（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專題6.5 正、余弦定理（含答案及解析）

專題6.5正、余弦定理題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)題型三三角形面積及其應(yīng)用題型四判斷三角形的形狀題型五利用正弦定理求外接圓半徑題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用題型一 利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形例1．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，則的值為（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.練習(xí)1．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，則角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．練習(xí)2．（2023春·北京·高三北京市第五十中學(xué)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊BC上，且．(1)求；(2)求線段的長(zhǎng)．練習(xí)3．（2023春·廣東深圳·高三翠園中學(xué)校考期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點(diǎn)，且，，，求b的值；練習(xí)4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，平分線與交于點(diǎn)，則_________.練習(xí)5．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，與相交于點(diǎn)O，平分，，，則的值_______.題型二 判斷三角形解的個(gè)數(shù)例3．（2022春·高三課時(shí)練習(xí)）已知在中，，若有兩解，則正數(shù)的取值范圍為____________．例4．（2023春·江蘇南通·高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，則b的取值范圍為___________.練習(xí)6．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？计谥校ǘ噙x）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，B＝30°，則使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．練習(xí)7．（2021春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校┲校?則滿足這樣的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．唯一一個(gè) B．兩個(gè) C．不存在 D．有無(wú)數(shù)個(gè)練習(xí)8．（2023春·福建·高三校聯(lián)考期中）（多選）在中，，角所對(duì)的邊，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，有一個(gè)解 B．若，無(wú)解C．若，有兩個(gè)解 D．若，有一個(gè)解練習(xí)9．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，分別是角，，所對(duì)的邊，，，若有兩解，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的的值：_____.練習(xí)10．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┰凇髦?，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三 利用正弦定理求外接圓半徑例5．（北京市東城區(qū)2023屆高三綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則______.例6．（2023·北京·高一專題練習(xí)）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.練習(xí)11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，AB邊上的高為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）在中，其三邊分別為，，且三角形的面積，則角__________.練習(xí)13．（2023春·河南信陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△，若，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)14．（2023春·河南信陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）如圖，在中，為鈍角，，是的平分線，交于點(diǎn)，且，．

(1)求的大??；(2)求的面積．練習(xí)15．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為______.題型四 三角形面積及其應(yīng)用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┤粼谥校?，則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分別是三內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的是__________三角形．（填三角形的形狀特征）練習(xí)16．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形練習(xí)17．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若△ABC是銳角三角形，則不等式恒成立C．若，則△ABC必是等邊三角形D．若，，則△ABC是等邊三角形練習(xí)18．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，已知.(1)求；(2)若，判斷的形狀.練習(xí)19．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，，且，試判斷的形狀．練習(xí)20．（2023春·江西贛州·高三校考期中）已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，若，，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型五 判斷三角形的形狀例9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為的外接圓，，，則（

）A．2 B． C．4 D．例10．（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑R，則R=______.練習(xí)21．（2023春·河北·高三校聯(lián)考期中）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．2 B． C． D．4練習(xí)22．（2023春·河南·高三校聯(lián)考期中）已知外接圓的周長(zhǎng)為，，則（

）A．4 B．2 C． D．練習(xí)23．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圓半徑，，求的面積．練習(xí)24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長(zhǎng)邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)都在圓周上，角的對(duì)邊分別為，，，滿足(1)求；(2)若的面積為，且，求的周長(zhǎng)練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．題型六 利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化例11．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知在中，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則_________．例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)設(shè)，，求的面積.練習(xí)26．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)若，，求△ABC的面積．練習(xí)27．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（

）A． B．C． D．練習(xí)28．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知中角的對(duì)邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長(zhǎng)．練習(xí)29．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，c.已知.(1)求角；(2)若，求的值；練習(xí)30．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．周長(zhǎng)的最大值為3題型七 解三角形的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰诼愤叞惭b路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬.設(shè)燈柱高，.

(1)求燈柱的高（用表示）；(2)若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值.例14．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）（多選）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為6海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向上，下面結(jié)論正確的有（

）A．海里 B．海里C．或 D．燈塔C在D的南偏西方向上練習(xí)31．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

練習(xí)32．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）位于某港口的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時(shí)，海輪位于港口北偏東且與該港口相距海里的處，并正以海里/時(shí)的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與海輪相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？(2)若經(jīng)過小時(shí)小艇與海輪相遇，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？(3)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與海輪相遇，并求出其相遇時(shí)間.練習(xí)33．（2023春·廣東廣州·高三西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的、兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹根部在西偏北的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米練習(xí)34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．練習(xí)35．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中?？计谥校┠承W(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).處有一棟大樓，某學(xué)生選（與在同一水平面的）?兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為，，，在處測(cè)得大樓樓頂?shù)难鼋菫?

