高考數(shù)學專項練習第04講 數(shù)列求和（含答案及解析）

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查倒序相加法 1題型二：重點考查分組求和（形如） 3題型三：重點考查分組求和（形如） 5題型四：重點考查裂項相消法（等差型） 7題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如） 9題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如） 11題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法 13題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和 15題型九：重點考查其他方法求和 17題型一：重點考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例題2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足（），則．例題3．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為.精練核心考點1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設，若，試求：（1）；（2）．2．（2024·全國·高三專題練習）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復數(shù)解等.若函數(shù)，設，則.3．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為.題型二：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┘褐炔顢?shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知公比為3的等比數(shù)列與首項為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，（）.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.精練核心考點1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．2．（2024上·甘肅酒泉·高三校考期末）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，其前項和為．若．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．題型三：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知是單調遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．精練核心考點1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答下列問題.已知為數(shù)列的前項和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.2．（2024·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的前項和．3．（2024·全國·高三專題練習）設是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.題型四：重點考查裂項相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例題2．（2024上·全國·高二期末）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，為數(shù)列的前項和，試問：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請說明理由．例題3．（2024上·山東泰安·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項公式；(2)設，求的前項和．精練核心考點1．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項和，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項和為.已知且.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例題2．（2024·全國·高三專題練習）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.精練核心考點1．（2024上·天津·高二耀華中學?？计谀τ趯崝?shù)，表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項和.題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）記為正項數(shù)列的前項和，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明：.例題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項；(3)若數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例題3．（2024·全國·高三專題練習）設是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，求；(3)設，數(shù)列的前項和為，求.精練核心考點1．（2024上·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）在正項數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和為，求證：．2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和滿足關系式．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．例題2．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和.精練核心考點1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中校考期末）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.3．（2024·全國·高三專題練習）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足，(1)求及；(2)設數(shù)列的前項和為，求.題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和典型例題例題1．（2024·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設的前項和為，求．例題2．（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足是與的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.精練核心考點1．（2024·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求．2．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）記為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．3．（2024·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．題型九：重點考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設由，的公共項構成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．例題2．（2023下·河北保定·高二河北省唐縣第二中學校考階段練習）從條件①；②；③中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，，_____________.(1)求的通項公式；(2)表示不超過的最大整數(shù)，記，求的前項和.例題3．（2023·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．精練核心考點1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項之積為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前50項和.2．（2023下·江蘇宿遷·高二宿遷中學?？奸_學考試）在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.3．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的公比，前n項和為且.數(shù)列足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為區(qū)間內整數(shù)的個數(shù)求數(shù)列的前50項和.

