（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題9.4 雙曲線（含答案及解析）

專題9.4雙曲線題型一雙曲線的定義題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行求參數(shù)范圍題型四雙曲線的焦點(diǎn)三角形題型五距離和差的最值問題題型六雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型七雙曲線的離心率題型八雙曲線的漸近線題型一 雙曲線的定義例1．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知、是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，那么的值是________．例2．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（）A． B．2 C． D．練習(xí)1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12練習(xí)2．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上練習(xí)3．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線練習(xí)4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：，點(diǎn)M與曲線C的焦點(diǎn)不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在曲線C右支上，則的值為______．題型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)和．練習(xí)6．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點(diǎn)在C上，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．練習(xí)7．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．練習(xí)8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線滿足下列條件中的兩個(gè)：①實(shí)軸長為4；②焦距為6；③離心率，則雙曲線的方程為___________.（寫出一個(gè)正確答案即可）練習(xí)9．（2023·全國·高三對口高考）離心率為且過點(diǎn)的雙曲線方程為______.練習(xí)10．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．題型三 根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行求參數(shù)范圍例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸的橢圓例6．（2023春·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線有個(gè)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓有個(gè)，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22練習(xí)11．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線練習(xí)13．（2023秋·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．若C是圓，則 B．若C為橢圓，則C．若C為雙曲線，則或 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則練習(xí)14．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若，則方程表示的曲線只可能是（

）A． B．C． D．練習(xí)15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀ǘ噙x）當(dāng)變化時(shí)，所表示的曲線形狀，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓B．或是方程表示雙曲線的充要條件C．該方程不可能表示圓D．是方程表示直線的充分不必要條件題型四 雙曲線的焦點(diǎn)三角形例7．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）設(shè)P是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、為左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，在中，令，，則的值為_________．例8．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為____.練習(xí)16．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為________.練習(xí)17．（2023春·湖南·高三瀏陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知離心率為2的雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P，若的內(nèi)切圓半徑為b，則直線的傾斜角為__________．練習(xí)18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，連接交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，，，則的面積是______．練習(xí)19．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且直線的斜率為.若，則__________.練習(xí)20．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則_________，_________；題型五 距離和差的最值問題例9．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是雙曲線的右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，已知，，則|PA|＋|PF|的最小值為________；|PB|＋|PF|的最小值為________．例10．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8練習(xí)21．（2022·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2練習(xí)22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則周長的最小值為______，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______.練習(xí)23．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如下圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn)，則曲線的軌跡方程（以中點(diǎn)為原點(diǎn)）是___________；現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，那么這兩條公路的路程之和最短是___________.練習(xí)24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為______．題型六 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中?？计谥校┮阎瑒t雙曲線與的（

）A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等例12．（2023·四川涼山·三模）已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長為（

）．A．6 B． C． D．8練習(xí)26．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6練習(xí)27．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實(shí)軸長相等 D．虛軸長相等練習(xí)28．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(diǎn)，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8練習(xí)29．（2022·全國·高三假期作業(yè)）已知點(diǎn)P是雙曲線C：上的動(dòng)點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)30．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）（多選）若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．題型七 雙曲線的離心率例13．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，P為雙曲線上(除頂點(diǎn)外)一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則雙曲線的離心率e=_____.例14．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，圓，過點(diǎn)作圓的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是___________.練習(xí)31．（2023·北京·北京二中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則______；雙曲線的離心率為______.練習(xí)32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)33．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），．若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_____練習(xí)34．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于________.練習(xí)35．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B．C． D．題型八 雙曲線的漸近線例15．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，的一條漸近線過點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則______.例16．（2023·全國·高三對口高考）與有相同漸近線，焦距，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)36．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是雙曲線右支上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E、F，則的值為________．練習(xí)37．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在雙曲線C上，.若為等邊三角形，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)38．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）與雙曲線漸近線相同，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．練習(xí)39．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．練習(xí)40．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為______．

