數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)事件和概率

第二章隨機(jī)事件和概率

第一講隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件（一）隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象，亦稱為不確定現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的。如拋硬幣的現(xiàn)象，一種新藥的療效試驗(yàn)，未來(lái)天氣預(yù)測(cè)，考試之前的成績(jī)預(yù)測(cè)等等。雖然隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別觀察或試驗(yàn)中其結(jié)果存在不確定性，但是通過(guò)大量重復(fù)觀察或試驗(yàn)，就不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)果具有一定的規(guī)律性（稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性），概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。

（二）隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究總是通過(guò)試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行的（這種試驗(yàn)是具有廣泛含義的術(shù)語(yǔ)，因此我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察也稱為試驗(yàn)）。具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行（重復(fù)性）；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果事先是明確已知的，且不止一個(gè)（多樣性）；（3）在進(jìn)行試驗(yàn)之前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)（不確定性）。如：觀察拋一枚均勻骰子出現(xiàn)的點(diǎn)子數(shù)，觀察拋三次均勻的硬幣出現(xiàn)正面或反面向上的次數(shù)等。

（三）隨機(jī)事件

1．基本事件一次隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果都稱為基本事件（或樣本點(diǎn)），記為

。

一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，記為

。

2．復(fù)合事件由幾個(gè)基本事件組成的集合稱為復(fù)合事件。

3．隨機(jī)事件基本事件和復(fù)合事件都稱為隨機(jī)事件，一般用大寫(xiě)字母A、B、C、D等表示。

4．必然事件在一次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件稱為必然事件，記為

，顯然，樣本空間就是必然事件。

5．不可能事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為

。

注：必然事件和不可能事件不具有不確定性，但為了方便，仍視為特殊的隨機(jī)事件。例：考察隨機(jī)試驗(yàn)：“拋一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)子數(shù)”，可設(shè)ｉ＝｛拋一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為ｉ｝，則該試驗(yàn)共有6個(gè)基本事件：｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝，｛6｝，其樣本空間為：

＝｛1，2，3，4，5，6｝。

出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)可表示為：

A＝｛1，3，5｝。出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可表示為：

B＝｛2，4，6｝。

｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6點(diǎn)｝的事件是必然事件，｛出現(xiàn)場(chǎng)7點(diǎn)｝的事件是不可能事件。二、隨機(jī)事件間的關(guān)系和運(yùn)算

（一）事件間的關(guān)系

1．包含與相等

◆如果事件A發(fā)生則事件B一定發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為B

A或A

B。例：拋一枚骰子，記A＝｛3｝，B＝｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝則A

B，又記A＝｛某人活到50歲｝，

B＝｛該人活到60歲｝，則B

A?！魧?duì)任一事件A皆有

A

◆如果A

B

且A

B，則稱A與B相等，記為

A＝B

V圖：

BAABBAA∪BBAA∩BA與B互不相容BAAA的對(duì)立事件BAB-A

2．事件的和（或并）稱事件“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”為A與B的和，記為A+B（或A∪B）。

V圖：推廣：稱事件中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為事件的并，記為

3．事件的積（或交）稱事件“A與B都發(fā)生”為事件A與B的積（或交），記為AB（或A∩B）。簡(jiǎn)記為

推廣：稱事件“都發(fā)生”為事件的積（或交），記為

如拋一枚骰子，記A＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)≤3｝，

B＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則

A＋B＝｛1，2，3，4，6｝，

AB＝｛2｝

4．事件的差稱事件“B發(fā)生A不發(fā)生”為B與A的差，記為

B－A，它由屬于B而不屬于A的所有基本事件組成的集合。

V圖：例：拋一枚骰子，記A＝｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)>3｝，

B＝｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝，則A－B＝｛4，6｝，

B－A＝｛1，3｝。

5．事件的互不相容如果A和B不能同時(shí)發(fā)生，稱A與B互不相容。即A與B沒(méi)有共同的基本事件，亦即AB=

。

V圖：

例：拋一枚骰子，記A＝｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)>3｝，

B＝｛1，2｝，則A與B互不相容。

6．對(duì)立事件稱事件“A不發(fā)生”為A的對(duì)立事件（或逆事件），記為，它由樣本空間中所有不屬于A的基本事件所組成。

由此可以看出,Ａ與互為對(duì)立事件，而在一次試驗(yàn)中它們中必有且只有一個(gè)發(fā)生。即有：

Ａ＋

＝

Ａ＝

，

V圖：因此又有

（二）事件的運(yùn)算規(guī)律（1）交換律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋ＡＡＢ＝ＢＡ（2）結(jié)合律

Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋ＣＡ（ＢＣ）＝（ＡＢ）Ｃ（3）分配律（Ａ＋Ｂ）Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣＡ＋（ＢＣ）＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ＋Ｃ）

（4）對(duì)偶律

先求“對(duì)立”，再求“積”，最后求“和”、“差”，遇有括號(hào)，先算括號(hào)事件運(yùn)算順序：例：某種新藥依次用于三名患者的治療，A、B、C分別表示第一，第二，第三人服用該藥有效，試用A、B、C三個(gè)事件表示下列事件：

三、古典概率◆概率的描述性定義事件A發(fā)生的概率是指事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性的大小的數(shù)值度量，用Ｐ（A）表示?！艄诺涓判停ㄓ邢薜瓤赡芨判停┚哂邢铝袃蓚€(gè)特點(diǎn)：（１）試驗(yàn)的可能結(jié)果即基本事件總數(shù)是有限的；（２）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型（有限等可能概型）。

◆古典概率的定義（計(jì)算公式）

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)是古典概型，其樣本空間的基本事件總數(shù)為ｎ，若事件Ａ由其中的ｍ個(gè)基本事件組成，則事件Ａ發(fā)生的概率是

◆概率的基本性質(zhì)（公理化性質(zhì)）（１）非負(fù)性：對(duì)任一事件Ａ，有Ｐ（Ａ）≥０（２）規(guī)范性：對(duì)于必然事件，有Ｐ（）＝１對(duì)于不可能事件

，有Ｐ（

）＝０（３）可列可加性：若Ａ１，．．．，

Ａｎ，．．．是兩兩互不相容的事件，則有Ｐ（Ａ１＋Ａ２＋…＋Ａｎ＋…）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ）＋…

例：箱中裝有七件藥品，其中有三件不合格，從中任取三件來(lái)檢驗(yàn)，試求下列事件的概率：（１）Ａ＝“三件中有一件不格”；（２）Ｂ＝“三件中至少有一件不合格”解：從七件藥品中任取三件這一試驗(yàn)的基本事件（每一種選法為一個(gè)基本事件，每種選法是等可能的）總數(shù)為（１）對(duì)于事件Ａ，其所含的基本事件數(shù)即所的三件中有兩件次品的取法有

（２）對(duì)于事件Ｂ，其所含的基本事件數(shù)即三件中至少有一件次品的取法有

例：某城市的電話號(hào)碼由０,１,２,３,４,５,６,７,８,９這１０個(gè)數(shù)字中的任意８?jìng)€(gè)數(shù)字組成,試求下列事件出現(xiàn)的概率：（１）Ａ＝“數(shù)字各不相同的電話號(hào)碼”；（２）Ｂ＝“不含２和７的電話號(hào)碼”；（３）Ｃ＝“５恰好出現(xiàn)兩次的電話號(hào)碼”。解：一種號(hào)碼可視為一個(gè)基本事件，則從１０個(gè)數(shù)字中可重復(fù)任選８?jìng)€(gè)數(shù)字組成８位數(shù)號(hào)碼的基本事件總數(shù)為