(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)求大樓的高度.（第（2）問不計(jì)測(cè)量?jī)x的高度，計(jì)算結(jié)果精確到）

專題6.5正、余弦定理題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形題型二判斷三角形解的個(gè)數(shù)題型三三角形面積及其應(yīng)用題型四判斷三角形的形狀題型五利用正弦定理求外接圓半徑題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用題型一 利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形例1．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用正弦定理、三角形內(nèi)角性質(zhì)求的值.【詳解】由正弦定理知：，則，，所以或，又，故.故選：B例2．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，分類討論，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】由三角形可得，解得，若該三角形為鈍角三角形，注意到，則角為鈍角或角為鈍角，可得或，即或，解得或，故邊的取值范圍是.故答案為：.練習(xí)1．（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，則角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角得到角，利用正弦定理求得，結(jié)合角的范圍求得角的度數(shù).【詳解】由，得，于是，由正弦定理得，∴，故選：B.練習(xí)2．（2023春·北京·高三北京市第五十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在邊BC上，且．(1)求；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；（2）先利用同角關(guān)系求，在中利用正弦定理即可求解．【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，又，；（2）因?yàn)?，所以，，由，可得，在中根?jù)正弦定理得：，又，，，所以．練習(xí)3．（2023春·廣東深圳·高三翠園中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點(diǎn)，且，，，求b的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出，進(jìn)而得；（2）在中，由余弦定理得，進(jìn)而求得，在中，由正弦定理求得．【詳解】（1）由，可得，于是得，又，則，所以；（2）在中，，由余弦定理得，所以，則，在中，由正弦定理有，即，解得.練習(xí)4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，平分線與交于點(diǎn)，則_________.【答案】【分析】首先利用余弦定理求出、，即可得到，再由正弦定理計(jì)算可得.【詳解】由余弦定理，，所以，所以，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，所以，在中由正弦定理，即，所以.故答案為：練習(xí)5．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，與相交于點(diǎn)O，平分，，，則的值_______.【答案】/【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；【詳解】在中，，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，.即.又因?yàn)槠椒?，所?故答案為：題型二 判斷三角形解的個(gè)數(shù)例3．（2022春·高三課時(shí)練習(xí)）已知在中，，若有兩解，則正數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【分析】利用正弦定理得到，由題意則，且求解.【詳解】解：由正弦定理得：，要使三角形有兩解，則，且，即，解得：.故答案為：例4．（2023春·江蘇南通·高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，則b的取值范圍為___________.【答案】【分析】由正弦定理得，依題意得或，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，由正弦定理得，要使三角形有唯一解，則或，所以或，即或，解得或，則b的取值范圍為.故答案為：.練習(xí)6．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？计谥校ǘ噙x）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，B＝30°，則使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．【答案】BD【分析】由題意，則角A只有一個(gè)解，有或且，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系即可.【詳解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形時(shí)有且只有唯一解，則A只有一個(gè)，則或且，所以或，選項(xiàng)BD符合.故選：BD．練習(xí)7．（2021春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期中）中，.則滿足這樣的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．唯一一個(gè) B．兩個(gè) C．不存在 D．有無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可【詳解】已知，由正弦定理，，又，則，，或，滿足條件的三角形有2個(gè)三角形.故選：B.練習(xí)8．（2023春·福建·高三校聯(lián)考期中）（多選）在中，，角所對(duì)的邊，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，有一個(gè)解 B．若，無(wú)解C．若，有兩個(gè)解 D．若，有一個(gè)解【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由正弦定理求得，結(jié)合選項(xiàng)中的取值范圍，分類討論，即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，由正弦定理，即，?dāng)時(shí)，可得，所以，此時(shí)有一個(gè)解，故A不正確；當(dāng)時(shí)，可得，不成立（舍去），此時(shí)無(wú)解，故B正確；當(dāng)時(shí)，即，則，由，此時(shí)有兩解，即有兩解，故C正確；當(dāng)，即，則，由，此時(shí)只有一解，故D正確.故選：BCD.練習(xí)9．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，分別是角，，所對(duì)的邊，，，若有兩解，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的的值：_____.【答案】（答案不唯一）【分析】取，根據(jù)正弦定理得到，確定三角形有兩解，得到答案.【詳解】取，則，即，，，或，驗(yàn)證滿足，故有兩個(gè)解，滿足.故答案為：（答案不唯一）練習(xí)10．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過作于，根據(jù)的長(zhǎng)度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，過作于，如下圖示，則，可得時(shí)，三角形有兩解.當(dāng)，即時(shí)，三角形不存在；當(dāng)或2時(shí)，△分別對(duì)應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；當(dāng)時(shí)，在射線方向上有一個(gè)△，而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形；故選：C題型三 利用正弦定理求外接圓半徑例5．（北京市東城區(qū)2023屆高三綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則______.【答案】【分析】由余弦定理求解，由同角函數(shù)基本關(guān)系求出，代入面積公式求解即可.【詳解】由余弦定理可得，解得，則，又，所以.故答案為：例6．（2023·北京·高一專題練習(xí)）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，因?yàn)椋?，且，所以?（2）由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的面積為或.練習(xí)11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，AB邊上的高為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，再結(jié)合余弦定理，即可求得的值，即可求解.【詳解】解：在中，設(shè)邊上的高為，則，所以，由余弦定理得，即，又由余弦定理得．故選：B.練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）在中，其三邊分別為，，且三角形的面積，則角__________.【答案】/【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算出的值，即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以.故答案為：.練習(xí)13．（2023春·河南信陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，，設(shè)出長(zhǎng)度，利用正弦定理可得與的等量關(guān)系，再用余弦定理，即可求得，再求三角形面積即可.【詳解】在中，，因?yàn)?，所以，設(shè)（），則，由正弦定理可知，，即，則，在中，，，又，則，故，所以．故選：B．練習(xí)14．（2023春·河南信陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）如圖，在中，為鈍角，，是的平分線，交于點(diǎn)，且，．