專題9.4雙曲線題型一雙曲線的定義題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行求參數(shù)范圍題型四雙曲線的焦點(diǎn)三角形題型五距離和差的最值問題題型六雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型七雙曲線的離心率題型八雙曲線的漸近線題型一 雙曲線的定義例1．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知、是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，那么的值是________．【答案】16【分析】由雙曲線的定義可得答案.【詳解】由雙曲線方程得，，由雙曲線的定義得，①，②①＋②，得，所以．故答案為：16.例2．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（）A． B．2 C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，要使得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，則滿足，解得且，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C符合題意.故選：BC.練習(xí)1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以.故選：C.練習(xí)2．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個(gè)橢圓上 B．一個(gè)圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別畫出兩個(gè)圓的圖形，然后結(jié)合圖形和雙曲線定義即可判斷.【詳解】由，得，畫出圓與的圖像如圖，設(shè)圓P的半徑為r，

∵圓P與圓O和圓M都外切，∴，，則，∴根據(jù)雙曲線定義知點(diǎn)P在以O(shè)，M為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上.故選：D練習(xí)3．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【分析】根據(jù)表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，再結(jié)合雙曲線的定義求解.【詳解】解：因?yàn)榈膸缀我饬x是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)?，所以由雙曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線右支．故選：C練習(xí)4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【分析】直接分析即可得結(jié)果.【詳解】如圖：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點(diǎn)），則有.故選：B練習(xí)5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：，點(diǎn)M與曲線C的焦點(diǎn)不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在曲線C右支上，則的值為______．【答案】12【分析】根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及雙曲線的定義，即可求得.【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，則，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴.同理，∴，∵P在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義知：，∴.故答案為：12.題型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線方程為，由，可得，再代入點(diǎn)，求解即可.【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)?，則，顯然圓O的半徑為3，又因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A例4．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意首先確定其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程將帶入即可求得結(jié)果；（2）設(shè)雙曲線方程的一般形式為，將兩點(diǎn)代入解方程即可求得其標(biāo)準(zhǔn)方程為.【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為；所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，點(diǎn)在雙曲線上，即，解得；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為，將兩點(diǎn)代入可得，解得；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.練習(xí)6．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點(diǎn)在C上，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線一條漸近線的斜率可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，即可求得答案.【詳解】由題意可得，所以，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，所以，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A練習(xí)7．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，，得到，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由橢圓，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，所以，又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，可得，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.練習(xí)8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線滿足下列條件中的兩個(gè)：①實(shí)軸長為4；②焦距為6；③離心率，則雙曲線的方程為___________.（寫出一個(gè)正確答案即可）【答案】（或或）【分析】根據(jù)所選擇的兩個(gè)條件，得到，即可求雙曲線方程.【詳解】若選①②，因?yàn)閷?shí)軸長為4，所以，又焦距為6，所以，則，故此時(shí)雙曲線的方程為；若選①③，因?yàn)?，得，又?shí)軸長為4，得，所以，則，故此時(shí)雙曲線的方程為；若選②③，因?yàn)?，又焦距?，所以，所以，故此時(shí)雙曲線的方程為.故答案為：（或或）練習(xí)9．（2023·全國·高三對口高考）離心率為且過點(diǎn)的雙曲線方程為______.【答案】或【分析】考慮雙曲線焦點(diǎn)在軸和在軸上兩種情況，根據(jù)離心率得到，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得到答案.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為.則，所以，所以，即，將代入得，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為.