人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專(zhuān)題07圓的相關(guān)計(jì)算(知識(shí)串講+10大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題07圓的相關(guān)計(jì)算考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）與圓有關(guān)的計(jì)算（1）弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長(zhǎng)l＝；扇形的面積S＝（2）圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖①圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).②計(jì)算公式：,（r為底面半徑）S側(cè)=πrl（l為母線長(zhǎng)，r為底面半徑）（3）圓錐表面積圓錐體表面積公式：（為母線，R為底面半徑）備注：圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：運(yùn)用公式求扇形的弧長(zhǎng)典例1：（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（

）

A．π B．3π C．2π D．2π?【變式1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧AB，圓弧的半徑OA=20cm，圓心角∠AOB=90°，則AB=（

A．20π?cm B．10π?cm C．5π?cm【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，AC=AD，若∠ABC=130°，⊙O的半徑為9，則劣弧CD的長(zhǎng)為（）A．4π B．8π C．9π【變式3】（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)A,B的兩條切線相交于點(diǎn)C，列車(chē)在從A到B行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA=1.5km，則這段圓曲線AB的長(zhǎng)為（

A．π4km B．π2km C．考點(diǎn)2：求扇形半徑或圓心角典例2：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)扇形的面積為240π．弧長(zhǎng)為20π．那么這個(gè)扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【變式1】（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C在半徑為6的⊙O上，劣弧AB的長(zhǎng)為2π，則∠ACB的大小是（）

A．20° B．30° C．45°【變式2】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數(shù)是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【變式3】（2022秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從一塊直徑是2m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是（

）A．24m B．22m C．2m D．2考點(diǎn)3：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)典例3：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）長(zhǎng)為30?cm的細(xì)木條AB用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)A，B（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)），當(dāng)固定點(diǎn)B處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來(lái)垂直的方向，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，則點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長(zhǎng)為（

A．450π?cm B．225π?cm C．15π?cm【變式1】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，...，以此類(lèi)推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是（）A．2024π B．2023π C．3036π【變式2】（2023·河北石家莊·?？家荒＃┤鐖D，邊長(zhǎng)為23cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB=12cm，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【變式3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形木板ABC在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′B′C

A．16π3,4 B．8π，4 C．16π3，?4 D．考點(diǎn)4：運(yùn)用公式求扇形的面積典例4：（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，則扇形OAB(陰影部分)的面積是(

)

A．12π B．6π C．4π D．2π【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得EC，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為(

)

A．2π B．3π C．33π 【變式2】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）美術(shù)課上，小梅同學(xué)利用如圖所示直徑為1dm的圓形材料裁剪出一個(gè)扇形圖案，已知扇形的圓心角∠BAC=90°，則扇形圖案的面積為（）

A．π2dm2 B．π4dm2【變式3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OCA．52πcm2 B．132πcm2考點(diǎn)5：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段（圖形）掃過(guò)的面積典例5：（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將△BOC繞到心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為

A．16π B．13π?1【變式1】（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，已知AC=6，A．3π2 B．8π3 C．6π 【變式2】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，把△ABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至BA邊延長(zhǎng)線上的CA．27π?932 B．27π C．9π+【變式3】（2023春·四川涼山·九年級(jí)統(tǒng)考專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，已知AC=6,BC=4A．3π2 B．10π3 C．6π考點(diǎn)6：求陰影部分的面積典例6：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，扇形紙片的半徑為6，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）

A．12π?183 B．12π?363 C．24π?183【變式1】（2023·遼寧營(yíng)口·?？既＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（

）

A．π4 B．π3 C．2π【變式2】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F

A．π?2 B．2π?2 C．2【變式3】（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以點(diǎn)C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（

A．32π?943 B．34考點(diǎn)7：求圓錐的側(cè)面積典例7：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，圓錐底面圓的半徑為7cm，體積為392πcm3

A．1753πcm2 B．1752πcm2 C．175π【變式1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓錐底面圓的半徑AB=2，高BC=42A．6π B．8π C．10π D．12π【變式3】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ凶锨G中學(xué)校考三模）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（

）

A．27cm2 B．54cm2 C．考點(diǎn)8：求圓錐的底面半徑與高典例8：（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）用一個(gè)圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面直徑是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，聰聰用一張半徑為6cm、圓心角為120°的扇形紙片做成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的高為（

）A．42cm B．22cm C．【變式2】（2023春·四川宜賓·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，從一塊直徑是8m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的高是（）mA．42 B．515 C．30【變式3】（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片上剪去13圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），則這個(gè)圓錐的底面半徑為（

A．3 B．6 C．9 D．12考點(diǎn)9：求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角典例9：（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，用一個(gè)圓心角為θ的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為2，側(cè)面積為8π的圓錐體，則該扇形的圓心角θ得大小為（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【變式1】（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【變式2】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)幾何體的三視圖如下：其中主視圖和左視圖都是腰長(zhǎng)為4，底邊為2的等腰三角形，則這個(gè)幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的面積和圓心角分別是（

