人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題04點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系(知識串講+8大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)類型知識串講（一）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部QUOTE??>???d>r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上QUOTE??=???d=r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部QUOTE??<???d<r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的內(nèi)部.（二）確定圓的條件若QUOTE??、??、??A、B、C三點(diǎn)不共線時，圓心是線段QUOTE????AB與QUOTE????BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)QUOTE??O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．三點(diǎn)定圓的畫法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時OA=OB=OC,于是點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．（三）三角形的外接圓1）經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．2）三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.3）直角三角形外接圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)（四）直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系典例1：（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，OB是斜邊AC上的中線，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓，則下列各點(diǎn)中，在⊙O內(nèi)的是（

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)O【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為3，4，點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)

A．3 B．4 C．6 D．8【變式2】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

A．點(diǎn)B，C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在

A．3 B．4 C．5 D．6考點(diǎn)2：確定圓的條件典例2：（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【變式1】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A(0,3),B(2,1)，C在平面直角坐標(biāo)系中，則△ABC的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上【變式2】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【變式3】（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中（小正方形的連長為1），有6個點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若過A、B、C三點(diǎn)作圓O，則點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)中在圓O外的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)3：三角形的外接圓與外心典例3：（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【變式1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC，A(?1,3)，B(?2,?2)，C(4,?2)，則△ABC外心的坐標(biāo)為（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,?2)【變式2】（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側(cè)建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔(dān)心觸礁.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,C,D,P,M,N是網(wǎng)格線交點(diǎn)，當(dāng)船航行到點(diǎn)P的位置時，此時與兩個燈塔M,N間的角度（∠MPN的大?。┮欢o觸礁危險.那么，對于A,B,C,D四個位置，船處于___________時，也一定無觸礁危險.（）

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【變式3】（2022秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D，O為銳角三角形ABC的外心，四邊形OCDE為正方形，其中E點(diǎn)在△ABC的外部，判斷下列敘述不正確的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心考點(diǎn)4：特殊三角形的外接圓——求半徑典例4：（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，RtΔABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是ΔABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）A．1 B．1.6 C．13?2 【變式1】（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2022秋·湖北武漢·九年級?？计谀┤鐖D所示，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?1,3、B?2,?2、C4,?2，則△ABCA．32 B．23 C．10 【變式3】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5考點(diǎn)5：反證法典例5：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB=AC，則∠B<90°”時，以下三個步驟正確的排列順序是（

）步驟如下：①假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°．②因此假設(shè)不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，這與“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”產(chǎn)生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【變式1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°③假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A≠∠B，則AC≠BC”．應(yīng)先假設(shè)（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 【變式3】（2023春·江西九江·八年級濂溪一中校考階段練習(xí)）用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內(nèi)角小于45°時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（）A．每一個內(nèi)角都大于等于45° B．每一個內(nèi)角都小于45°C．有一個內(nèi)角大于等于45° D．有一個內(nèi)角小于45°考點(diǎn)6：直線與圓的位置關(guān)系典例6：（2023·河北滄州·?？既＃╊}目：“如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以點(diǎn)B為圓心的⊙B的半徑為r，若對于r的一個值，⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，求r的取值范圍．”對于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【變式1】（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長度．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC交BD于點(diǎn)O，且AC＝16，BD＝12．如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點(diǎn)，那么r的變化區(qū)間長度是（）A．165 B．125 C．85【變式2】（2022秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知圓O的半徑為3，點(diǎn)O到某條直線的距離為23，則這條直線可以是（

A．l1 B．l2 C．l3【變式3】（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙A的半徑為3，△ABC是邊長為4的等邊三角形，則直線BC與⊙A的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定考點(diǎn)7：直線與圓的位置關(guān)系——求半徑典例7：（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC=12．分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內(nèi)切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【變式1】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x，則x的取值范圍是（

）A．0<x≤2 B．?2≤x≤2 C．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（A．0≤r≤125 B．125≤r≤3【變式3】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A．43 B．32 C．8考點(diǎn)8：直線與圓的位置關(guān)系——求距離典例8：（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是(2,a)(a>2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為23，則a的值是（

A．23 B．2+22 C．2+2【變式1】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，－2），⊙A的半徑為1，P為坐標(biāo)軸上一動點(diǎn)，PQ切⊙A于點(diǎn)Q，在所有P點(diǎn)中，使得PQ長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）【變式2】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線y=x+2相切時，圓心M的坐標(biāo)為（