則，所以，所以，即，將代入得，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為即.綜上，所求雙曲線方程為或.故答案為：或.練習(xí)10．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）動(dòng)圓過點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，且與圓外切，所以，，，所以，所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的右支，因?yàn)閷?shí)軸長為，焦點(diǎn)為，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，即故答案為：題型三 根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進(jìn)行求參數(shù)范圍例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸的橢圓【答案】BD【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時(shí)曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時(shí)曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項(xiàng)，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若，則，則，曲線的方程可化為，此時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D對.故選：BD.例6．（2023春·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）已知表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線有個(gè)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓有個(gè)，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】根據(jù)方程表示雙曲線或橢圓的類型，確定參數(shù)的取值，確定m和n的值，即可得答案.【詳解】由題意表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，故b的取值可取，a可取，故，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則可取，即，故，故選：D練習(xí)11．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意求出方程表示雙曲線的條件，即可判斷出結(jié)論.【詳解】若時(shí)，方程不表示雙曲線；若時(shí)，方程為雙曲線，則，∴是方程表示雙曲線的充分必要條件，故選：.練習(xí)12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【分析】根據(jù)無解判斷；令，解之無解判斷；根據(jù)和曲線方程可判斷；根據(jù)曲線為雙曲線的條件即可判斷.【詳解】當(dāng)曲線C為圓時(shí)，則，無解，故錯(cuò)誤；當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線時(shí)，則，無解，故正確；若，則，，此時(shí)曲線C是橢圓，故正確；若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．故選．練習(xí)13．（2023秋·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．若C是圓，則 B．若C為橢圓，則C．若C為雙曲線，則或 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則【答案】BD【分析】利用圓、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，逐一分析選項(xiàng)得到關(guān)于的方程或不等式，解之即可判斷.【詳解】對于A，因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得，故A正確；對于B，因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得且，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，故C正確；對于D，因?yàn)榉匠瘫硎鹃L軸在y軸上的橢圓，所以，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BD練習(xí)14．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若，則方程表示的曲線只可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定或者，根據(jù)橢圓或者雙曲線確定的正負(fù)，再判斷直線是否滿足得到答案.【詳解】，則或，即，對選項(xiàng)A：根據(jù)橢圓得到，，直線與軸的交點(diǎn)在軸上方，不滿足；對選項(xiàng)B：根據(jù)橢圓得到，，直線斜率為正，不滿足；對選項(xiàng)C：根據(jù)雙曲線得到，，直線斜率為負(fù)且與軸的交點(diǎn)在軸上方，滿足；對選項(xiàng)D：根據(jù)雙曲線得到，，直線斜率為正，不滿足.故選：C練習(xí)15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀ǘ噙x）當(dāng)變化時(shí)，所表示的曲線形狀，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓B．或是方程表示雙曲線的充要條件C．該方程不可能表示圓D．是方程表示直線的充分不必要條件【答案】ACD【分析】分別列出方程表示橢圓，圓，雙曲線，直線的條件，推出m的范圍與取值，判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】若該方程表示橢圓，則，，故A錯(cuò)誤；若該方程表示是雙曲線，則，或，故B正確；若該方程表示是圓，則，，即當(dāng)時(shí)，此方程表示圓，故C錯(cuò)誤；若該方程不能表示是直線，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.題型四 雙曲線的焦點(diǎn)三角形例7．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）設(shè)P是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、為左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，在中，令，，則的值為_________．【答案】【分析】三角形的內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)為內(nèi)切圓的圓心，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)切圓的切線長的性質(zhì)可得內(nèi)切圓的其中一個(gè)切點(diǎn)必與雙曲線的右頂點(diǎn)重合，最后再根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出即可求解．【詳解】由雙曲線的方程，可得，，設(shè)的內(nèi)切圓在，，上的切點(diǎn)分別為，，，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，切點(diǎn)與雙曲線的右頂點(diǎn)重合，，，根據(jù)題意可得，，則兩角的角平分線的交點(diǎn)一定為的內(nèi)心．如圖所示，因此，，所以．故答案為：.