）A．4π

60° B．4π

90° C．2π

90° D．8π

60°【變式3】（2023·云南西雙版納·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為（）．A．108° B．120° C．144° D．150°考點(diǎn)10：圓的相關(guān)計(jì)算與實(shí)際問(wèn)題典例10：（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（

）A．(30+529)π米2 B．40πC．(30+521)π米2 D．55π【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長(zhǎng)為6，D為PB的中點(diǎn)．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．3 B．23 C．33【變式2】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的長(zhǎng)度可能是（

）A．8 B．11 C．10 D．9【變式3】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為1的正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形（率徑為R）和一個(gè)圓形（率徑為r），使之恰好圍成一個(gè)圓錐．嘉嘉說(shuō)圖1剪下的圓和扇形一定不可以圍成一個(gè)圓錐，淇淇說(shuō)圖中剪下的圓和扇形有可能?chē)梢粋€(gè)圓錐，還需要滿足條件R=4r，則（

）A．只有嘉嘉的說(shuō)法正確 B．只有淇淇的說(shuō)法正確C．兩個(gè)人的說(shuō)法均正確 D．兩人的說(shuō)法均不正確同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，則陰影部分的面積是（

）A．2 B．πC．2π D．π2．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如果圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為3cm，那么圓錐的側(cè)面積為（）A．15πcm2 B．20πcm2 C．9π3．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓錐的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm．則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm24．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C接順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A′B′C′A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm5．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一塊含45°的直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A放在半徑為4的⊙O上，邊AB、AC分別與⊙O交于點(diǎn)E、點(diǎn)D，則位于三角板內(nèi)部的弧DE的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．4π D．8π6．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線l=5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB=150°，D為VB上一點(diǎn)，VD=3dm，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)A．32dm B．42dm C．7．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°8．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用如圖所示的扇形紙片制作一個(gè)圓錐的側(cè)面，要求圓錐的高是4cm，底面周長(zhǎng)是6πcm，則扇形的半徑為（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm9．（2022秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的方格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，O、A、B分別是小正方形的頂點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．2π D．10．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)蕪湖市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在4×5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BC1的位置，且點(diǎn)A1、C1仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積是（）A．9π4 B．13?22π C．二、填空題11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）圓錐的側(cè)面積為20π，母線長(zhǎng)為5．則這個(gè)圓錐的底面半徑為．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）半徑為5cm的圓中，若扇形面積為25π3cm13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．若∠A=60°，⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積是14．（2023·云南·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知⊙O的半徑為6,弦AB與半徑相等,則用扇形OAB圍成的圓錐的底面半徑為．15．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）高為4，底面半徑為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．16．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，以半⊙O上的點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作扇形ABC．線段AC交弧AB的中點(diǎn)于D，若AB=4，則陰影部分面積S=（結(jié)果保留π）．三、解答題17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是80cm，母線長(zhǎng)是5018．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）∠C＝45°，⊙O的半徑為2，求陰影部分面積．19．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）畫(huà)出以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C'（2）求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．20．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在10×10的網(wǎng)格中，有一格點(diǎn)△ABC(說(shuō)明：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形叫做格點(diǎn)三角形).(1)將△ABC先向右平移5個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到△A'B'C'，請(qǐng)直接畫(huà)出平移后的△A'B'C'；(2)將△A'B'C'繞點(diǎn)C'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A''B''C'，請(qǐng)直接畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)A'所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)(結(jié)果保留π).21．（2022秋·廣東·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一個(gè)圓錐的高為,側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，求：（1）圓錐的底面半徑與母線之比；（2）圓錐的全面積．22．（2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．以AB上一點(diǎn)O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設(shè)⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段BD，BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）23．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=18cm,AD=12cm，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)BF恰與DC邊相切，交AD于F點(diǎn)，連結(jié)OF24．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，CD與OC所在的直線互相垂直，AD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．(1)求證：AC平分∠DAB；(2)若點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．25．（2022秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，⊙O中，AB=AC，∠ACB=75°，BC=1．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求陰影部分的面積．

專(zhuān)題07圓的相關(guān)計(jì)算考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）與圓有關(guān)的計(jì)算（1）弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長(zhǎng)l＝；扇形的面積S＝（2）圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖①圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).②計(jì)算公式：,（r為底面半徑）S側(cè)=πrl（l為母線長(zhǎng)，r為底面半徑）（3）圓錐表面積圓錐體表面積公式：（為母線，R為底面半徑）備注：圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：運(yùn)用公式求扇形的弧長(zhǎng)典例1：（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（

