（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題9.5 拋物線（含答案及解析）

專題9.5拋物線題型一拋物線的定義與方程題型二拋物線方程與位置特征題型三距離的最值問題題型四實(shí)際問題中的拋物線題型五拋物線中的三角形和四邊形問題題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型一 拋物線的定義與方程例1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若P，Q在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則等于（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線垂直軸，，則________．練習(xí)1．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或練習(xí)2．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn);(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.練習(xí)3．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)4．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）已知拋物線與圓，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)（在軸的同一側(cè)），若，則的值是___________．練習(xí)5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則___________題型二 拋物線方程與位置特征例3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．-2 D．2例4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)．練習(xí)6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是（

）A． B．C． D．練習(xí)7．（2022·高三單元測試）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④練習(xí)8．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：(1)準(zhǔn)線方程為；(2)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；(3)對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；(4)對稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)．練習(xí)9．（2023·全國·模擬預(yù)測）十一世紀(jì)，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾·海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學(xué)．奧馬爾采用了圓錐曲線的工具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解．在平面直角坐標(biāo)系上，畫拋物線，在軸上取點(diǎn)，以為直徑畫圓，交拋物線于點(diǎn)．過作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．下面幾個(gè)值中，哪個(gè)是方程的解？（

）A． B． C． D．練習(xí)10．（2022·高三單元測試）（多選）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形可能是（

）A． B．C． D．題型三 距離的最值問題例5．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為______.例6．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，為使最小，點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為__________．練習(xí)11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎菕佄锞€的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6練習(xí)13．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.練習(xí)14．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．練習(xí)15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級中學(xué)有限公司等）2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．題型四 實(shí)際問題中的拋物線例7．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米例8．（2023春·廣東韶關(guān)·高三校考階段練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時(shí)的限制高度為______m.練習(xí)16．（2023春·廣西南寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分（從點(diǎn)到點(diǎn)）.已知觀測點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.(1)求航天器變軌時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求航天器降落點(diǎn)與觀測點(diǎn)A之間的距離.練習(xí)17．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形PQRS、內(nèi)部的拋物線以及水平的杠桿AB組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于A，B，A，B分別是PS和QR的中點(diǎn).梯形的高和CD的長度都是4米.(1)求杠桿AB的長度；(2)求等腰梯形的周長.練習(xí)18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有一正方形景區(qū)，所在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于點(diǎn)的垃圾回收站或公路上的流動(dòng)垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的垃圾送到流動(dòng)垃圾回收車較近，中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)和的分界線為曲線，現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求景區(qū)內(nèi)的分界線的方程；(2)為了證明與的面積之差大于1，兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線在點(diǎn)處的切線方程，借助于切線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設(shè)直線：，分界線恒在直線的下方（可以接觸），求的最小值，借助于直線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明．請選擇一個(gè)思路，證明上述結(jié)論．練習(xí)19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．練習(xí)20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．題型五 拋物線中的三角形和四邊形問題例9．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2例10．（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為_________．練習(xí)21．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線：（）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為．設(shè)，與相交于．若，且的面積為，則拋物線的方程為________________.練習(xí)22．（2023春·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），當(dāng)時(shí)，，則____________，練習(xí)23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．練習(xí)24．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則（

）A． B．6 C． D．練習(xí)25．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，過F的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為A，則的最大值為______．題型六 拋物線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B． C． D．例12．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）已知，則方程表示的曲線可能是（

）A． B．C． D．練習(xí)26．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）對于拋物線，下列描述不正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．準(zhǔn)線方程為 D．準(zhǔn)線方程為練習(xí)27．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．時(shí)為時(shí) B．時(shí)為時(shí)為C． D．練習(xí)28．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．練習(xí)29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，P為C上一點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．8練習(xí)30．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，___________．

專題9.5拋物線題型一拋物線的定義與方程題型二拋物線方程與位置特征題型三距離的最值問題題型四實(shí)際問題中的拋物線題型五拋物線中的三角形和四邊形問題題型六拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型一 拋物線的定義與方程例1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若P，Q在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線的定義及內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，，可得答案.【詳解】由于為焦半徑，所以，題中求的是角，故把邊轉(zhuǎn)化到角，如圖，

則，，，又，所以，，從而.故選：C例2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線垂直軸，，則________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義求出，再設(shè)直線的方程為，得到韋達(dá)定理式，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義即可求出的長.【詳解】由題意得,因?yàn)橹本€垂直于軸,,準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，解得，則，則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程有可得，，則，則，解得，則，故答案為：.