A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【變式3】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為1,1，半徑為1，直線l的表達(dá)式為y=?2x+6，P是直線l上的動點(diǎn)，Q是⊙C上的動點(diǎn)，則PQ的最小值是（）A．355?1 B．655?1同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎袿的半徑為5cm，若點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)A（

）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定2．（2022秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）⊙O的半徑為R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點(diǎn)（

）A．在⊙O內(nèi)或⊙O上 B．在⊙O外C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l與⊙O有交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為2cm，若點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P（A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定5．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為3cm，⊙O所在平面上有一點(diǎn)P.若PO＝3.5cm，則點(diǎn)P在()A．⊙O內(nèi) B．⊙O上C．⊙O外 D．以上都有可能6．（2022秋·廣西南寧·九年級南寧十四中校聯(lián)考期中）已知⊙O的半徑為4，OA=5，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．圓不經(jīng)過點(diǎn)A7．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．動點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)O從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個動點(diǎn)也隨時停止．設(shè)運(yùn)動時間為t（s），以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的⊙O與BA交于另一點(diǎn)E，連接ED．當(dāng)直線DE與⊙O相切時，t的取值是（）A．169 B．32 C．438．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）當(dāng)一個三角形的內(nèi)心與外心重合時，這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形9．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）下列命題中，假命題是（

）A．在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半B．等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心10．（2022秋·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半徑長為1的⊙B和直線AC的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定二、填空題11．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，⊙O的直徑為2cm，點(diǎn)P到圓心O的距離是3cm，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是．12．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┮阎袿的半徑為4cm，OP=2cm，則點(diǎn)P在⊙O13．（2022秋·九年級課時練習(xí)）經(jīng)過一點(diǎn)P可以作個圓；經(jīng)過兩點(diǎn)P、Q可以作個圓，圓心在上；經(jīng)過不在同一直線上的三個點(diǎn)可以作個圓，圓心是的交點(diǎn)．14．（2022秋·廣東珠海·九年級珠海市第九中學(xué)?？计谥校┤簟裀的半徑為5，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是．15．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學(xué)階段練習(xí)）已知⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)A在⊙O外，OA=d，則d的長度范圍是．16．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心,r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點(diǎn)，則r的取值范圍是.三、解答題17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當(dāng)r取什么值時，點(diǎn)A在⊙C外？（2）當(dāng)r取什么值時，點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，⊙O的半徑是5，圓心O的坐標(biāo)為?1，?4，試判斷點(diǎn)P319．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD，∠B=∠D=90°，求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上．20．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校﹫A圓在解答問題“在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以A為圓心作⊙A，使得B，C，D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在⊙A內(nèi)，有一點(diǎn)在⊙A外，求⊙A的半徑r21．（2022秋·浙江杭州·九年級桐廬縣三合初級中學(xué)校考期中）如圖，有一塊破碎的圓形殘片，請你用直尺和圓規(guī)找出它的圓心O．（保留作圖痕跡）．22．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，的平分線交的外接圓于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，求外接圓的半徑.23．（2022秋·九年級單元測試）如圖，∠AOB=30°，OP=8，當(dāng)⊙P的半徑r為何值時，⊙P與直線OA相離？相切？相交？

24．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O′（1，1）為圓心，OO′為半徑畫圓，判斷點(diǎn)P（﹣1，1），點(diǎn)Q（1，0），點(diǎn)R（2，2）和⊙O′的位置關(guān)系．25．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個點(diǎn)：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)并指出點(diǎn)D、點(diǎn)E與⊙P的位置關(guān)系；（2）若在x軸上有一點(diǎn)F，且∠AFB=∠ACB，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為．

專題04點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)類型知識串講（一）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部QUOTE??>???d>r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上QUOTE??=???d=r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部QUOTE??<???d<r?點(diǎn)QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的內(nèi)部.（二）確定圓的條件若QUOTE??、??、??A、B、C三點(diǎn)不共線時，圓心是線段QUOTE????AB與QUOTE????BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)QUOTE??O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．三點(diǎn)定圓的畫法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時OA=OB=OC,于是點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．（三）三角形的外接圓1）經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．2）三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.3）直角三角形外接圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)（四）直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)直線與相切相交直線與圓有兩個公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線直線與相交考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系典例1：（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，OB是斜邊AC上的中線，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓，則下列各點(diǎn)中，在⊙O內(nèi)的是（