）

A．π B．3π C．2π D．2π?【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式l=nπr【詳解】解：∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴AB=∴該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)=3×π=3π，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧AB，圓弧的半徑OA=20cm，圓心角∠AOB=90°，則AB=（

A．20π?cm B．10π?cm C．5π?cm【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：弧的半徑OA=20cm，圓心角∠AOB=90°∴AB=故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查弧長(zhǎng)公式，熟練掌握運(yùn)用弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，AC=AD，若∠ABC=130°，⊙O的半徑為9，則劣弧CD的長(zhǎng)為（）A．4π B．8π C．9π【答案】B【分析】連接OD、OC，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠ADC的度數(shù)，再由AC=AD及三角形內(nèi)角和定理可求得∠DAC的度數(shù)，由圓周角定理可得∠DOC的度數(shù)，最后由弧長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接OD、OC，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠ABC=130°，∴∠ADC=180°?∠ABC=180°?130°=50°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=50°，∴∠DAC=180°?∠ADC+∠ACD∴∠DOC=2∠DAC=2×80°=160°，∵⊙O的半徑為9，∴l(xiāng)CD故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)A,B的兩條切線相交于點(diǎn)C，列車(chē)在從A到B行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA=1.5km，則這段圓曲線AB的長(zhǎng)為（

A．π4km B．π2km C．【答案】B【分析】由轉(zhuǎn)角α為60°可得∠ACB=120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAC=∠OBC=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得∠AOB=360°?∠ACB?∠OAC?∠OBC=60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：

∵∠α=60°，∴∠ACB=120°，∵過(guò)點(diǎn)A,B的兩條切線相交于點(diǎn)C，∴∠OAC=∠OBC=90°,∴∠AOB=360°?∠ACB?∠OAC?∠OBC=60°,∴60°×π×2×1.5360°故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得∠AOB=60°是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：求扇形半徑或圓心角典例2：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)扇形的面積為240π．弧長(zhǎng)為20π．那么這個(gè)扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】設(shè)扇形的半徑為r，根據(jù)扇形面積等于12rl（【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，由題意得，12解得r=24，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，熟知扇形面積等于扇形弧長(zhǎng)和半徑乘積的一半是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C在半徑為6的⊙O上，劣弧AB的長(zhǎng)為2π，則∠ACB的大小是（）

A．20° B．30° C．45°【答案】B【分析】連接OA,OB，利用同弧圓心角與圓周角的關(guān)系，需求∠AOB即可，利用AB弧長(zhǎng)與弧長(zhǎng)公式即可求出圓心角，∠ACB=12【詳解】連接OA,OB

設(shè)∠AOB=∵劣弧AB的長(zhǎng)為2π，∴∴n=60,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=1故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的度數(shù)問(wèn)題，掌握弧長(zhǎng)公式，圓周角與圓心角的關(guān)系，會(huì)利用弧長(zhǎng)求圓心角，利用同弧所對(duì)圓心角確定圓周角的大?。咀兪?】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框ABC，按圖2方式變形成以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的扇形（圖形周長(zhǎng)保持不變），則所得扇形ABC的圓心角的度數(shù)是（

）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°【答案】D【分析】根據(jù)題意BC的長(zhǎng)就是邊BC的長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式nπR180【詳解】解：設(shè)AB=BC=x，∴C∴nπx解得：n=180∴圓心角的度數(shù)為：180°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·山東泰安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從一塊直徑是2m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓的半徑是（

）A．24m B．22m C．2m D．2【答案】A【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為rm．先根據(jù)勾股定理求出扇形ABC的半徑，再根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)列方程求出r．【詳解】解：∵BC＝2m，AB=AC，∠BAC＝90°，∴AB＝2m，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rm，根據(jù)題意得2πr＝90×π解得r＝24即圓錐的底面圓的半徑為24故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，扇形，圓錐等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，扇形的弧長(zhǎng)公式，用扇形弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)建立并解方程．考點(diǎn)3：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)典例3：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）長(zhǎng)為30?cm的細(xì)木條AB用兩個(gè)鐵釘固定在墻上，固定點(diǎn)為點(diǎn)A，B（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥?jì)），當(dāng)固定點(diǎn)B處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與原來(lái)垂直的方向，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，則點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長(zhǎng)為（

A．450π?cm B．225π?cm C．15π?cm【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算便可．【詳解】解：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長(zhǎng)為90180故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長(zhǎng)，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，...，以此類(lèi)推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是（）A．2024π B．2023π C．3036π【答案】C【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．【詳解】解：轉(zhuǎn)動(dòng)一次A的路線長(zhǎng)是：90π轉(zhuǎn)動(dòng)第二次的路線長(zhǎng)是：90π轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路線長(zhǎng)是：90π轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路線長(zhǎng)是：0，轉(zhuǎn)動(dòng)五次A的路線長(zhǎng)是：90π以此類(lèi)推，每四次循環(huán)，故頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：3π2024÷4=506頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)2024次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：6π故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了探索規(guī)律問(wèn)題和弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·河北石家莊·?？家荒＃┤鐖D，邊長(zhǎng)為23cm的正六邊形螺帽，中心為點(diǎn)O，OA垂直平分邊CD，垂足為B，AB=12cm，用扳手?jǐn)Q動(dòng)螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【答案】D【分析】利用正六邊形的性質(zhì)求出OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到OA的長(zhǎng)度，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：連接OD，