(1)求的大?。?2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中根據(jù)正弦定理可解；（2）先求，利用正弦定理可得BC，然后由三角形面積公式可解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得．所以．因?yàn)闉殁g角，所以.（2）根據(jù)條件，由（1）得．由題設(shè)，，在中，由正弦定理可得．又，所以的面積為．練習(xí)15．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為______.【答案】/【分析】根據(jù)余弦定理計(jì)算，，再根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，，則，解得，，.故答案為：題型四 三角形面積及其應(yīng)用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┤粼谥校?，則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥校?，由正弦定理可得，，所以，即，所以，?所以為等腰三角形.故選:B例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分別是三內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的是__________三角形．（填三角形的形狀特征）【答案】直角【分析】邊化角，結(jié)合降冪公式化簡(jiǎn)整理可得.【詳解】解析：由正弦定理和降冪公式可得，即又，所以即因?yàn)椋裕匆驗(yàn)椋?，得，故為直角三角形．故答案為：直角練?xí)16．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形【答案】A【分析】根據(jù)題意，先由降冪公式化簡(jiǎn)，然后由余弦定理可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，再由余弦定理可知，所以，即，所以△ABC是直角三角形.故選：A練習(xí)17．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若△ABC是銳角三角形，則不等式恒成立C．若，則△ABC必是等邊三角形D．若，，則△ABC是等邊三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理，余弦定理解三角形逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，利用正弦定理可得，∴，而在上單調(diào)遞減，∴，故A正確；在銳角△ABC中，A，，，∴，∴，因此不等式恒成立，故B錯(cuò)誤；由，利用正弦定理可得，∴，∵A，，∴，即，∴△ABC是等腰三角形，不一定是等邊三角形.故C錯(cuò)誤；由于，，由余弦定理可得，可得，解得，∴，故D正確.故選：AD.練習(xí)18．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，已知.(1)求；(2)若，判斷的形狀.【答案】(1)(2)等腰的鈍角三角形【分析】（1）由正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理，可求出角的余弦值.（2）利用三角形內(nèi)角和關(guān)系計(jì)算出B、C角，根據(jù)角度判斷三角形形狀.【詳解】（1）由正弦定理得，即，由余弦定理得，所以，而為三角形內(nèi)角，所以；（2）由（1）知，且，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，所以是等腰的鈍角三角形.練習(xí)19．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，，且，試判斷的形狀．【答案】等邊三角形【分析】先利用余弦定理求得，再利用兩角和與差的余弦公式求得，進(jìn)而求得，由此求得，據(jù)此得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，又，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，故，即，又因?yàn)椋?，又，所以是等邊三角?練習(xí)20．（2023春·江西贛州·高三?？计谥校┮阎鰽BC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，若，，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由，結(jié)合三角形面積公式及向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，得，由余弦定理結(jié)合條件可得，從而得出結(jié)果．【詳解】由，可得，即，因?yàn)椋傻?，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，即，又，所以是等邊三角形．故選：D．題型五 判斷三角形的形狀例9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為的外接圓，，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】先利用正弦定理求外接圓的半徑，再根據(jù)數(shù)量積的定義分析運(yùn)算.【詳解】如圖，圓的直徑為，故，，故.故選：B.例10．（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑R，則R=______.【答案】2【分析】根據(jù)正弦定理和投影長(zhǎng)求出，結(jié)合得到，利用正弦定理求出答案.【詳解】由題意得，，，即，即，因?yàn)椋?，故，?故答案為：2練習(xí)21．（2023春·河北·高三校聯(lián)考期中）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)角和求出，再由正弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，解?設(shè)外接圓的半徑為，則，解得.故選：D練習(xí)22．（2023春·河南·高三校聯(lián)考期中）已知外接圓的周長(zhǎng)為，，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以外接圓的半徑為2，則根據(jù)正弦定理可得，解得．故選：B.練習(xí)23．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若的外接圓半徑，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合化簡(jiǎn)得到，求出角C的大?。唬?）由正弦定理得到，由余弦定理求出，從而得到三角形面積.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，的外接圓半徑，所以由，可得，因?yàn)?，由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以的面積．練習(xí)24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長(zhǎng)邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)都在圓周上，角的對(duì)邊分別為，，，滿足(1)求；(2)若的面積為，且，求的周長(zhǎng)【答案】(1)(2)cm【分析】（1）根據(jù)題意可求圓的直徑，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，則（cm），由正弦定理，可得.