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)O【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：因?yàn)槿切蜛BC是直角三角形又OB是斜邊AC上的中線∴OB=故A,B,C三點(diǎn)均在⊙O上，只有點(diǎn)O在⊙O內(nèi)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的“斜中半”定理．掌握定理結(jié)論是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為3，4，點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由Rt△APB中AB=2PO知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，當(dāng)點(diǎn)P在線段OM上時，OP取得最小值，據(jù)此即可求解AB【詳解】解：連接PO．∵PA⊥PB，∴∠APB=90°．∵點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴AO=BO，∴AB=2PO．若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值．連接OM，當(dāng)點(diǎn)P在線段OM上時，OP取得最小值．∵M(jìn)的坐標(biāo)為3，∴OM=3又∵⊙M的半徑為2，∴OP=3，即OP的最小值為3，∴AB的最小值為6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時點(diǎn)P的位置．【變式2】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

A．點(diǎn)B，C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)【答案】C【分析】由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計(jì)算出PD=7，在Rt△PBC中計(jì)算出PC=9，則【詳解】解：如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=35∵AB=8，BP=3AP，∴AP=2，BP=6，在Rt△ADP中，AP=2，AD=3∴PD=A在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3∴PC=P∴PC>PD>PB，∴點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外?d>r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r．【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=∵點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外，∴3<r<5，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理、明確判斷的方法．考點(diǎn)2：確定圓的條件典例2：（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件對A進(jìn)行判斷；根據(jù)圓的軸對稱性對B進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角定理對C進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對D進(jìn)行判斷．【詳解】A．不共線的三點(diǎn)確定一個圓，故A是假命題；B．對稱是直線，而圓的直徑是線段，故B是假命題；C．弧相等，則弧所對的圓心角相等，故C是真命題；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故D是假命題．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題、真命題和假命題的概念，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【變式1】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A(0,3),B(2,1)，C在平面直角坐標(biāo)系中，則△ABC的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上【答案】B【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)作AB、BC的垂直平分線即可求解．【詳解】如圖，作AB、BC的垂直平分線，交點(diǎn)在第三象限，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的外心的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出垂直平分線求解．【變式2】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中（小正方形的連長為1），有6個點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若過A、B、C三點(diǎn)作圓O，則點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)中在圓O外的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由圖可知∠ABC=90°，故過A、B、C三點(diǎn)作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點(diǎn)，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)用勾股定理計(jì)算半徑和點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)到圓心的距離即可判定．【詳解】解：如圖，∵∠ABC=90°，∴過A、B、C三點(diǎn)作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點(diǎn)，∴OA=OC=1OD=1OE=OF=3>5∴點(diǎn)F在圓O外，點(diǎn)D、E在圓O上，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)上，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是關(guān)鍵網(wǎng)格的特點(diǎn)找到圓心的位置．考點(diǎn)3：三角形的外接圓與外心典例3：（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是AB、【詳解】解：∵⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，∴點(diǎn)D、E、F分別是AB、∴DF=1∵DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，∴CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21，∴EF=4，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC，A(?1,3)，B(?2,?2)，C(4,?2)，則△ABC外心的坐標(biāo)為（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,?2)【答案】C【分析】如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，則可得GH，EF的交點(diǎn)為Q為△ABC的外心，再分別求解GH，EF的解析式即可得到答案．【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則直線GH是線段BC的垂直平分線，四邊形AFCE是正方形，∴直線EF是線段AC的垂直平分線，記GH，EF的交點(diǎn)為Q，則Q為△ABC的外心，∵A(?1,3)，B(?2,?2)，C(4,?2)，∴直線GH為x=1，E4,3，F(xiàn)設(shè)直線EF為y=kx+b，∴4k+b=3?k+b=?2，解得：k=1∴直線EF為y=x?1，當(dāng)x=1時，y=0，∴Q1,0，即△ABC的外心坐標(biāo)為：1,0故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，正方形的性質(zhì)，三角形的外心的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)”是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側(cè)建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔(dān)心觸礁.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,C,D,P,M,N是網(wǎng)格線交點(diǎn)，當(dāng)船航行到點(diǎn)P的位置時，此時與兩個燈塔M,N間的角度（∠MPN的大?。┮欢o觸礁危險.那么，對于A,B,C,D四個位置，船處于___________時，也一定無觸礁危險.（）