∵∠DOC=60°，∴△ODC是等邊三角形，∴OD=OC=DC=23∵OB⊥CD，∴BC=BD=3∴OB=3∵AB=12cm∴OA=OB+AB=15cm∴點(diǎn)A在該過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=90?π?15故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)及計(jì)算，扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟知以上計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形木板ABC在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′B′C

A．16π3,4 B．8π，4 C．16π3，?4 D．【答案】A【分析】由題意知，頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑為圓弧AA′，所對(duì)的圓心角為120°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算求得頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路程，再根據(jù)等邊三角形的三線合一的性質(zhì)，即可求得【詳解】解：∵一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形木板ABC，在平面直角坐標(biāo)系上繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A

∴∠ACA′=120°∴A作AD⊥CB′于∵△A∴CD=∴A′的橫坐標(biāo)為故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，得出A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：運(yùn)用公式求扇形的面積典例4：（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，則扇形OAB(陰影部分)的面積是(

)

A．12π B．6π C．4π D．2π【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠AOB=60°，然后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵AB=AB，∴∠AOB=60°，∴S=60故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得EC，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為(

)

A．2π B．3π C．33π 【答案】A【分析】利用等六邊形的性質(zhì)計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作AC垂線，垂足為G

根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，∠CAB=∠BCA=30°∴BG=∴AC=2AG=∴S故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，含30度角的直角三角形等知識(shí)，根據(jù)正六邊形性質(zhì)計(jì)算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）美術(shù)課上，小梅同學(xué)利用如圖所示直徑為1dm的圓形材料裁剪出一個(gè)扇形圖案，已知扇形的圓心角∠BAC=90°，則扇形圖案的面積為（）

A．π2dm2 B．π4dm2【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)圓周角定理得出BC為圓的直徑，解直角三角形求出AB，根據(jù)扇形面積公式即可解答．【詳解】

解：如圖連接BC，∵∠BAC=90°，∴BC為直徑，∵AB=AC，BC=1dm∴AB=AC=2∴扇形圖案的面積為90°×π×2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和扇形的面積計(jì)算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠A=80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OCA．52πcm2 B．132πcm2【答案】C【分析】先求解∠DOE=180°?1【詳解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DOE=180°?1∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，求解扇形的面積，熟記三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段（圖形）掃過(guò)的面積典例5：（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將△BOC繞到心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為

A．16π B．13π?1【答案】C【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OC=12OB=12，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B′OC′=∠BOC=60°，∠COC′=120°，【詳解】解：∵直徑AB長(zhǎng)為2，∴OB=OB∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=1∵∠BOC=60°，△B′OC′∴∠B′OC′=∠BOC=60°，∠COC′=120°∴∠B′OB=120°，S△∴S扇形BO則陰影部分的面積為S扇形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，已知AC=6，A．3π2 B．8π3 C．6π 【答案】D【分析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形ACA′+SΔ【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴SΔABC=∵AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形∴AB掃過(guò)的圖形的面積=S扇形∴AB掃過(guò)的圖形的面積=60π×6故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，扇形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．【變式2】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，把△ABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至BA邊延長(zhǎng)線上的CA．27π?932 B．27π C．9π+【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ABC與△A′BC′全等，從而得到陰影部分的面積＝扇形ABA′的面積?小扇形CBC′的面積．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=1∴S陰影故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是看出陰影部分的面積的表示等于兩個(gè)扇形的面積的差，還考查了直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)．【變式3】（2023春·四川涼山·九年級(jí)統(tǒng)考專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，已知AC=6,BC=4A．3π2 B．10π3 C．6π【答案】B【分析】根據(jù)割補(bǔ)法可知陰影部分的面積即為扇形BCB′和扇形【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCB∵AC=6,BC=4，∴S扇形由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABC≌△A′B′C∴線段AB掃過(guò)的圖形面積為6π?8故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：求陰影部分的面積典例6：（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，扇形紙片的半徑為6，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（）

A．12π?183 B．12π?363 C．24π?183【答案】A【分析】根據(jù)折疊，△ACB≌△AOB，進(jìn)一步得到四邊形OACB是菱形；進(jìn)一步由OC=OB=BC=6得到△OBC是等邊三角形；最后陰影部分面積=扇形AOB【詳解】依題意：△ACB≌△AOB∴AC=BC=AO=BO=6∴四邊形OACB是菱形∴AB⊥CO連接OC與AB交于D點(diǎn)

