（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題9.8 解析幾何綜合練（含答案及解析）

專題9.8解析幾何綜合練題號一二三四總分得分練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023年重慶市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬（一）數(shù)學(xué)試題）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．2．（2021秋·高三課時練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是（

）A． B．C． D．3．（2021秋·高三課時練習(xí)）直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023秋·河南平頂山·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．25．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．7．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C的離心率為，焦點為，點A在C上，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為與，點在直線：上．當(dāng)取最大值時，比的值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．（浙江省新陣地教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．該圓的面積為 B．點在該圓內(nèi)C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切10．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？计谥校┒x：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（

）A．與共軛的雙曲線是B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同C．互為共軛的雙曲線的離心率為，則D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上11．（2023秋·廣東·高三華南師大附中?？计谀┮阎€，則（

）A．若，則曲線C是圓，其半徑為2B．若，則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上C．若線C過點，則C是雙曲線D．若，則曲線C不表示任何圖形12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為，則正方形ABCD四邊所在直線中過點的直線的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．（2022秋·高三課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則直線過定點_____.14．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期中）如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則_____________.15．（2023春·貴州遵義·高二遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線過與交于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則的大小為____.16．（2023春·上海徐匯·高三上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的方程為，該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為______．四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022秋·高二課時練習(xí)）已知兩直線(1)若直線與可組成三角形，求實數(shù)滿足的條件；(2)設(shè)，若直線過與的交點，且點到直線的距離等于1，求直線的方程.18．（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．(1)證明：點F在直線上；(2)設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程．19．（2022秋·高三課時練習(xí)）已知點N(1，2)，過點N的直線交雙曲線于A，B兩點，且．(1)求直線AB的方程；(2)若過點N的直線交雙曲線于C，D兩點，且，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？20．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎菣E圓上一個動點，是橢圓的左焦點，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點，求的最大值.21．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.22．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

專題9.8解析幾何綜合練題號一二三四總分得分練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023年重慶市普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬（一）數(shù)學(xué)試題）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．【答案】C【分析】根據(jù)條件求出圓心與半徑寫出圓的方程.【詳解】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，所以圓心為，直徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：C.2．（2021秋·高三課時練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)所求圓的圓心，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以已知圓的圓心為，半徑，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，所以圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，半徑也為1，設(shè)可得，解得，所以，圓的方程是，故選：B3．（2021秋·高三課時練習(xí)）直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【詳解】因為直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，所以，0-3n+3=0，解得.因為直線的斜率為，由已知可得，直線mx+ny+3=0的斜率為，即.所以.故選：D.4．（2023秋·河南平頂山·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用題目條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用點差法即可求出直線的斜率.【詳解】因為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以它的一個焦點為，一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，化簡得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，所以①，②，①-②得，，化簡得③，因為線段的中點為，所以，代入③，整理得，顯然，所以直線的斜率.故選：B5．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在和在求出，的正切值，由兩角差的正切公式求出的正切值，結(jié)合題目條件得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示：

可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化簡得：因為，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故選：C.6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得拋物線方程，在拋物線上求得坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線一條漸近線與直線平行可得答案.【詳解】根據(jù)題意，拋物線上一點到其焦點的距離為5，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離也為5，即，解得，所以拋物線的方程為，則，所以，即M的坐標(biāo)為，又雙曲線的左頂點，一條漸近線為，而，由雙曲線的一條漸近線與直線平行，則有，解得.故選：A7．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C的離心率為，焦點為，點A在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率可得，根據(jù)雙曲線定義推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線C的離心率為，焦點為F1、F2，點A在C上，故不妨設(shè)為左、右焦點，由可知A在雙曲線右支上，則，故，由于雙曲線C的離心率為，則，即，在中，，故選：B8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為與，點在直線：上．當(dāng)取最大值時，比的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由米勒最大張角定理確定P點位置，利用正弦定理計算即可.【詳解】補充：米勒最大張角定理，已知點AB是∠MON的邊ON上兩定點，點P為邊OM上一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時，∠APB最大.證明：如下圖所示，當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點P時(圓心為Q)，取OM上任一點，連接交圓Q于C，顯然∠APB=∠ACB≥∠，當(dāng)且僅當(dāng)重合時∠取得最大值.如圖所示，由題意易得，根據(jù)米勒最大張角定理可知：當(dāng)?shù)耐饨訄A與直線相切于P時，此時夾角最大，設(shè)其圓心，則，解之得或，由圓的性質(zhì)知：，顯然時，張角最大為60°，而此時則.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．（浙江省新陣地教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．該圓的面積為 B．點在該圓內(nèi)C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切【答案】BD【分析】首先將圓的方程寫為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑，對于A，根據(jù)圓的面積公式即可判斷；對于B，將點代入，判斷與的大小，即可得出結(jié)論；對于C，求出兩圓心之間的距離，判斷是否大于兩圓半徑之和；對于D，根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離是否等于半徑，即可判斷．【詳解】，可知圓心為，半徑；對于A：由圓的半徑，得該圓的面積為，故A錯誤；對于B：因為，所以點在該圓內(nèi)，故B正確；對于C：圓的圓心為，半徑為1，因為兩圓心距離為，且，所以兩圓相交，故C錯誤；對于D：圓心到直線的距離，所以直線與該圓相切，故D正確，故選：BD．10．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？计谥校┒x：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（