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【答案】B【分析】先利用格點(diǎn)找出△MNP的外接圓的圓心，再判斷哪個點(diǎn)在△MNP的外接圓上即可．【詳解】解：如圖，

由網(wǎng)格可知，點(diǎn)O是MN和MP垂直平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O是△MNP的外接圓的圓心，∵OM=OB=1∴點(diǎn)M在△MNP的外接圓上，∴∠MPN=∠MBN，∴船處于位置B時，也一定無觸礁危險，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形的外心，勾股定理與網(wǎng)格問題等，解題的關(guān)鍵有兩個，一是找出△MNP的外接圓的圓心，二是掌握同弧所對的圓周角相等．【變式3】（2022秋·河北石家莊·九年級?？计谥校┤鐖D，O為銳角三角形ABC的外心，四邊形OCDE為正方形，其中E點(diǎn)在△ABC的外部，判斷下列敘述不正確的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心得出OA=OC=OA，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OA=OC<OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐個判斷即可．【詳解】解：連接OB、OD、OA，∵O為銳角三角形ABC的外心，∴OA=OC=OA，∵四邊形OCDE為正方形，∴OA=OC<OD，∴OA=OB=OC=OE≠OD，即O不是△AED的外心，OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，OA=OC=OE，即O是△ACE的外心，OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和三角形的外心與外接圓，能熟記知識點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的外心到三個頂點(diǎn)的距離相等，正方形的四邊都相等．考點(diǎn)4：特殊三角形的外接圓——求半徑典例4：（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，RtΔABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是ΔABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）A．1 B．1.6 C．13?2 【答案】C【分析】先說明點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上，連接OC與圓O交于點(diǎn)P，此時CP最小，最后利用勾股定理求出OC即可解答．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上，連接OC交圓O于點(diǎn)P，此時PC最小在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=3，OB=12∴OC=O∴CP=13?2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短距離問題等知識，確定點(diǎn)P位置是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC=3，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外，∴3<r<5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點(diǎn)與圓心的距離為d，當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外．【變式2】（2022秋·湖北武漢·九年級校考期末）如圖所示，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?1,3、B?2,?2、C4,?2，則△ABCA．32 B．23 C．10 【答案】D【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，設(shè)△ABC的外心為M，由B，C的坐標(biāo)可知M必在直線x=1上，由圖可知線段AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)1,0，由此可得M1,0，過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，連接MB，由勾股定理求出MB【詳解】解：設(shè)△ABC的外心為M，∵B?2,?2、C∴M必在直線x=?2+4由圖可知，線段AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)1,0，∴M1,0如圖，過點(diǎn)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，連接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3由勾股定理得：MB=M即△ABC外接圓半徑的長為13．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網(wǎng)格和三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷出△ABC外心的位置是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知直角三角形兩條直角邊為3，4，則它的外接圓半徑為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【答案】C【分析】直角三角形的斜邊即外接圓的直徑，直接利用勾股定理求解即可．【詳解】直角三角形兩條直角邊為3，4那么此直角三角形的斜邊為3即外接圓的直徑為5，那么外接圓半徑為2.5故選：C【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理以及求三角形的外接圓半徑，解題關(guān)鍵是判斷直角三角形的斜邊即外接圓的直徑．考點(diǎn)5：反證法典例5：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用反證法證明“在△ABC中，若AB=AC，則∠B<90°”時，以下三個步驟正確的排列順序是（

）步驟如下：①假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°．②因此假設(shè)不成立，∴∠B<90°．③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，這與“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”產(chǎn)生矛盾．A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①【答案】A【分析】根據(jù)反證法的解題方法與步驟可得答案．【詳解】解：反證法的基本步驟：先假設(shè)結(jié)論的反面成立，再證明結(jié)論的反面與已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假設(shè)，從而得到結(jié)論；∴以上步驟排序?yàn)椋孩佗邰?，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的步驟，熟記反證法的基本步驟是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知ΔABC中，AB=AC，求證：∠B<90°，下面寫出運(yùn)用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾②因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°③假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．這四個步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【詳解】解：運(yùn)用反證法證明這個命題的四個步驟1、假設(shè)在ΔABC中，∠B≥90°2、由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°3、∴∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾4、因此假設(shè)不成立．∴∠B<90°綜上所述，這四個步驟正確的順序應(yīng)是：③④①②故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A≠∠B，則AC≠BC”．應(yīng)先假設(shè)（