∵OC=OB=6∴OC=OB=BC=6∴△OBC同理：△OAC是等邊三角形故∠AOB=120°由三線合一，在Rt△OBD中：∵∠OBD=1∴OD=12OB=3∴S菱形∴S扇形∴S陰影故選：A【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，菱形面積公式，扇形面積公式；解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△OBC【變式1】（2023·遼寧營(yíng)口·校考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（

）

A．π4 B．π3 C．2π【答案】A【分析】連接OD，OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于F，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可判定OE∥AB，S△AOD=S△AED，再根據(jù)圓周角定理算出【詳解】連接OD，OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于F，

∵AC為直徑∴AE⊥BC，OA=OC∵AB=AC∴CE=BE，∴OE∥∴S∵∠BED=45°，∠AEB=90°，∴∠AED=45°，∴∠AOD=2∠AED=90°，∵AB=2，∴AB=AC=2，∴OA=1∴S陰影故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)和扇形面積公式，正確作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F

A．π?2 B．2π?2 C．2【答案】C【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形ACE和扇形BCF的面積，再減去△ABC的面積即可得．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∵AC=BC=22∴圖中陰影部分的面積是S==2π故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以點(diǎn)C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（

A．32π?943 B．34【答案】C【分析】如圖，連接CD，證明△BCD是等邊三角形，則∠BCD=60°，∠ACD=30°=∠A，則CD=BD=AD，D是AB的中點(diǎn)，CD是△ABC底邊AB上的中線，可得S△ACD=S△BCD，根據(jù)【詳解】解：如圖，連接CD，

∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60∵CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD=60°，∠ACD=30°=∠A，∴CD=BD=AD，∴D是AB的中點(diǎn)，CD是△ABC底邊AB上的中線，∴S△ACD∴S==3π故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，扇形面積，中線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示陰影部分面積．考點(diǎn)7：求圓錐的側(cè)面積典例7：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，圓錐底面圓的半徑為7cm，體積為392πcm3

A．1753πcm2 B．1752πcm2 C．175π【答案】C【分析】根據(jù)圓錐體積求出圓錐的高，再根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的面積公式求解即可．【詳解】解：圓錐底面圓的半徑為7cm，體積為392πcm3，設(shè)圓柱的高為?，則π3解得，?=24，則圓錐的母線l=7它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是πl(wèi)r=25×7π=175πcm2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的體積和側(cè)面公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【答案】C【分析】由圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式、分別求出答案，再進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵底面圓半徑DE=2m，∴圓柱的底面積為：π×2圓柱的側(cè)面積為：2π×2×2.5=10π；故B正確；圓錐的母線為：22圓錐的側(cè)面積為：12故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行判斷．【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓錐底面圓的半徑AB=2，高BC=42A．6π B．8π C．10π D．12π【答案】D【分析】先求出圓錐的底面周長(zhǎng)，然后再求出圓錐的母線長(zhǎng)，最后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵圓錐底面圓的半徑AB=2，高BC=42∴圓錐底面周長(zhǎng)為：2π×2=4π，圓錐的母線長(zhǎng)為：AC=A這個(gè)圓錐的側(cè)面積為：S=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式．【變式3】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ凶锨G中學(xué)?？既＃┤鐖D，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（

）

A．27cm2 B．54cm2 C．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=π【詳解】解：由圖可知，圓錐的底面半徑為62cm=3則圓錐的側(cè)面積為π×3×9=27即蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是27πcm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，熟記公式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)8：求圓錐的底面半徑與高典例8：（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）用一個(gè)圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面直徑是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先利用弧長(zhǎng)公式求出扇形的弧長(zhǎng)即圓錐的底面周長(zhǎng)，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出直徑即可．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)：π×8×90°180°則圓錐的底面直徑：4π÷π=4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積公式，熟記公式的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，聰聰用一張半徑為6cm、圓心角為120°的扇形紙片做成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的高為（

）A．42cm B．22cm C．【答案】A【分析】已知半徑為6cm，圓心角為120°的扇形，就可以求出扇形的弧長(zhǎng)，即圓錐的底面周長(zhǎng)，從而可以求出底面半徑，因?yàn)閳A錐的高與底面半徑、圓錐母線構(gòu)成直角三角形的三邊，就可以根據(jù)勾股定理求出圓錐的高．【詳解】解：扇形弧長(zhǎng)為：L=120π×6180=4π設(shè)圓錐底面半徑為r，則：2πr=4π，所以r=2cm，因?yàn)閳A錐的高與底面半徑、圓錐母線構(gòu)成直角三角形的三邊，設(shè)圓錐高為h，所以h2+r2=62，即：h2=32，?=42所以圓錐的高為42故選：A【點(diǎn)睛】考查了圓錐的計(jì)算．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．【變式2】（2023春·四川宜賓·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，從一塊直徑是8m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的高是（）mA．42 B．515 C．30【答案】C【分析】連接AO，求出AB的長(zhǎng)度，然后求出BC的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑，應(yīng)用勾股定理，求出圓錐的高．【詳解】解：連接AO，∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，又∵∠BAC=90°，∴∠ABO=∠ACO=45°，∴AB=2∴BC的長(zhǎng)為：90π×42∴剪下的扇形圍成的圓錐的半徑是：22∴圓錐的高為：(42故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．【變式3】（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片上剪去13圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），則這個(gè)圓錐的底面半徑為（