練習(xí)1．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】B【分析】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為，則準(zhǔn)線方程為，由條件結(jié)合拋物線的定義求出的值即可.【詳解】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為,，則準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，所以，所以拋物線的方程是：，故選：B.練習(xí)2．（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,且過點(diǎn);(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）由題意方程可設(shè)為或,將代入求解即可;（2）根據(jù)拋物線的定義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,即,寫出拋物線方程即可.【詳解】（1）由題意,方程可設(shè)為或,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得或,∴或,∴所求的拋物線方程為或.（2）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,可知,∴所求拋物線方程為或或或.練習(xí)3．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．【詳解】如圖，連接，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為

拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.練習(xí)4．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）已知拋物線與圓，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)（在軸的同一側(cè)），若，則的值是___________．【答案】8【分析】根據(jù)給定條件，寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合圓的性質(zhì)及向量等式求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，于是直線：，顯然，由消去y得：，設(shè)，則，又圓的圓心為，半徑為1，由，得，即，于是，整理得，又，解得，則，解得，所以的值是8.故答案為：8練習(xí)5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則___________【答案】4【分析】先求出準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，在直角梯形中由平行線得比練習(xí)線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因?yàn)椋?，，所以，又由定義知，所以.

故答案為：4.題型二 拋物線方程與位置特征例3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)拋物線旋轉(zhuǎn)規(guī)律可得，其焦點(diǎn)坐標(biāo)從軸負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到軸正半軸，即可得.【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，易知繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后得到，即可得，解得.故選：A例4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(2)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．【分析】（1）根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷焦點(diǎn)位置及，進(jìn)而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即可寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點(diǎn)在軸正半軸上，所以可得其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；（2）將化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，且焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.練習(xí)6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義判斷即可.【詳解】由，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，方程化為，由于，則方程表示焦點(diǎn)在軸上開口向左的拋物線.故選：A.練習(xí)7．（2022·高三單元測試）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④【答案】B【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負(fù)，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯(cuò)誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，矛盾.故④錯(cuò)誤；故選：B練習(xí)8．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：(1)準(zhǔn)線方程為；(2)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；(3)對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；(4)對稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程為，得到且焦點(diǎn)在y軸上求解；（2）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，得到求解；（3）根據(jù)對稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2，得到求解；（4）根據(jù)對稱軸是y軸，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入求解.(1)解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，p=3，所以拋物線的方程是；其圖象如下：(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，所以，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(3)因?yàn)閷ΨQ軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2所以，p=4，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(4)因?yàn)閷ΨQ軸是y軸，設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程是，其圖象如下：練習(xí)9．（2023·全國·模擬預(yù)測）十一世紀(jì)，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾·海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學(xué)．奧馬爾采用了圓錐曲線的工具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解．在平面直角坐標(biāo)系上，畫拋物線，在軸上取點(diǎn)，以為直徑畫圓，交拋物線于點(diǎn)．過作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．下面幾個(gè)值中，哪個(gè)是方程的解？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓的方程，聯(lián)立圓與拋物線的方程求出P的橫坐標(biāo)滿足的方程可得解.【詳解】由題意，圓的方程為，如圖，聯(lián)立，消去可得：，即，可得或，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以滿足的方程.故選：A練習(xí)10．（2022·高三單元測試）（多選）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，，再根據(jù)拋物線圖形與橢圓或雙曲線圖形判斷即可.【詳解】解：將對應(yīng)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，故排除D選項(xiàng)，對于A選項(xiàng)，由圖可知，，，矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由圖可知，，，滿足，故B正確；對于C選項(xiàng)，由圖可知，，，，滿足，故C正確；故選：BC.題型三 距離的最值問題例5．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為______.【答案】3【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.例6．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，為使最小，點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為__________．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)位置和拋物線方程可得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線定義可知，當(dāng)三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同時(shí)取最小值，即可求得.【詳解】由以及拋物線可知，點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為；作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)三點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得.故答案為：練習(xí)11．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎菕佄锞€的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象，得到，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，的最小值，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點(diǎn)與重合，此時(shí)與重合，即，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，所以的最小值為.故答案為：.練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【分析】先判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，得到，推出，結(jié)合圖形，可得，，共線時(shí)，最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由消去得，因?yàn)?，所以方程無解，即直線與拋物線無交點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點(diǎn)不共線，則有，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.練習(xí)13．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】/【分析】根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和軸的距離之和的最小值，作出圖形，利用拋物線的定義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題可知，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：練習(xí)14．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因?yàn)?，且關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A練習(xí)15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級中學(xué)有限公司等）2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）（多選）拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．【答案】ABC【分析】分類討論A的位置，再由拋物線的定義轉(zhuǎn)化線段和求最小值或三角形三邊關(guān)系判定最小值即可.【詳解】

如上圖所示，若A在拋物線內(nèi)，易知，拋物線的準(zhǔn)線為，過P作PE垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為E，過A作AB垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為B，交拋物線于，由拋物線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，即重合時(shí)取得最小值，，又A在拋物線內(nèi)，故，所以，即；若A在拋物線外，連接AF交拋物線于G點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得最小值，此時(shí)即.