）A．AC>BC B．AC<BC C．∠A=∠B 【答案】D【分析】假設(shè)結(jié)論不成立，即AC=BC【詳解】∵命題：“在△ABC中，∠A≠∠B，則AC≠BC”，∴假設(shè)為：AC=BC，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了用反證法證明命題，掌握反證法的假設(shè)為結(jié)論不成立是解決問題的關(guān)鍵【變式3】（2023春·江西九江·八年級濂溪一中?？茧A段練習(xí)）用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內(nèi)角小于45°時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（）A．每一個內(nèi)角都大于等于45° B．每一個內(nèi)角都小于45°C．有一個內(nèi)角大于等于45° D．有一個內(nèi)角小于45°【答案】A【分析】反證法的步驟是假設(shè)結(jié)論不成立即可．【詳解】用反證法證明命題鈍角三角形中必有一個內(nèi)角小于45°時，應(yīng)先假設(shè)鈍角三角形中每一個內(nèi)角都不小于45°，即每一個內(nèi)角都大于等于45°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了反證法，解題的關(guān)鍵是懂得反證法的意義及步驟．考點(diǎn)6：直線與圓的位置關(guān)系典例6：（2023·河北滄州·?？既＃╊}目：“如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以點(diǎn)B為圓心的⊙B的半徑為r，若對于r的一個值，⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，求r的取值范圍．”對于其答案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r=125

A．只有乙答的對 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整【答案】D【分析】由勾股定理求出BC=4，再根據(jù)等面積法求出斜邊AC上的高為125，再根據(jù)半徑r【詳解】解：∵AB=3，AC=5，∴BC=A∴斜邊AC上的高為：3×45當(dāng)r=4時，畫出圖如圖所示：

，此時△ABC在圓內(nèi)部，⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，當(dāng)3<r<4時，畫出圖如圖所示，

，此時⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，當(dāng)r=12

，此時⊙B與AC只有一個交點(diǎn)，∴三人的答案合在一起才完整，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，等面積法，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果x的取值范圍是a＜x＜b，我們就將b與a的差叫做x的變化區(qū)間長度．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC交BD于點(diǎn)O，且AC＝16，BD＝12．如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點(diǎn)，那么r的變化區(qū)間長度是（）A．165 B．125 C．85【答案】D【分析】根據(jù)題意求出r變化的臨界值，根據(jù)變化區(qū)間長度的定義即可求解．【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8，OB＝12∴AB＝OA過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，∵SΔOAB=12OA·OB＝∴OA·OB＝AB·OH，∴OH＝245∵菱形的中心O到各邊的距離都相等，∴以點(diǎn)O為圓心，245為半徑畫圓，該圓與菱形的各邊都相切，此時⊙O與菱形ABCD當(dāng)以點(diǎn)O為圓心，6為半徑畫圓，該圓過點(diǎn)B、D，與菱形ABCD的各邊有6個公共點(diǎn)，∴如果以O(shè)為圓心，r為半徑的⊙O與菱形ABCD的各邊有8個公共點(diǎn)，則245＜r∴r的變化區(qū)間長度是6﹣245故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理，菱形的性質(zhì)等知識，求得r變化的臨界值是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知圓O的半徑為3，點(diǎn)O到某條直線的距離為23，則這條直線可以是（

A．l1 B．l2 C．l3【答案】D【分析】根據(jù)若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d>【詳解】解：∵圓O的半徑為3，點(diǎn)O到某條直線的距離為23而3<23∴d>∴直線與圓相離，∴這條直線與圓沒有公共點(diǎn)，∴這條直線可以是l4故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心距與半徑關(guān)系得出位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙A的半徑為3，△ABC是邊長為4的等邊三角形，則直線BC與⊙A的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】在△ABC中過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD=12BC=2,再根據(jù)勾股定理可得AD【詳解】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D∵△ABC是邊長為4的等邊三角形∴BD=在Rt△ABDAD=∵2∴直線BC與⊙A的位置關(guān)系是相離，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題的關(guān)鍵是通過比較圓心到直線距離與圓半徑大小關(guān)系完成判定．考點(diǎn)7：直線與圓的位置關(guān)系——求半徑典例7：（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC=12．分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內(nèi)切，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（