A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】求得扇形的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的底面周長(zhǎng)，即可求出圓錐的底面半徑．【詳解】解：∵圓形紙片的半徑為9cm∴圓形紙片的周長(zhǎng)=2π×9cm∴剩下扇形的周長(zhǎng)=1?即2πr=12π，解得：r=6（cm）∴圓錐底面半徑為6cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及圓的周長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)9：求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角典例9：（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，用一個(gè)圓心角為θ的扇形紙片圍成一個(gè)底面半徑為2，側(cè)面積為8π的圓錐體，則該扇形的圓心角θ得大小為（

）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，∴π?θ?l180°∴l(xiāng)=720°∵π?2l=8π，∴720°×2πθ∴θ=180°，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角度數(shù)，熟知圓錐側(cè)面積公式和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【答案】C【分析】由已知求得圓錐母線長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖所對(duì)的弧長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式求解圓心角的度數(shù)．【詳解】解：由圓錐的高為4，底面直徑為6，可得母線長(zhǎng)l=4圓錐的底面周長(zhǎng)為：π×6=6設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則nπ解得：n=216，故圓心角度數(shù)為：216°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【變式2】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)幾何體的三視圖如下：其中主視圖和左視圖都是腰長(zhǎng)為4，底邊為2的等腰三角形，則這個(gè)幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的面積和圓心角分別是（

）A．4π

60° B．4π

90° C．2π

90° D．8π

60°【答案】B【分析】由三視圖先確定幾何體為圓錐，利用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算，根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)與底面圓周長(zhǎng)列方程，解方程即可．【詳解】解：從三視圖看幾何體為圓錐，母線長(zhǎng)為4，底面圓的半徑為1，∴圓錐側(cè)面積為：12∴nπ∴圓心角為：n=2×180°故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，圓錐側(cè)面面積與側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角，掌握三視圖還原幾何體的方法，熟記圓錐側(cè)面積公式，弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023·云南西雙版納·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為（）．A．108° B．120° C．144° D．150°【答案】A【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度等于rl【詳解】解：∵∴n=r∵母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，∴錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的計(jì)算，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)10：圓的相關(guān)計(jì)算與實(shí)際問(wèn)題典例10：（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（

）A．(30+529)π米2 B．40πC．(30+521)π米2 D．55π【答案】A【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側(cè)面面積，最后求和．【詳解】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，∴圓錐的母線長(zhǎng)=52∴圓錐的側(cè)面積=π×5×圓柱的側(cè)面積=底面圓周長(zhǎng)×圓柱高，即2π故需要的毛氈：(30+529)π故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，圓周長(zhǎng)公式，圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積等，分別得出圓錐與圓柱側(cè)面積是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長(zhǎng)為6，D為PB的中點(diǎn)．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為（）A．3 B．23 C．33【答案】C【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)可求出n，然后可判斷三角形PAB為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)求出AD即可得．【詳解】解：由題意知，底面圓的直徑AB=4，故底面周長(zhǎng)等于4π．設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得nπ×6180解得n=120，所以展開(kāi)圖中∠APD=120°÷2=60°，因?yàn)榘霃絇A=PB，故三角形PAB為等邊三角形，又∵D為PB的中點(diǎn)，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，根據(jù)勾股定理求得AD=33所以螞蟻爬行的最短距離為33故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的相關(guān)概念、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確理解題意、掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是6．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的長(zhǎng)度可能是（

）A．8 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為n．利用弧長(zhǎng)公式構(gòu)建方程求出n的值，連結(jié)AC，過(guò)B作BD⊥AC于D，求出AC的長(zhǎng)即可判斷；【詳解】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為n．底面圓的周長(zhǎng)等于：2π×2=解得：n=120°；連結(jié)AC，過(guò)B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．∴∠DAB=30°,∵AB=6，∴BD=3，∴AD=6∴

AC=2AD=63即這根繩子的最短長(zhǎng)度是63故這根繩子的長(zhǎng)度可能是11，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓錐的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是記住圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在邊長(zhǎng)為1的正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形（率徑為R）和一個(gè)圓形（率徑為r），使之恰好圍成一個(gè)圓錐．嘉嘉說(shuō)圖1剪下的圓和扇形一定不可以圍成一個(gè)圓錐，淇淇說(shuō)圖中剪下的圓和扇形有可能?chē)梢粋€(gè)圓錐，還需要滿足條件R=4r，則（

