則的取值范圍是______．【答案】【分析】參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的值域，運(yùn)用幾何解釋求解.【詳解】，原問題等價于直線與曲線有2個交點(diǎn)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，在處，取得極小值也是最小值，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)趨于時，趨于；函數(shù)的大致圖像如下：所以，k的取值范圍是；故答案為：.練習(xí)7．（2023·河南·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上存在兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】函數(shù)在上存在兩個零點(diǎn)，即在上有2個解，即與的圖象在上有2個交點(diǎn)，，由可得，函數(shù)單調(diào)遞增，故時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由時，知，，即，可得，作出圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時滿足條件.故選：A練習(xí)8．（2023春·山東青島·高三青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）若，（0<a<1）有兩個不相等零點(diǎn)，則a的范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，而函數(shù)在R上有兩個零點(diǎn)，則函數(shù)在上必有唯一零點(diǎn)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上的值域?yàn)?，而，則在上無最大值，，當(dāng)，即時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，此時在上無零點(diǎn)，當(dāng)時，，則，使得，即，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，由指數(shù)函數(shù)爆炸性增長知，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，于是，解得，因此，所以a的范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.練習(xí)9．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．【答案】(1)，無極大值(2)或.【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極小值；（2）將在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，由轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)分情況討論a的取值范圍，判斷函數(shù)單調(diào)性，解不等式，求得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?若，，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.所以，無極大值.（2），易知，所求問題等價于函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.②當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使在上沒有零點(diǎn)，只需，即，解得，所以.③當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上滿足此時函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是或.練習(xí)10．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，從而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出所求區(qū)間．（2）由條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，若，?dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間（2）因?yàn)橛?個零點(diǎn)，所以，又的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，解得，此時，，故函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點(diǎn)，滿足要求；所以的取值范圍為.題型三 存在零點(diǎn)求參數(shù)例5．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：函數(shù)存在零點(diǎn)．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)證明見解析【分析】（1）對進(jìn)行求導(dǎo)，對的符號進(jìn)行判斷即可求出對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對進(jìn)行求導(dǎo)，然后分，，和四種情況進(jìn)行討論單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求證【詳解】（1）由題可知，定義域?yàn)椋瑒t，令，解得（舍）或，故可得當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）易知，則，令，則，①當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間上一定有一個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，令，解得令，故可得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，故可得或，故在單調(diào)遞減，，故在區(qū)間上一定有一個零點(diǎn)，③當(dāng)時，，令，解得，顯然存在零點(diǎn)；④當(dāng)時，令，解得，令，故可得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，故可得，故在單調(diào)遞減，又因?yàn)?，故在區(qū)間上一定存在一個零點(diǎn)，綜上所述，對任意的一定存在零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，在確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時，難點(diǎn)在于分類討論時標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．例6．（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于的方程存在正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A． B． C．e D．2【答案】CD【分析】將式子變形為，構(gòu)造函數(shù)，和，即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求最值.【詳解】依題意，，令，故問題轉(zhuǎn)化為有解.設(shè)，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，而，所以存在唯一零點(diǎn)，即在有解，即，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：CD.練習(xí)11．（2023春·天津?yàn)I海新·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合題意得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)求得極小值，也是最小值，因?yàn)橹辽?個零點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的范圍.練習(xí)12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，轉(zhuǎn)化為與在上有交點(diǎn)，求出值域即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即與在上有交點(diǎn)，又，在上單調(diào)遞增，故時，則，設(shè)，則，由可得，即與在上有交點(diǎn)，則.故答案為：練習(xí)13．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求的值及切線方程；(2)若，函數(shù)在其定義域上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由切線與直線垂直可得到切線的斜率為3，再由切線的幾何意義即可求的值及切線方程.（2）觀察的表達(dá)式可令求得函數(shù)只有唯一零點(diǎn)為，問題可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分參即可求解.【詳解】（1）解：（1），，∵的圖象在處的切線與直線垂直，∴，解得，∴，∴，故所求切線方程為，即.（2）（2）由，，可知其定義域?yàn)?，令，則.又，所以.令，即可轉(zhuǎn)化為有解.設(shè)，則由可得，可得則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以有唯一的零點(diǎn).若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則在上有解，整理得.設(shè)，由得，由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，則，所以，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.練習(xí)14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值．