）A．與共軛的雙曲線是B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同C．互為共軛的雙曲線的離心率為，則D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上【答案】CD【分析】根據(jù)共軛雙曲線的定義可判斷A；分別求得互為共軛的雙曲線的漸近線判斷B；根據(jù)雙曲線離心率定義可得，即，即可結(jié)合基本不等式推得，判斷C；求得四個焦點坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A錯誤；對于B，的漸近線方程為，的漸近線方程也為，二者相同，B錯誤；對于C，由題意可得，故，由于，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；對于D，的焦點坐標(biāo)為，其共軛雙曲線的焦點坐標(biāo)為，顯然這4個焦點在以原點為圓心，為半徑的圓上，D正確，故選：CD11．（2023秋·廣東·高三華南師大附中校考期末）已知曲線，則（

）A．若，則曲線C是圓，其半徑為2B．若，則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上C．若線C過點，則C是雙曲線D．若，則曲線C不表示任何圖形【答案】BC【分析】對于A，曲線可化為，表示圓，可求半徑，判斷A;對于B，時，曲線可化為，可判斷表示橢圓，判斷B;對于C，將點，，代入曲線：，求得曲線方程，判斷C;對于D，可舉特例進(jìn)行說明，判斷D.【詳解】對于A，時，曲線可化為，其半徑為，故A錯誤；對于B，時，曲線可化為表示的是橢圓，而，所以其焦點在軸上，故B正確；對于C，將點，，代入曲線：，有，，所以曲線是雙曲線，故C正確；對于D，若，，滿足條件，此時曲線：，表示兩條直線，故D錯誤，故選：.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為，則正方形ABCD四邊所在直線中過點的直線的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】ABD【分析】假設(shè)所在的直線過點，分類討論所在的直線所過的點，結(jié)合圖象分析運算.【詳解】因為選項斜率均為正值，不妨假設(shè)所在的直線過點，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，①若所在的直線過點，如圖，可得，因為，即，則；②若所在的直線過點，如圖，可得，因為，即，則；③若所在的直線過點，如圖，可得，因為，即，則；綜上所述：的可能值為.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：假設(shè)所在的直線過點，分類討論所在的直線所過的點，數(shù)形結(jié)合處理問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．（2022秋·高三課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則直線過定點_____.【答案】【分析】根據(jù)題意化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由實數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點.故答案為：.14．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤鐖D，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則_____________.【答案】/0.375【分析】由離心率比求得長半軸與實半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，焦距，由，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．15．（2023春·貴州遵義·高二遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線過與交于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則的大小為____.【答案】/【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求的方法求得，進(jìn)而得到的大小.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，令，則，又，整理得，則，又，，則，則故答案為：16．（2023春·上海徐匯·高三上海市徐匯中學(xué)校考期中）已知圓的方程為，該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出過定點的圓的最長、最短弦長，再求出四邊形面積作答.【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，點與圓心的距離，則點在圓內(nèi)，過點及圓心的直線與圓相交，得最長弦長，當(dāng)時，最短，過的最短的弦長，所以四邊形的面積.故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022秋·高二課時練習(xí)）已知兩直線(1)若直線與可組成三角形，求實數(shù)滿足的條件；(2)設(shè)，若直線過與的交點，且點到直線的距離等于1，求直線的方程.【答案】(1)且且(2)或【分析】（1）先求得的交點，根據(jù)三線不共點和任意兩直線不平行，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程求得的值；當(dāng)直線的斜率不存在，直線的方程為，驗證符合題意，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）解：由方程組，解得，所以的交點為，①當(dāng)直線過與的交點時，不能構(gòu)成三角形，所以，解得；②當(dāng)直線分別與平行時，不能構(gòu)成三角形，則，，所以且.綜上可得，實數(shù)滿足的條件且且.（2）解：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，因為點到直線的距離為1，可得，解得，即所求直線的方程為；若直線的斜率不存在，即直線的方程為，因為點到直線的距離為1，所以直線也滿足題意故所求的直線的方程為或.18．（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．(1)證明：點F在直線上；(2)設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程．【答案】(1)證明見解析.(2)圓M的方程為：.【分析】（1）利用斜率相等即可證得結(jié)果；（2）利用向量數(shù)量積和內(nèi)切圓的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，已知點A關(guān)于x軸的對稱點為D，則點D的坐標(biāo)為，由，可得整理可得，即.則，由，可知點F在直線上.（2）由，可得，即可得，由于A，B在拋物線上，，所以，不妨設(shè)A，B在x軸上方，則，可知AB的直線方程為，而，故，則DB的直線方程為，由于x軸是的角平分線，可知內(nèi)切圓的圓心必然在x軸上，故設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于角平分線上的點到角的兩邊距離相等，則，解得或（舍），則可得，的內(nèi)切圓M的方程為.

19．（2022秋·高三課時練習(xí)）已知點N(1，2)，過點N的直線交雙曲線于A，B兩點，且．(1)求直線AB的方程；(2)若過點N的直線交雙曲線于C，D兩點，且，那么A，B，C，D四點是否共圓？為什么？【答案】(1)y＝x＋1(2)四點共圓，原因見解析【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，設(shè)，，根據(jù)得是的中點，利用韋達(dá)定理求出可得直線的方程為；（2）直線的方程代入雙曲線方程解得可得，坐標(biāo)，根據(jù)得垂直，求出所在直線方程代入雙曲線方程，令，及中點，根據(jù)韋達(dá)定理得弦長及，可得四點共圓.【詳解】（1）由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線：，代入，得(*)，設(shè)，，則是方程(*)的兩根，∴且，∵，∴是的中點，∴，∴，解得，∴直線的方程為；（2）共圓，理由如下，將代入方程(*)得，解得或，∴，，∵，∴垂直，∴所在直線方程為，即，代入雙曲線方程整理得，令，及中點，則，，∴，，即，，所以，，即到的距離相等，∴四點共圓.

20．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎菣E圓上一個動點，是橢圓的左焦點，若的最大值和最小值分別為和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是軸正半軸上的一點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，，所以.21．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)垂