例8．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為____.【答案】16【分析】由雙曲線的定義可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，從而求出△的面積．【詳解】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點(diǎn)，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.練習(xí)16．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為________.【答案】16【分析】由雙曲線定義可得，然后平方可得的值，然后由余弦定理可得∠F1PF2=90°，然后可得答案.【詳解】因?yàn)槭请p曲線下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：練習(xí)17．（2023春·湖南·高三瀏陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知離心率為2的雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P，若的內(nèi)切圓半徑為b，則直線的傾斜角為__________．【答案】【分析】利用離心率為2及，找出間的關(guān)系，再由切線長定理和雙曲線的定義可得到，圓與軸的切點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，從而建立直線的傾斜角與間的關(guān)系，得到結(jié)果.【詳解】∵雙曲線的離心率為2，又∴，，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為I，三角形三邊與圓分別相切于，由切線長定理和雙曲線的定義可得到，，不妨設(shè)，則，得到，所以A為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以軸，設(shè)直線的傾斜角為，又內(nèi)切圓半徑為，在中，因?yàn)閯t，將，代入，解得，故答案為：.練習(xí)18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，連接交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，，，則的面積是______．【答案】10【分析】利用雙曲線的定義表示，，設(shè)，表示，由勾股定理可得的關(guān)系，再由余弦定義求，結(jié)合余弦定理列方程求，由此可求的面積.【詳解】連接，由，，得，．設(shè)，則，．由得，即，得．在中，．在中，由余弦定理，得，所以，得，所以，，即，故的面積為．故答案為：10.練習(xí)19．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且直線的斜率為.若，則__________.【答案】【分析】依題意求出，由直線的斜率為求出，設(shè)，，再由雙曲線的定義，余弦定理及正弦定理計(jì)算可得.【詳解】雙曲線，即，所以，所以，又直線的斜率為，即，所以，顯然為銳角，所以，，設(shè)，，則，另一方面，在中，由正弦定理，即，解得，代入上述方程組，解得，（負(fù)值舍去）.

故答案為：練習(xí)20．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則_________，_________；【答案】【分析】由得為直角三角形，由可求出；根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，則為直角三角形，所以(為原點(diǎn))，又，，所以，，所以.不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，①又，②聯(lián)立①②解得，，所以.故答案為：；.題型五 距離和差的最值問題例9．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是雙曲線的右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，已知，，則|PA|＋|PF|的最小值為________；|PB|＋|PF|的最小值為________．【答案】/【分析】求距離之和的最小值由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短求解即可.【詳解】如圖：

設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為，則有，，連接，易知點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，點(diǎn)B在雙曲線外，則；.故答案為：；.例10．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義得，利用平面幾何的知識(shí)，兩點(diǎn)間線段最短，即可求出最值.【詳解】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時(shí)點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），故選：B.練習(xí)21．（2022·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點(diǎn)P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，即可得解.【詳解】由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，a=3，b=4，c=5，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F2（5，0），左焦點(diǎn)F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=9相切于點(diǎn)N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，則丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1，∴|MN|﹣|MO|=-1，故選：B．練習(xí)22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則周長的最小值為______，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】10【分析】由題意得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支，求出軌跡方程，根據(jù)雙曲線定義及三點(diǎn)共線求得周長的最小值，將直線的方程代入雙曲線方程可求得的坐標(biāo)．【詳解】由題意得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的左支，則，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，∵，∴的周長最小時(shí)，最小，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，∴的周長為，直線的方程為，將其代入到，化簡得：，，則，的坐標(biāo)為.故答案為：10，.練習(xí)23．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如下圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn)，則曲線的軌跡方程（以中點(diǎn)為原點(diǎn)）是___________；現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，那么這兩條公路的路程之和最短是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合雙曲線定義可知曲線的軌跡為雙曲線的右支，從而求得其軌跡方程；結(jié)合圖像得到，由此得解.【詳解】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，.由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以這兩條公路的路程之和最短為.故答案為：.練習(xí)24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積結(jié)合漸近線方程可得的值，再根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)取得最大值，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線的方程求解即可.【詳解】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.又由雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)取得等號(hào).此時(shí)直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.故選：B練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作圓的一條切線（切點(diǎn)為T），交雙曲線右支點(diǎn)于P，點(diǎn)M為線段FP的中點(diǎn)，連接MO，則的最大值為______．【答案】【分析】如圖所示，連接,連接，求得，由，得到，設(shè)，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，則，由，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，．可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．題型六 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中?？计谥校┮阎?，則雙曲線與的（