（１）對(duì)事件Ａ，所包含的電話號(hào)碼數(shù)為（２）對(duì)于事件Ｂ，由于不含２和７，故Ｂ包含的基本事件數(shù)為

（３）對(duì)于事件Ｃ，首先從８?jìng)€(gè)位置中任選２個(gè)位置安排５，共有種選法，其余６位數(shù)有９６種選法，因此事件Ｃ包含的基本事件數(shù)為四、幾何概率◆古典概率的前提條件是試驗(yàn)的可能結(jié)果數(shù)有限。如果隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果有無(wú)限多個(gè)時(shí)，又如何解決某事件Ａ發(fā)生的概率呢？幾何概型就是解決這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型?！魩缀胃判途哂幸韵聝蓚€(gè)特點(diǎn)：（１）試驗(yàn)的樣本空間對(duì)應(yīng)于一個(gè)測(cè)度有限的幾何區(qū)域Ｓ，對(duì)試驗(yàn)中的任一事件Ａ必有Ｓ內(nèi)的某子區(qū)域Ｇ與其對(duì)應(yīng)；（２）每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，即任一事件發(fā)生的概率只與其對(duì)應(yīng)區(qū)域Ｇ的測(cè)度在區(qū)域Ｓ的測(cè)度中所占比例有關(guān)，而與Ｇ的形狀無(wú)關(guān)的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為幾何概型?！魩缀胃怕实亩x（計(jì)算公式）設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域Ｓ的測(cè)度為（S）,事件Ａ對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域Ｇ的測(cè)度為（G），則定義事件Ａ發(fā)生的概率為解；設(shè)ｘ、ｙ為所取的真分式，其可能取值為０≤ｘ≤１；０≤ｙ≤１，設(shè)立直角坐標(biāo)系（見(jiàn)下頁(yè)）：則點(diǎn)（x,y）的樣本空間對(duì)應(yīng)于圖中面積為1的正方形區(qū)域Ｓ，且其測(cè)度（S）＝1,記事件Ａ＝｛(x,y)|xy≤2/9;x+y≤1｝,事件Ａ發(fā)生的充要條件是x,y滿足要求０≤x,y≤1;x+y≤1;xy≤2/9。Ａ對(duì)應(yīng)于圖中區(qū)域Ｇ（陰影部分），其測(cè)度

ｙ１Ｇ１

例：某碼頭只能停泊一艘船，現(xiàn)有甲，乙兩船都將在２４小時(shí)內(nèi)到達(dá)該碼頭，如果甲，乙兩船的停留時(shí)間分別為４小時(shí)和３小時(shí)，試求有一艘船需要等待碼頭空出的概率。解：以ｘ，ｙ分別表示甲，乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻，由于兩船到達(dá)時(shí)刻的隨機(jī)性，故（ｘ，ｙ）在其樣本空間：

＝｛（ｘ，ｙ）｜０≤ｘ，ｙ≤２４｝內(nèi)隨機(jī)、等可能取點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的區(qū)域Ｓ的測(cè)度為（Ｓ）＝２４×２４＝５７６

事件Ａ＝｛其中有一艘船需要等待碼頭空出｝發(fā)生的充要條件是：

０≤ｘ，ｙ≤24，ｘ－ｙ＜3，ｙ－ｘ＜4。事件Ａ對(duì)應(yīng)于圖中陰影區(qū)域Ｇ，Ｇ的測(cè)度為

（G）＝242－202÷2－212÷2＝155.5，所以

24Gｘｙ０2434x-y=3y-x=4求解幾何概率問(wèn)題一般步驟：（１）審察問(wèn)題是否符合幾何概型的特點(diǎn)；（２）確定樣本空間和相應(yīng)的事件Ａ，確定Ａ和對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域Ｇ和Ｓ；（３）求出測(cè)度（Ｇ）和（Ｓ），它們可能是平面上線段的長(zhǎng)度、平面上平面區(qū)域的面積、三維空間的立體的體積、液體的容積、物體的重量等等；（４）求出事件Ａ的概率。五、統(tǒng)計(jì)概率◆頻率的定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行ｎ次試驗(yàn)，事件Ａ出現(xiàn)ｍＡ次，則稱為事件Ａ在ｎ次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。注意：頻率是一個(gè)變數(shù)，不可與古典概率混淆（是定數(shù)）◆頻率的穩(wěn)定性雖然事件的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的頻率卻具有一定的穩(wěn)定性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率將隨著試驗(yàn)次數(shù)ｎ增多而逐漸穩(wěn)定地趨于某個(gè)固定的常數(shù)ｐ。這就是頻率的穩(wěn)定性。

（請(qǐng)看教材的有關(guān)擲硬幣的試驗(yàn)資料）◆概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行ｎ次試驗(yàn)，當(dāng)ｎ很大時(shí)，事件Ａ出現(xiàn)的頻率

穩(wěn)定地在某一常數(shù)值ｐ附近波動(dòng)，且當(dāng)ｎ越大時(shí)幅度越小，逐漸趨于穩(wěn)定。則稱該常數(shù)ｐ為事件Ａ在一次試驗(yàn)中發(fā)生的統(tǒng)計(jì)概率。且有常用于概率不易求出的概率計(jì)算。

例:國(guó)家《新藥審批法》規(guī)定，新藥臨床試驗(yàn)一般不得少于３００例，并設(shè)對(duì)照組。如果某種新在３５０例臨床試驗(yàn)中有２７８例例有效，則該新藥的有效率是于是可以認(rèn)為該新藥的有效率為０．７９４。