）A．只有嘉嘉的說(shuō)法正確 B．只有淇淇的說(shuō)法正確C．兩個(gè)人的說(shuō)法均正確 D．兩人的說(shuō)法均不正確【答案】C【分析】根據(jù)圖1可知正方形的邊長(zhǎng)為R，則可求出正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2R，即R+2r=2R，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓（小圓）的周長(zhǎng)時(shí)，剪下的圓和扇形才可以圍成一個(gè)圓錐，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)公式可以得到r=14R【詳解】解：由圖1可知正方形的邊長(zhǎng)為R，∴正方形的對(duì)角線=R2∴R+2r=2R∵l扇形=90°πR180°=πR要使剪下的圓和扇形才可以圍成一個(gè)圓錐，則扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓（小圓）的周長(zhǎng)，∴πR2∴r=1將r=1R+2×14R=∴圖1剪下的圓和扇形一定不可以圍成一個(gè)圓錐，∴嘉嘉說(shuō)的對(duì)，∵圖2中正方形的邊長(zhǎng)不再是R，∴不再滿足R+2r=2R當(dāng)R=4r時(shí)，l扇形=90°πR180°∵C小圓=2πr，∴l(xiāng)扇形=C小圓，∴淇淇說(shuō)的對(duì)故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖．關(guān)鍵是理解扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，則陰影部分的面積是（

）A．2 B．πC．2π D．π【答案】D【分析】利用陰影部分的面積等于扇形面積減去△AOB的面積即可求解.【詳解】S陰影=nπ=90·π·2=π?2故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積和三角形面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，底面半徑為3cm，那么圓錐的側(cè)面積為（）A．15πcm2 B．20πcm2 C．9π【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：S=πrl進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：S=πrl=5×3π=15π；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積．熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓錐的底面半徑OB=6cm，高OC=8cm．則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2【答案】C【詳解】解：由勾股定理計(jì)算出圓錐的母線長(zhǎng)=62圓錐漏斗的側(cè)面積=12故選C．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算4．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C接順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A′B′C′A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm【答案】D【分析】頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑是一段弧長(zhǎng)是以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)的角度是180-60＝120，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得．【詳解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=15cm，∴∠ACA′=120°，AC=2BC=30cm，∴120π×30180=20πcm故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是弄準(zhǔn)弧長(zhǎng)的半徑和圓心角的度數(shù)．5．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一塊含45°的直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A放在半徑為4的⊙O上，邊AB、AC分別與⊙O交于點(diǎn)E、點(diǎn)D，則位于三角板內(nèi)部的弧DE的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．4π D．8π【答案】B【分析】連接OD，OE，根據(jù)題意和圓周角定理得∠DOE=90【詳解】解：如圖所示，連接OD，OE，∵在⊙O中，∠A=45°，半徑為4，∴∠DOE=2∠A=90∴位于三角板內(nèi)部的弧DE的長(zhǎng)度為：4×故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．6．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線l=5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB=150°，D為VB上一點(diǎn)，VD=3dm，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)A．32dm B．42dm C．【答案】D【分析】首先得到弧BC的長(zhǎng)，然后求得弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)，從而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖：∵BC=∴設(shè)弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，∴52解得n=90°，∴∠CVD=90°，∴CD=V故選：D．【點(diǎn)睛】求立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短路線長(zhǎng)，一般應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度．解題的關(guān)鍵是理解并掌握?qǐng)A錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)．7．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）圓錐的底面圓半徑是1，母線長(zhǎng)是3，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（