（2）∵，則，故為銳角，∴，由面積公式，即，可得，由余弦定理，即，可得，解得（cm），故的周長(zhǎng)為（cm）.練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由題知，，進(jìn)而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑，，又，，，，兩式相加得：，即，，即，又，，.故選：B.題型六 利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化例11．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知在中，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則_________．【答案】【分析】利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，可得到，代入即可求解.【詳解】由，可得，化簡(jiǎn)得，又∵，∴，故答案為：例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)設(shè)，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊角互化化簡(jiǎn)，再由三角恒等變換即可得到，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，顯然，則，又，所以.（2）由余弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即，解得或（舍去），所以，所以的面積.練習(xí)26．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)若，，求△ABC的面積．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用正余弦定理及三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行“角化邊”，即可證明；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，結(jié)合余弦定理及面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，由正弦定理和余弦定理得，整理得，即，又，，所以．?）由（1）得，由，，得．由余弦定理可得，即所以，所以△ABC的面積為．練習(xí)27．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理和同角的三角函數(shù)基本關(guān)系是可求，再根據(jù)兩角和的正弦公式可求，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由及正弦定理，可得．由，可得．又，∴．又，解得，則，∴B為鈍角，C為銳角．∴，．故，∴．故選:A.練習(xí)28．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知中角的對(duì)邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面積公式和余弦定理可得答案.【詳解】（1）由和正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，，，，；?），，又，，，的周長(zhǎng)為.練習(xí)29．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，c.已知.(1)求角；(2)若，求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式即可求解.（2）用兩角和的余弦公式把拆開，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理得，即，（2）練習(xí)30．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．周長(zhǎng)的最大值為3【答案】C【分析】依題意可得，利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求出，即可求出，從而判斷A，再利用余弦定理及基本不等式判斷B，利用正弦定理將邊化角，結(jié)合三角恒等變換公式判斷C、D.【詳解】由于，所以，由正弦定理可得，由于，所以，由于是三角形內(nèi)角，則，故A正確；由余弦定理知，即，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；又由正弦定理知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為3，故D正確；由得，，所以，故C錯(cuò)誤.故選：C.題型七 解三角形的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰诼愤叞惭b路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬.設(shè)燈柱高，.

(1)求燈柱的高（用表示）；(2)若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長(zhǎng)度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值.【答案】(1)(2)，米【分析】（1）分別在△、△中，應(yīng)用正弦定理求、，即可得解析式；（2）應(yīng)用正弦定理求得，并應(yīng)用差角正弦公式、倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】（1）由題設(shè)，，，在△中，則，在△中，則.所以.（2）由題意，而，則，所以，結(jié)合（1）知：，又，所以，當(dāng)，時(shí)，米.例14．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）（多選）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為6海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向上，下面結(jié)論正確的有（

）A．海里 B．海里C．或 D．燈塔C在D的南偏西方向上【答案】ABD【分析】畫出示意圖，由題意確定相應(yīng)角大小、邊長(zhǎng)度，利用正余弦定理求、，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，，則，所以，則海里，A正確；所以海里，B正確；由，則，故，燈塔C在D的南偏西方向上，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD練習(xí)31．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

【答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故答案為：3280練習(xí)32．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）位于某港口的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時(shí)，海輪位于港口北偏東且與該港口相距海里的處，并正以海里/時(shí)的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時(shí)的航行