）

A．12<r<4 B．52<r<6 C．【答案】C【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出OE=1【詳解】解：如圖所示，當(dāng)圓O與AD相切時，過點(diǎn)O作OE⊥AD，∵矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC=12．∴AD⊥CD，CD=AB=5，AD=BC=12，BD=A∴OE∴OE=1則r=OD+5

當(dāng)圓O與CD相切時，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，如圖所示，

則OF=則r=∴⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內(nèi)切時，9<r<25故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB=45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP=x，則x的取值范圍是（

）A．0<x≤2 B．?2≤x≤2 C．【答案】A【分析】根據(jù)題意，知直線和圓有公共點(diǎn)，則相切或相交．相切時，設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC．根據(jù)等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是2．所以x的取值范圍是0＜x≤2．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC，則圓的半徑OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA//∴∠OPC=45°，∴PC=OC=1，∴OP=2同理，原點(diǎn)左側(cè)的距離也是2，且線段是正數(shù)．所以x的取值范圍是0<x≤2【點(diǎn)睛】此題注意求出相切的時候的x值，即可分析出X的取值范圍．【變式2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（A．0≤r≤125 B．125≤r≤3【答案】C【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=13，再利用面積法計(jì)算出CD=125然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)【詳解】解：作CD⊥AB于D，如圖，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB∵∴CD∴以C為圓心、r為半徑作的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)時，r的取值范圍為12故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式3】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A．43 B．32 C．8【答案】B【分析】由題意得，△PBO是直角三角形，設(shè)OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根據(jù)勾股定理得，x2+2【詳解】解：由題意得，PA=1，PB=2，∠PBO=90°，∴△PBO是直角三角形，設(shè)OA=x，則OB=x，在Rt△PBO中，PO=x+1，根據(jù)勾股定理得，xx解得x=3則半徑OA的長為32故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．考點(diǎn)8：直線與圓的位置關(guān)系——求距離典例8：（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是(2,a)(a>2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為23，則a的值是（

A．23 B．2+22 C．2+2【答案】C【分析】過P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，相加即可．【詳解】解：過P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．∵PE⊥AB，AB=23∴AE=12AB=根據(jù)勾股定理得：PE=2∵點(diǎn)A在直線y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴ΔOCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2∵⊙P的圓心是(2,a)，∴a=PD+DC=2+2故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y=x與x軸的夾角是45°．【變式1】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，－2），⊙A的半徑為1，P為坐標(biāo)軸上一動點(diǎn)，PQ切⊙A于點(diǎn)Q，在所有P點(diǎn)中，使得PQ長最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）【答案】D【分析】連結(jié)AQ、AP，由切線的性質(zhì)可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=AP【詳解】連接AQ，AP.根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)AP⊥x軸時，AP最短，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(?3,0).故選D.【點(diǎn)睛】此題主要考查垂線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的位置關(guān)系.【變式2】（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線y=x+2相切時，圓心M的坐標(biāo)為（

A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分情況討論，分別為圓位于直線右側(cè)并與直線相切和位于直線左側(cè)并于直線相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)相切的性質(zhì)及等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解．【詳解】①當(dāng)圓位于直線右側(cè)并與直線相切時，連接MA，如下圖所示：∵y=x+2∴A(0,2)，B(?2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°∴AB=2∵r=2∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90°∴⊙M與直線AB相切于點(diǎn)A∵AO⊥BM∴OB=OM=2∴圓心M的坐標(biāo)為(2,0)；②當(dāng)圓位于直線左側(cè)并與直線相切時，過點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)C，如下圖所示：∵⊙M與直線AB相切，MC⊥AB∴MC=r=2根據(jù)直線AB的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45°∴△BCM是等腰直角三角形∴MB=∵B(?2,0)∴圓心M的坐標(biāo)為(?6,0)，綜上所述：圓心M的坐標(biāo)為(2,0)或(?6,0)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及動圓問題，熟練掌握相關(guān)幾何求解方法并進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·九年級單元測試）如圖，⊙C的圓心C的坐標(biāo)為1,1，半徑為1，直線l的表達(dá)式為y=?2x+6，P是直線l上的動點(diǎn)，Q是⊙C上的動點(diǎn)，則PQ的最小值是（）A．355?1 B．655?1【答案】A【分析】求出點(diǎn)C1,1到直線y=?2x+6的距離d即可求得PQ【詳解】解：過點(diǎn)C作CP⊥直線l，交圓C于Q點(diǎn)，此時PQ的值最小，連接BC、AC，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，∵y=?2x+6，∴A3,0，B∴OA=3，OB=6，∴AB=3∵四邊形OMCN是正方形，∴OM=ON=1，∴AM=3?1=2，BN=6?1=5，設(shè)PC=d，PB=m，則AP=35∵BN2+C∴52+1解得：d=3∵⊙C的半徑為1，∴PQ=3故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查與圓相關(guān)的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)．同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）已知⊙O的半徑為5cm，若點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)A（