）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是n°，由題意得：n?3π180解得n=120，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用如圖所示的扇形紙片制作一個(gè)圓錐的側(cè)面，要求圓錐的高是4cm，底面周長(zhǎng)是6πcm，則扇形的半徑為（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【詳解】分析：∵底面周長(zhǎng)是6πcm，∴根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，得底面半徑為3cm．∵圓錐中底面半徑，圓錐的高和圓錐的母線構(gòu)成直角三角形，又圓錐的高是4cm，∴根據(jù)勾股定理得，圓錐的母線為5cm．∵根據(jù)圓錐與扇形的關(guān)系，圓錐的母線等于扇形的半徑．∴扇形的半徑為5cm故選B．9．（2022秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的方格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，O、A、B分別是小正方形的頂點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．2π D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得，∠AOB=90°,OA=OB，所以弧AB的長(zhǎng)度等于以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓的周長(zhǎng)的14【詳解】由正方形的性質(zhì)得，∠AOB=90°,OA=OB=2以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=2π?OA=4由∠AOB=90°得，弧AB的長(zhǎng)度等于14故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)的計(jì)算、以及正方形的性質(zhì).構(gòu)建一個(gè)圓，并得出弧AB的長(zhǎng)度與圓的周長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.10．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)蕪湖市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在4×5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BC1的位置，且點(diǎn)A1、C1仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積是（）A．9π4 B．13?22π C．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出BC=2，A1B=13，AC=3，再根據(jù)扇形的面積公式求出扇形ABA1和扇形CBC1的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積．【詳解】解：根據(jù)題意，可得BC=2，AC=3，根據(jù)勾股定理得：A1B=13，∠CBC1=90°，∠ABA1=90°，S扇形ABA1=90π（S扇形CBC1=90π2S陰影=S扇形ABA1-S扇形CBC1=134π-π=故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算以及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式，此題難度不大二、填空題11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）圓錐的側(cè)面積為20π，母線長(zhǎng)為5．則這個(gè)圓錐的底面半徑為．【答案】4【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設(shè)底面半徑為R，則底面周長(zhǎng)=2πR，圓錐的側(cè)面積=1∴R=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的底面半徑，利用圓錐側(cè)面積公式求解是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）半徑為5cm的圓中，若扇形面積為25π3cm【答案】120°【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意可知該扇形的半徑為5cm，∴由扇形的面積公式可知，253解得：n=120°．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式．掌握扇形的面積公式為S=nπ13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使∠A=2∠1,E是BC上的一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．若∠A=60°，⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積是【答案】2【分析】先根據(jù)切線的判定定理證得AC是⊙O的切線，由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=23，然后利用S陰影【詳解】連接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，∵∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切線；∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=3∴S===23故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．14．（2023·云南·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知⊙O的半徑為6,弦AB與半徑相等,則用扇形OAB圍成的圓錐的底面半徑為．【答案】1或5.【分析】先證明△AOB為等邊三角形，則∠AOB=60°，設(shè)用扇形OAB圍成的圓錐的底面半徑為r，由于可以用大扇形和小扇形圍成圓錐，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到2πr=60π×6180或【詳解】解：∵OA=OB=AB=6，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，設(shè)用扇形OAB圍成的圓錐的底面半徑為r，∴2πr=60π×6180∴r=1或r=5．故答案為1或5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）高為4，底面半徑為3的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．【答案】15π【分析】利用勾股定理先求得母線的長(zhǎng)，再利用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑、高和母線構(gòu)成直角三角形，已知，底面半徑是3，高是4，∴根據(jù)勾股定理得母線長(zhǎng)為5．∵圓錐的底面周長(zhǎng)等于它的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，而圓錐的底面周長(zhǎng)=2×3π=6π，∴根據(jù)扇形的面積公式，側(cè)面展開(kāi)后所得扇形的面積是：12故答案為：15π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的計(jì)算．注意圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，不能認(rèn)為是圓錐的底面半徑.16．（2022·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，以半⊙O上的點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作扇形ABC．線段AC交弧AB的中點(diǎn)于D，若AB=4，則陰影部分面積S=（結(jié)果保留π）．【答案】2π?4【分析】連接OD，根據(jù)題意，可知ΔODA是等腰直角三角形，可得∠DAO=45°，∠AOD=90°,DO=AO=2，再根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是扇形CAB的面積減去空白部分BAD的面積再加扇形AOD的面積減△AOD【詳解】連接OD，∵D為半圓所對(duì)的AB的中點(diǎn)，AB=4，∴DO⊥AB，∵OA=OD，∠DOA=90°，∴Δ∴∠DAO=45°，∠AOD=90°,DO=AO=2，∴陰影部分面積S=45π×故答案為：2π?4．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確扇形面積的計(jì)算公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是80cm，母線長(zhǎng)是50【答案】100個(gè)這樣的煙囪帽至少需要20πm2的鐵皮．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：圓錐形的煙囪帽的側(cè)面積=12?80π?50=2000π（cm2100×2000π=200000π（cm2）=20π（m2）答：100個(gè)這樣的煙囪帽至少需要20πm2的鐵皮．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．18．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）∠C＝45°，⊙O的半徑為2，求陰影部分面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2-π【分析】（1）若要證明CD是⊙O的切線，只需證明CD與半徑垂直，故連接OE，證明OE∥AD即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）連接OE．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）∵∠C＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形，∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，∴陰影部分面積＝S△OCE﹣S扇形OBE＝12×2×2﹣45π×2【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓與三角形，涉及了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、扇形的面積，靈活的將圖形與已知條件相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.19．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）畫(huà)出以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C'（2）求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可．（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，C所經(jīng)過(guò)的路程為下圖中扇形COC【詳解】（1）如圖，連接OA、OB、OC并點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A'、B'、C'，連接A'B'、B'C'、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．（2）C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程為扇形COC所以l【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖以及扇形的弧長(zhǎng)公式l=nπr20．（20