【整合課件】5.3.1-函數(shù)的單調(diào)性1

§5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)(一)學習目標1.理解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系.2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.問題導學導數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0k____

角__________f′(x)<0k____

角__________知識點一函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關系思考觀察圖中函數(shù)f(x)，填寫下表.>0<0銳鈍上升下降遞增遞減梳理一般地，設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，(1)如果f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)

；(2)如果f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)

.單調(diào)遞增單調(diào)遞減(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式

，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式

，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.知識點二利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟f′(x)>0f′(x)<01.函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)2.函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)[思考辨析判斷正誤]××題型探究類型一函數(shù)圖象與導數(shù)圖象的應用例1已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－1,5]，部分對應值如下表.f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示.x－1045f(x)1221給出下列關于函數(shù)f(x)的說法：①函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)；

②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；④當1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點.其中正確說法的個數(shù)是A.4 B.3

C.2 D.1√解析

依題意得，函數(shù)f(x)不可能是周期函數(shù)，因此①不正確；當x∈(0,2)時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，②正確；當x∈[－1，t]時，若f(x)的最大值是2，則結(jié)合函數(shù)f(x)的可能圖象分析可知，此時t的最大值是5，因此③不正確；注意到f(2)的值不明確，結(jié)合函數(shù)f(x)的可能圖象分析可知，將函數(shù)f(x)的圖象向下平移a(1<a<2)個單位長度后相應曲線與x軸的交點個數(shù)不確定，因此④不正確.故選D.反思與感悟

(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負的關系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.(2)函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大.跟蹤訓練1已知y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則所給四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是√解析

當0<x<1時，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當x>1時，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù).故選C.類型二利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解

函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，反思與感悟求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域.(2)求導數(shù)y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為增函數(shù).(4)解不等式f′(x)<0，函數(shù)在解集所表示的定義域內(nèi)為減函數(shù).跟蹤訓練2函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________________.解析

由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間解

函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).反思與感悟

(1)討論參數(shù)要全面，做到不重不漏.(2)解不等式時若涉及分式不等式要注意結(jié)合定義域化簡，也可轉(zhuǎn)化為二次不等式求解.跟蹤訓練3設函數(shù)f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解

f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.若a>0，則當x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.達標檢測1.函數(shù)f(x)＝x＋lnxA.在(0,6)上是增函數(shù)B.在(0,6)上是減函數(shù)12345√123452.若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f′(x)的圖象可能為√解析

由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,4)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，當x∈(1,4)時，f′(x)>0，當x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)時，f′(x)<0，結(jié)合選項知選C.3.函數(shù)f(x)＝3＋x·lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是√解析

f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，123454.若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,2]，則b＝____，c＝_____.12345－6解析

f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由題意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的兩根為－1和2.12345解

函數(shù)f(x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞)，當k≤0時，kx－1<0，∴f′(x)<0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.5.試求函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間.12345綜上所述，當k≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)；1.導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)