(2)當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)函數(shù)（且），函數(shù)有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，所以，計算可得；（2）依題意問題轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)數(shù)解，求出的值域即可得解；（3）因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像有兩個公共點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個解，所以，換元，研究二次函數(shù)圖像及性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，得（2）由（1）可知，則，當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程在上有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程在上有實(shí)數(shù)解．令，，因?yàn)?，則，所以，則，所以，即，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（3）函數(shù)有2個零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根，化簡上述方程得，即，所以，所以．令，得關(guān)于t的方程．記．①當(dāng)時，函數(shù)p（t）的圖像開口向上，圖像恒過點(diǎn)，方程（*）只有一個正實(shí)根，不符合題意．②當(dāng)時，函數(shù)p（t）的圖像開口向下，圖像恒過點(diǎn)，因?yàn)?，要滿足題意，則方程（*）應(yīng)有兩個正實(shí)根，即，解得或，又，所以．綜上，m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:（1）構(gòu)造新函數(shù)法：求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)，考慮將函數(shù)F（x）變形成兩個新函數(shù)的差，即，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與g（x）圖像的交點(diǎn)問題．（2）參變分離法：求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，由分離變量得出，將原問題等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題．練習(xí)15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，利用基本不等式求解的最值，即可求解.【詳解】有零點(diǎn)，則有實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，記，則有實(shí)數(shù)根，由于，，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取極大值也是最大值，所以，對于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，此時取最小值4，要使有實(shí)數(shù)根，則需滿足，此時，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．題型四 證明零點(diǎn)個數(shù)例7．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；(2)當(dāng)時，證明：曲線的圖象與直線的圖象僅有一個交點(diǎn)．【答案】(1)(2)見證明【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用零點(diǎn)存在性定理分類討論即可.【詳解】（1）由題意可得：，設(shè)切點(diǎn)為，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有：，化簡得，解之得，切線方程為：（2）問題等價于函數(shù)只有一個根，有，令，則，若，此時恒成立，即單調(diào)遞增，而，，顯然在上存在唯一零點(diǎn)，符合題意；若時，此時有兩個根，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的極大值為，極小值為不妨設(shè)，令得，令得即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，即的極小值為，極大值為，且時，，則而，故且，又，此時只有一個零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，曲線的圖象與直線的圖象僅有一個交點(diǎn)，得證．例8．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為非零常數(shù)．(1)討論的極值點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；(2)若，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)．【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)只有一個極值點(diǎn)；理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）求進(jìn)行求導(dǎo)，分和兩種情況討論其單調(diào)性，即可得到極值點(diǎn)的情況；（2）由（1）可得到在內(nèi)有唯一解，結(jié)合其單調(diào)性可得是的唯一極值點(diǎn)，接著推出，，即可求證【詳解】（1）由已知，的定義域?yàn)?，①?dāng)時，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；②當(dāng)時，令，∵，∴在上單調(diào)遞減，，所以存在唯一的，使得，∴當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，在上有且僅有一個極值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)只有一個極值點(diǎn)（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，由得，，所以即在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，所以當(dāng)，；當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的唯一極值點(diǎn)，令，則當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，，所以，從而當(dāng)時，，且，又，故在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)練習(xí)16．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為B．C．若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則D．有唯一零點(diǎn)【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷A；計算即可判斷B；利用對稱關(guān)系求出解析式判斷C；利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷D作答.【詳解】對于A，函數(shù)，求導(dǎo)得，有，所以在處的切線方程為，即，A正確；對于B，函數(shù)，有，而，所以，B正確；對于C，函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，令，，當(dāng)時，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，由零點(diǎn)存在性定理知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，D正確.故選：ABD練習(xí)17．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率均不小于2．(1)求a的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合即可求解；（2）由（1），根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則可得，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、在上恒成立，結(jié)合放縮法證明在上恒成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可證明.【詳解】（1），則，因?yàn)榍€在處的切線斜率均不小于2，所以，得，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，又，所以；（2）由（1）知，，所以，則.設(shè)，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，即在上恒成立，即在上恒成立，所以①.設(shè)，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，即，得，當(dāng)時，，所以②.由①②得，在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，得，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一的零點(diǎn).即證.【點(diǎn)睛】在證明不等式的時候，若直接證明比較困難，可將不等式中的部分項(xiàng)進(jìn)行放大或縮小，然后證明放縮后的不等式成立，再根據(jù)不等式的傳遞性證明原不等式成立，這種方法就是放縮法證明不等式.練習(xí)18．