）A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】D【分析】由雙曲線方程求得對應(yīng)的，進(jìn)而判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】因?yàn)殡p曲線與，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)D正確.故選：D.例12．（2023·四川涼山·三模）已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長為（

）．A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】由題意可得雙曲線過點(diǎn)，分類討論，分別求解當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸、y軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合離心率的定義和實(shí)軸的概念計(jì)算，即可求解.【詳解】由，解得，則雙曲線過點(diǎn).若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，無解，不符合題意；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，解得，所以雙曲線的實(shí)軸長為.故選：C.練習(xí)26．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線對稱性可知：滿足題意的直線，其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對稱，即可得到答案.【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦，又，所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長，因?yàn)閷?shí)數(shù)使得的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對稱性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對稱.如圖所示：

所以當(dāng)時(shí)，有3條直線滿足題意.故選：C練習(xí)27．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實(shí)軸長相等 D．虛軸長相等【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線與曲線都是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；因?yàn)?，所以離心率不相等，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shí)軸長不相等，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蕴撦S長不相等，故D錯(cuò)誤.故選：B.練習(xí)28．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(diǎn)，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】C【分析】由漸近線方程得出，，以及，聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意，，不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則.又，且，聯(lián)立解得，，即.故選：C練習(xí)29．（2022·全國·高三假期作業(yè)）已知點(diǎn)P是雙曲線C：上的動(dòng)點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)P(x,y)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，則有，，所以=，再根據(jù)，即可求得范圍.【詳解】解：如圖所示：設(shè)P(x,y)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，由焦半徑公式可得，所以，同理可得，所以，又因?yàn)?，所以原式又因?yàn)?，所?所以,所以.故選：B.練習(xí)30．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）（多選）若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)得到AB正確，取特殊值排除CD，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，故，正確；對選項(xiàng)B：，正確；對選項(xiàng)C：取，滿足，此時(shí)不成立，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：取，滿足，此時(shí)，錯(cuò)誤.故選：AB題型七 雙曲線的離心率例13．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，P為雙曲線上(除頂點(diǎn)外)一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則雙曲線的離心率e=_____.【答案】【分析】可設(shè)，根據(jù)直線PA，PB的斜率乘積為，結(jié)合點(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，構(gòu)造的齊次式，即可得解.【詳解】由題意，可設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，可得=1，化簡整理得，所以，因?yàn)橹本€PA，PB的斜率乘積為，所以，所以.故答案為：.例14．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，圓，過點(diǎn)作圓的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【分析】作出圖象，由，求得，得到，根據(jù)雙曲線的定義，得到，結(jié)合及離心率的定義，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，且，可得，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則且，如圖所示，，可得，且，所以，所以，所以，由雙曲線的定義，可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為.故答案為：.

練習(xí)31．（2023·北京·北京二中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則______；雙曲線的離心率為______.【答案】//【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，根據(jù)直線與圓相切求出的值，可得出、、的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，則，解得，所以，，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：；.練習(xí)32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出直線的方程，利用距離公式表示出，，依題意可得，再根據(jù)、、的關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解得即可.【詳解】依題意直線：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故選：B練習(xí)33．（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），．若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_____【答案】【分析】根據(jù)，可得關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，可得四邊形為矩形，再求出的坐標(biāo)，求出，再利用余弦定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)?，所以，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，由，解得或，不妨設(shè)，因?yàn)闉殡p曲線的左頂點(diǎn)，所以，所以，又，由余弦定理得，即，整理得，所以離心率．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.練習(xí)34．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于________.【答案】/【分析】由對稱性可得為等腰直角三角形，結(jié)合雙曲線定義可