綜上.故選：ABC題型四 實(shí)際問題中的拋物線例7．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過點(diǎn)，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過點(diǎn)，則，解得，則拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)水面寬度為米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D例8．（2023春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時(shí)的限制高度為______m.【答案】3.8【分析】由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，明確點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線方程，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.練習(xí)16．（2023春·廣西南寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分（從點(diǎn)到點(diǎn)）.已知觀測點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.(1)求航天器變軌時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求航天器降落點(diǎn)與觀測點(diǎn)A之間的距離.【答案】(1)(2)3【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，利用的距離和橢圓方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)求出方程，解出降落點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由題意，，即，又，聯(lián)立解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，故的坐標(biāo)為.（2）由題意設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，，所以，，解得，即；令可得或（舍），即；所以，所以航天器降落點(diǎn)與觀測點(diǎn)A之間的距離為3.練習(xí)17．（2023·上海·高三專題練習(xí)）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形PQRS、內(nèi)部的拋物線以及水平的杠桿AB組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于A，B，A，B分別是PS和QR的中點(diǎn).梯形的高和CD的長度都是4米.(1)求杠桿AB的長度；(2)求等腰梯形的周長.【答案】(1)米(2)米【分析】（1）以所在的直線為軸，為原點(diǎn)，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)分別與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)已知條件求出坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，代入求出拋物線方程，令解得可得答案；（2）由（1）米，設(shè)，直線的解析式為，把代入解得，利用直線的解析式與拋物線方程聯(lián)立，再由解得，可得，A，B分別是PS和QR的中點(diǎn)得，從而得出答案.【詳解】（1）以所在的直線為軸，為原點(diǎn)，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)分別與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則軸為圖象的對稱軸，且，，米，，所以，設(shè)拋物線的解析式為，代入得解得，所以，當(dāng)時(shí)，解得，所以，所以（米），所以杠桿AB的長度為米；（2）由（1）米，，設(shè)，且，直線的解析式為，把代入得，解得，所以直線的解析式為，與拋物線方程聯(lián)立得，因?yàn)镻S和QR分別與拋物線相切于A，B，所以，，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的根，符合題意，所以，由勾股定理得米，因?yàn)锳，B分別是PS和QR的中點(diǎn)，所以米，所以米，即等腰梯形的周長為米.練習(xí)18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有一正方形景區(qū)，所在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于點(diǎn)的垃圾回收站或公路上的流動(dòng)垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的垃圾送到流動(dòng)垃圾回收車較近，中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)和的分界線為曲線，現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求景區(qū)內(nèi)的分界線的方程；(2)為了證明與的面積之差大于1，兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線在點(diǎn)處的切線方程，借助于切線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設(shè)直線：，分界線恒在直線的下方（可以接觸），求的最小值，借助于直線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明．請選擇一個(gè)思路，證明上述結(jié)論．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)給定信息，可得分界線上任意點(diǎn)到點(diǎn)F與直線EH距離相等，再列出方程化簡作答.（2）選①，求出分界線在點(diǎn)處的切線方程，再求出該切線與y軸分正方形所成兩部分面積差即可；選②，借助恒成立求出b的最小值得直線L，再求出直線L與y軸分正方形所成兩部分面積差即可.【詳解】（1）分界線C上任意點(diǎn)到點(diǎn)F與直線EH距離相等，直線EH：，點(diǎn)，設(shè)分界線C上任意一點(diǎn)為，于是得，整理得，所以景區(qū)內(nèi)的分界線的方程：.（2）選①：點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然切線斜率存在，設(shè)切線方程為，，由，得，由，得，因此分界線在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)切線交軸于點(diǎn)，則，梯形面積，顯然，因此，所以．選②：依題意，對恒成立，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，即的最小值為1，直線方程為，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，梯形面積，顯然，因此，所以．練習(xí)19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┤鐖D1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.練習(xí)20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上即可求解.【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是，解得.所以拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，即光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為.故選：B.題型五 拋物線中的三角形和四邊形問題例9．（2023·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由，得，則，根據(jù)拋物線的定義知2，解得，代入，得，所以的面積為.故選：D.例10．（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】1【分析】結(jié)合圖形，利用拋物線的定義和基本不等式即可求解.【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，則的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故答案為：.練習(xí)21．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）設(shè)拋物線：（）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為．設(shè)，與相交于．若，且的面積為，則拋物線的方程為________________.【答案】【分析】由拋物線定義可得四邊形為平行四邊形，故可得點(diǎn)即得拋物線方程.【詳解】如圖所示，，．所以．軸，，，所以四邊形為平行四邊形，，．，解得，代入可取，，解得．.故答案為：.練習(xí)22．（2023春·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），當(dāng)時(shí)，，則____________，【答案】【分析】運(yùn)用拋物線定義及相似三角形性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線l與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線垂足為B，準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)G，如圖所示，

則，由拋物線定義知，，所以在中，，所以，又因?yàn)?，所以，即：，所以，所?故答案為：3.練習(xí)23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為____．【答案】【分析】運(yùn)用拋物線定義及作差法比較大小可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的定義可設(shè)：，，因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜芍?，由梯形中位線的性質(zhì)可得：，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又因?yàn)?，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以的最小值為.故答案為：.練習(xí)24．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形重心坐標(biāo)公式結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求出弦AB長的表達(dá)式，再利用拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，

由的重心為，得，，解得，，直線的斜率，則，又，所以.故選：D練習(xí)25．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，過F的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為A，則的最大值為______．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化為，再聯(lián)立直線和拋物線得