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查倒序相加法 1題型二：重點考查分組求和（形如） 5題型三：重點考查分組求和（形如） 9題型四：重點考查裂項相消法（等差型） 16題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如） 20題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如） 23題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法 29題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和 34題型九：重點考查其他方法求和 38題型一：重點考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【答案】D【詳解】，即設①，則②①+②得，所以，又，所以.故選：D.例題2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足（），則．【答案】【詳解】，，因為①，所以②，兩式相加得，所以.故答案為：例題3．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為.【答案】2022【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以，因此數(shù)列的前2022項和為，故答案為：2022精練核心考點1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設，若，試求：（1）；（2）．【答案】1500【詳解】（1）因為，，所以，.（2）由（1）可得，.所以，，所以.故答案為：1；500.2．（2024·全國·高三專題練習）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復數(shù)解等.若函數(shù)，設，則.【答案】46【詳解】因為函數(shù)的定義域為，設是函數(shù)圖象上的兩點，其中，且，則有，從而當時，有：，當時，，，相加得所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.3．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為.【答案】11【詳解】因，設，則，故.故答案為：11題型二：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二校考期末）己知等差數(shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由題意得，又，設的公比為，故，相加得，則①，兩式相除得②，又，所以③，由①③得④，由②④得，解得，解得或0（舍去），由得，，所以，所以，其中，故，（2），其中，，故例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知公比為3的等比數(shù)列與首項為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設數(shù)列的首項為，數(shù)列的公差為，因為，可得，所以（2）由（1）知，，所以，.例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，（）.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），則（），當時，，即，將代入，解得，則，適合（），所以，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1得），.故.精練核心考點1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）數(shù)列滿足,整理得：，所以，即又，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，，，所以．．2．（2024上·甘肅酒泉·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由，得，是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學校考期末）已知是等差數(shù)列，其前項和為．若．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為．，，，又，，．的通項公式為.（2）由（1）可知，，，，，．題型三：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知是單調遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，當為奇數(shù)時，則，設，則，兩式相減得，所以；當為偶數(shù)時，則，設，所以；綜上所述：，當為奇數(shù)時，則；當為偶數(shù)時，則；綜上所述：.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，兩式相減可得，因為，，所以，所以，所以，，，，是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，，，，，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，則，，故；（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，綜上.例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時；綜上所述：.精練核心考點1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答下列問題.已知為數(shù)列的前項和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)條件選擇見解析，.(2)【詳解】（1）由，，當時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.選①，由，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，所以.選②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，所以.選③，由，得，所以.（2）當為奇數(shù)時，，記前項和中的奇數(shù)項之和為，則.當為偶數(shù)時，，記前項和中的偶數(shù)項之和為，則，故.2．（2024·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一:當時，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當時，，又當時，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項公式是．法二：因為，所以，同理可得，故，因為，所以，即，當時，，當時，適合上式，所以的通項公式是.（2）因為，故當時，①，當時，②，①、②兩式相減得：，因為，，所以，因為，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以，所以；當n為偶數(shù)時，,當n為奇數(shù)時，，綜上，.3．（2024·全國·高三專題練習）設是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，則，又，所以因為，，成等比數(shù)列，所以，化簡得，又，所以，所以；（2）由（1）可得：，則，則當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，即.題型四：重點考查裂項相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2)【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的等比為，因為，，，所以，解得，.（2）因為，所以，則，所以.例題2．（2024上·全國·高二期末）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，為數(shù)列的前項和，試問：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)滿足條件的所有的值為或或【詳解】（1）∵，①∴當時，，∴；當時，，②由①－②得，∴，，．當時，符合，∴，．（2）存在．由（1）知，∴，∴．令，得．∵，∴的可能值為4，6，12，即的值為1，3，9，對應的的值為，∴存在正整數(shù)，使得．因此滿足條件的所有的值為或或例題3．（2024上·山東泰安·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項公式；(2)設，求的前項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，則；，由于，則，故解得，則.（2），所以.精練核心考點1．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設數(shù)列的前項和為，則.當時，；當時，.當時，顯然符合通項，所以；因為為等差數(shù)列，因為，，所以公差，，則；（2）由（1）知，所以數(shù)列的前項和：2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項和，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，則由題意可知，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知，，，所以.所以，當時，.故.3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項和為.已知且.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由,則，解得則；（2）由（1）得則題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：由得，由累乘法得.解法二：由得，則數(shù)列是各項為1的常數(shù)列，所以，即.（2）由（1）得，所以.例題2．（2024·全國·高三專題練習）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）令，，則舍去，所以.（2），因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，，當時，，（3）令，所以精練核心考點1．（2024上·天津·高二耀華中學?？计谀τ趯崝?shù)，表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82【答案】C【詳解】由題知，，所以，，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；所以.故選：C.2．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項和.【答案】【詳解】數(shù)列中，由，得，當時，，兩式相減得，整理得，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）記為正項數(shù)列的前項和，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，當時，，兩式相減得，，化簡可得，所以，即，又可得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得（2）由（1）可知，，所以，則，，，，因為，所以，則.例題2．（2024上·上海·高二上海南匯中學?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項；(3)若數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，當時，，當時，，也滿足，故對任意的，.（2）解：因為，等式兩邊同時除以可得，所以，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以，，由可得，此時，數(shù)列單調遞增，即，由可得，此時，數(shù)列單調遞減，即，所以，數(shù)列中的最大項為.（3）解：因為，所以，，因為對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則.因此，實數(shù)的取值范圍是.例題3．（2024·全國·高三專題練習）設是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，求；(3)設，數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1),(2)(3)【詳解】（1）設的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設的公差為，因為，，所以，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，，所以，所以.（3），所以.精練核心考點1．（2024上·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）在正項數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題知正項數(shù)列，且，所以有，兩式相除得，即，兩邊取對數(shù)有，即，所以，所以，結合，所以，即數(shù)列是常數(shù)列，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以，所以，故，又因為單調遞增，所以，即，得證.2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）數(shù)列中，，則，兩式相減得，即，因此，又當時，，得

即，所以數(shù)列是首項為5公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，即，則有，又，因此是常數(shù)數(shù)列，即，則，從而所以.3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和滿足關系式．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，，由，則當時，有，則，故，當時，有，故，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，故，則，則，.例題2．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，所以，因為當時，，將得，當時也適用，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由，所以，，將得，化簡得.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當時，.又滿足，所以.由題意，經(jīng)檢驗也滿足，所以.（2），，，①②.①-②得，所以.精練核心考點1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，又的各項均為正數(shù)，所以；當時，得，則，所以，又的各項均為正數(shù)，所以，所以，，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，，所以，①故，②①-②得：，所以2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，由，得；當時，因為，所以，則，可得.故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2），則，兩邊都乘以，得，以上兩個式子相減，可得：，故.3．（2024·全國·高三專題練習）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足，(1)求及；(2)設數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由依次成等比數(shù)列，，，即，解得（舍）或，，對于，當時，，當時，由可得，相減得，即，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，故；（2）依題，，，故，.題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和典型例題例題1．（2024·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設的前項和為，求．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，且．選擇①：（1）因為，所以，解得．所以，則，利用二次函數(shù)對稱性和開口方向知，關于對稱，因為，所以當或6時，.選擇②：因為，可得，因為，所以，此時，所以，因為，所以單調遞增，且當時，．所以當或11時，最小，此時.選擇③：因為，所以，即，所以，所以，則，利用二次函數(shù)對稱性和開口方向知，關于對稱，因為，所以當或6時，.（2）解：若選擇①或③：由（1）知，當時，，所以.若選擇②：由（1）知，且當時，，且，所以.例題2．（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足是與的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，又，所以，解得，設的公比為，因為是與的等差中項，所以，即，解得，從而，故等比數(shù)列的通項公式是；（2）由（1）知，所以，，設的前項和為，當時，易知數(shù)列是首項為6，公差為的等差數(shù)列，所以，當時，易知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前項和．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公差為，依題意得，所以，即，化簡得，解得或（舍去），，所以經(jīng)檢驗滿足題意.（2）依題意得，，，其前項和，當時，，，故，當時，，故所以.精練核心考點1．（2024·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設的公差為，，則，得；則；所以數(shù)列的通項公式為;（2）由題可知2．（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）記為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，當時，，，當時，滿足上式，所以的通項公式是.（2）由（1）知時，，時，當時，當時，所以.3．（2024·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.題型九：重點考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習