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)，求的最小值；(2)證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)性后可得最小值；（2）對的值分段討論，時，由證明，時，直接證明，時，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，然后由零點(diǎn)存在定理得證．【詳解】（1）由題意，，，所以，所以，是減函數(shù)，所以；（2），設(shè)，則，是增函數(shù)，所以時，，即，從而，由，解得，所以時，，即，無零點(diǎn)；時，，，所以，無零點(diǎn)；時，，，，所以，單調(diào)遞減，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，也即在上有唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：一般證明零點(diǎn)問題，可用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理得出結(jié)論，本題的難點(diǎn)在于給定區(qū)間上，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)難以確定，即無法求解，因此對進(jìn)行分段，區(qū)間的兩段直接證明函數(shù)值為正或負(fù)，而中間一段利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理得證，分段時可根據(jù)部分函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合特殊值進(jìn)行，如題中，．通過畫函數(shù)和的圖象證明的方法有些不恰當(dāng)，圖象不能代替文字的證明．練習(xí)19．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)在處的切線方程為．(1)若a；(2)證明有兩個零點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)題意將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，令，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用的最值即可證明.【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得，則，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為∴，∴（2）由（1）知，要證有兩個零點(diǎn)，即證方程有兩個不等實(shí)根，即證函數(shù)與有兩個交點(diǎn)令，，∴單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，，∴，函數(shù)與無交點(diǎn)．當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，當(dāng)時，．當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；又∵，，∴，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減．又時，且當(dāng)時，，∵，，∴函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】研究函數(shù)的性質(zhì)是高考壓軸題的核心思想，但是直接構(gòu)造函數(shù)或者簡單的拆分函數(shù)依然復(fù)雜，這時需要依賴對函數(shù)變形，通過恒等變形發(fā)現(xiàn)簡單函數(shù)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會起到事半功倍的效果.練習(xí)20．（2023春·北京海淀·高三101中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極小值的定義即可得解；（2）求導(dǎo)，再分，和三種情況討論，即可得解；（3）由（2）得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，再利用導(dǎo)數(shù)證明極大值即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為；（2），令，得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，或時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，或時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（3）由（2）得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可得函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)．題型五 隱零點(diǎn)例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系以及零點(diǎn)的存在性定理求解.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)可得，，記,則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以在上，，所以，所以單調(diào)遞增，注意到，所以必存在使得，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間上必存在一個零點(diǎn).綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn).故選:B.例10．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，且在上存在導(dǎo)函數(shù)（其中）．定義：若區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)．已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為．(1)判斷在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；(2)求證：當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．【答案】(1)在區(qū)間上是凸函數(shù)，理由見解析；(2)證明見解析【分析】（1）求出，可得函數(shù)解析式，根據(jù)凸函數(shù)的定義即可判斷出結(jié)論；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由，得，而，依題意，，∴，∴，，∴，因?yàn)椋嘣趨^(qū)間上為凸函數(shù).（2）證明：由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，∴，使得，當(dāng)時，：當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，∴在及?nèi)各有一個零點(diǎn)，即在內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）根據(jù)凸函數(shù)的定義，對函數(shù)二次求導(dǎo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可；（2）證明時，函數(shù)有2個零點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷.練習(xí)21．（2023春·山東日照·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù).(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；(2)證明：當(dāng)時，.【答案】(1)，沒有零點(diǎn)；時，一個零點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）求出，分，和討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出零點(diǎn)的個數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可推得在時，取得最小值.由，即，兩邊取對數(shù)化簡.代入化簡求得，變形根據(jù)基本不等式，即可得出，得出證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?①時，在上恒成立，此時沒有零點(diǎn)；②時，由于單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增.由于，.令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?根據(jù)零點(diǎn)存在定理以及的單調(diào)性可知，只有一個零點(diǎn).綜上：，沒有零點(diǎn)；時，一個零點(diǎn).（2）由（1）知，當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.故在時，取得最小值.由，即，從而有.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，當(dāng)時，.練習(xí)22．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而得出切線的方程；（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求得有唯一的根，且，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，結(jié)合的范圍即可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，且，，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）證明：由（1），知，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，，所以，存在，使得，即有唯一的根，記為，則，對兩邊取對數(shù)，得，整理得，因?yàn)闀r，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函