）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系．【詳解】解：∵OA=3cm＜5cm，∴點(diǎn)A在⊙O內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點(diǎn)A在圓內(nèi)．2．（2022秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）⊙O的半徑為R，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，并且d≥R，則P點(diǎn)（

）A．在⊙O內(nèi)或⊙O上 B．在⊙O外C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上【答案】D【分析】根據(jù)⊙O的半徑為R和點(diǎn)P到圓心O的距離為d之間的關(guān)系，對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵d≥R，∴點(diǎn)P在⊙O上或點(diǎn)P在⊙O外．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．解題關(guān)鍵是熟記點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與圓的半徑和點(diǎn)到圓心的距離的關(guān)系．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l與⊙O有交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．d＝r B．d≤r C．d≥r D．d＜r【答案】B【分析】根據(jù)直線l與⊙O有交點(diǎn)，則可知直線和圓相切或相交．【詳解】解：∵直線l與⊙O有交點(diǎn)，∴直線與圓相交或相切，∴d≤r．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,熟悉直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑為2cm，若點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)P（A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系．【詳解】解：∵OP=3cm＞2cm，∴點(diǎn)P在⊙O外．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點(diǎn)P在圓外．5．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為3cm，⊙O所在平面上有一點(diǎn)P.若PO＝3.5cm，則點(diǎn)P在()A．⊙O內(nèi) B．⊙O上C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】C【分析】半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)，依此可得答案．【詳解】由題意，得d=3，r=2．∵d＞r，∴點(diǎn)P在⊙O外，故選C．【點(diǎn)睛】考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．6．（2022秋·廣西南寧·九年級南寧十四中校聯(lián)考期中）已知⊙O的半徑為4，OA=5，則點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．圓不經(jīng)過點(diǎn)A【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4，OA=5，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有點(diǎn)P在圓外?d>r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r．7．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．動點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)O從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個動點(diǎn)也隨時停止．設(shè)運(yùn)動時間為t（s），以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的⊙O與BA交于另一點(diǎn)E，連接ED．當(dāng)直線DE與⊙O相切時，t的取值是（）A．169 B．32 C．43【答案】A【分析】如圖，作AF⊥BC于F，利用等腰三角形的性質(zhì)得BF=CF=4,利用切線的判定方法，當(dāng)BE⊥DE,直線DE與⊙O相切，則∠BED=90°,然后利用cos∠B=BFAB=45,可得cos【詳解】由題意可知0＜t≤4，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，則BF＝CF＝4cm，∴cos∠B＝BFAB當(dāng)直線DE與⊙O相切時，DE⊥AB，則cos∠B=BEBD即2t8?2t=4故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）當(dāng)一個三角形的內(nèi)心與外心重合時，這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)心和外心的概念，三角形的內(nèi)心是三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，外心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；再根據(jù)等邊三角形中三線合一性質(zhì)，所以一個三角形的外心與內(nèi)心恰好重合，這個三角形是等邊三角形．【詳解】解：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，一個三角形的外心與內(nèi)心恰好重合，這個三角形是等邊三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心、外心的相關(guān)知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）下列命題中，假命題是（

）A．在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半B．等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心【答案】C【分析】根據(jù)30°的直角三角形性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷A正確，不符合題意；根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)判斷B正確，不符合題意；根據(jù)等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形判斷C錯誤，符合題意；根據(jù)三角形外心的定義判斷D正確，不符合題意．【詳解】解：A．根據(jù)30°的直角三角形性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，所以A選項(xiàng)正確，不符合題意；B．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以B選項(xiàng)正確，不符合題意；C．根據(jù)等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，所以C選項(xiàng)錯誤，符合題意；D．根據(jù)外心定義：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心，所以D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．10．（2022秋·九年級課時練習(xí)）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半徑長為1的⊙B和直線AC的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【詳解】過B作BD⊥AC交CA的延長線于D,∵∠BAC=150,∴∠DAB=30°,∴BD=12即B到直線AC的距離等于⊙B的半徑,∴半徑長為1的⊙B和直線AC的位置關(guān)系是相切,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,過B作BD⊥AC交CA的延長線于D,求出BD和⊙B的半徑比較即可,主要考查學(xué)生的推理能力.二、填空題11．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，⊙O的直徑為2cm，點(diǎn)P到圓心O的距離是3cm，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是．【答案】圓外【分析】根據(jù)比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小可得答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P到圓心O的距離的距離為d，半徑為r，由題意可得：d=3，r=1，則d>r，∴則點(diǎn)P在⊙O的外部．故答案為：圓外．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確地認(rèn)識圓是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┮阎袿的半徑為4cm，OP=2cm，則點(diǎn)P在⊙O【答案】內(nèi)【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，則點(diǎn)在園內(nèi)；點(diǎn)到圓心的距離等于圓心的半徑，則點(diǎn)在圓上；點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，則點(diǎn)在圓外．【詳解】解：∵OP=2<4，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，故答案為：內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，熟悉點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷是關(guān)鍵．13．（2022秋·九年級課時練習(xí)）經(jīng)過一點(diǎn)P可以作個圓；經(jīng)過兩點(diǎn)P、Q可以作個圓，圓心在上；經(jīng)過不在同一直線上的三個點(diǎn)可以作個圓，圓心是的交點(diǎn)．【答案】無數(shù)，無數(shù)，線段PQ的垂直平分線，一個，三邊中垂線.【詳解】試題分析：經(jīng)過一點(diǎn)P可以作無數(shù)個圓；經(jīng)過兩點(diǎn)P、Q可以作無數(shù)個圓，圓心在線段PQ的垂直平分線上；經(jīng)過不在同一直線上的三個點(diǎn)可以作一個個圓，圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)．14．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙壷楹Ｊ械诰胖袑W(xué)?？计谥校┤簟裀的半徑為5，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是．【答案】點(diǎn)O在⊙P上【分析】由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：由勾股定理，得OP＝(?3)2d＝r＝5，故點(diǎn)O在⊙P上．故答案為點(diǎn)O在⊙P上.【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解題關(guān)鍵在于要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．15．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學(xué)階段練習(xí)）已知⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)A在⊙O外，OA=d，則d的長度范圍是．【答案】d>6【分析】根據(jù)點(diǎn)A在圓外?d＞r．進(jìn)行判斷．【詳解】∵⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在⊙O外，∴OA＞6，即d＞6．故答案為d＞6．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．16．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，斜邊AB=10，直角邊AC=8，以C為圓心,r為半徑，若要使⊙C與邊AB只有一個公共點(diǎn)，則r的取值范圍是.【答案】r=4.8或6＜r≤8【詳解】如圖，∵斜邊AB=10，直角邊AC=8，∴BC=102當(dāng)圓和斜邊相切時,則半徑即是斜邊上的高,r=CD=6×810當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個交點(diǎn)在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6<r?8.故答案為r=4.8或6<r?8.點(diǎn)睛：本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，在解答此題時要注意分兩種情況討論，不要漏解.三、解答題17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當(dāng)r取什么值時，點(diǎn)A在⊙C外？（2）當(dāng)r取什么值時，點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外．【答案】（1）r<3時，點(diǎn)A在⊙C外；（2）3<r<4時，點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A在圓外，則點(diǎn)A到圓心C的距離大于半徑r，從而可得r的取值；（2）根據(jù)點(diǎn)A在圓內(nèi)，則點(diǎn)A到圓心C的距離小于半徑r，根據(jù)點(diǎn)B在圓外，則點(diǎn)B到圓心C的距離大于半徑r，兩者結(jié)合起來即可得到r的取值范圍．【詳解】（1）點(diǎn)A在⊙C外，則AC>r，即r<3即當(dāng)r<3時，點(diǎn)A在⊙C外；（2）點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，則AC<r，即r>3；點(diǎn)B在⊙C外，則BC>r，即r<4，綜合起來，當(dāng)3<r<4時，點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握它是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，⊙O的半