例：從某魚(yú)塘中隨機(jī)?。保埃皸l魚(yú)，做上記號(hào)后放回，現(xiàn)又從該魚(yú)塘中隨機(jī)?。担皸l魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中有兩條有記號(hào)，問(wèn)該魚(yú)塘中大約有多少條魚(yú)？

◆主觀概率現(xiàn)實(shí)生活中，某事件發(fā)生的概率計(jì)算，因不滿足古典概率、幾何概率和統(tǒng)計(jì)概率的試驗(yàn)的特點(diǎn)，如某種新藥上市能夠暢銷的概率有多大？又如你認(rèn)為吃了感冒藥在三天內(nèi)感冒能治好的概率有多大？不能用前述的概率計(jì)算，而只能根據(jù)自己或別人的經(jīng)驗(yàn)和掌握的姿料，對(duì)某事件發(fā)生的可能性大小加以主觀估計(jì)，用以確定該事件發(fā)生的概率。此稱種概率為主觀概率。

作業(yè)：１．Ｐ５８4572.

隨機(jī)地向半圓0<y<

內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在該半圓內(nèi)任一處的可能性相同,試求該點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與X軸的夾角小于?

的概率。

第二章第二講

一、概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則

1．（互不相容事件）加法公式如果事件A與B互不相容，即AB=

，則Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）一般：如果事件A1、A2、…、An互不相容，即

AiAj=，ij則有

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

證明：取An+1=An+2=…=，由公理化性質(zhì)(3)

直接得結(jié)論。

2．對(duì)立事件公式

3.（事件之差）減法公式（1）對(duì)任一事件A、B，有

P（A－B）＝P（A）－P（AB）（2）特別：當(dāng)B

A時(shí),有

P（A－B）＝P（A）－P（B）且P（A）≥P（B）證明：（1）∵

A＝（A－B）＋AB，且（A－B）∩（AB）＝，由性質(zhì)1

知P（A）＝P（

（A－B）＋AB）＝P（A－B）＋P（AB）∴

P（A－B）＝P（A）－P（AB）

AB

A+BAB

A-B=A-ABABB-A=B-ABBAA-BAB=B

（2）當(dāng)BA時(shí)，

AB=B，故

P（A－B）＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（B）

由公理性質(zhì)1，P（A－B）

0，得P（A）P（B）

4．一般加法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A、B，有

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）證明:∵A＋B＝A＋（B－A）＝A＋（B－AB）且A∩（B－A）＝，ABB∴由性質(zhì)1和性質(zhì)3（2），知

P（A＋B）＝P（A）＋P（B－AB）＝P（A）＋P（B）－P（AB）。

◆利用事件的運(yùn)算規(guī)律和以上性質(zhì)可以得到：

對(duì)于任意三個(gè)事件A、B、C,有

P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（AC）－P（BC）

＋P（ABC）

例:已知P（A）＝0.3，

P（A＋B）＝0.6，試分別就（1）A與B互不相容時(shí)；（2）A

B時(shí)；（3）P（AB）＝0.1時(shí)，求P（B）。

解:（1）∵

A與B互不相容，∴P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

P（B）＝P（A＋B）－P（A）＝0.6－0.3＝0.3

（2）∵A

B,∴A＋B＝B，故P（B）＝P（A＋B）＝0.6

（3）由

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），得P（B）＝P（A＋B）＋P（AB）－P（A）＝0.6＋0.1－0.3＝0.4

例：

設(shè)有事件A、B，已知

P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，問(wèn)：（1）在什么條件下P（AB）取到最大值？最大值是多少？（2）在什么條件下P（AB）取到最小值？最小值是多少？

解：∵P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）∴P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A＋B），故有（1）當(dāng)A

B時(shí)，P（AB）有最大值，且

P（AB）＝P（A）＝0.6（A＋B＝B）

（2）∵P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，∴不可能AB＝，只有A＋B＝時(shí)，P（AB）有最小值，且

P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A＋B）＝0.6＋0.7－1＝0.3二、條件概率和事件的獨(dú)立性

（一）條件概率條件概率是概率論中的一個(gè)十分重要而有用的概率，它討論的是事件B在事件A已發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。在此種情況下需要確定事件A的發(fā)生是否真的影響了事件B發(fā)生的概率？例：某藥檢所從送檢的10件藥品中先后抽檢了2件，如果10件中有3件次品，試求：（1）第一次檢得次品的概率；（2）兩次都檢得次品的概率；（3）在第一次檢得次品后，第二次檢得次品的概率?！舳x對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，如果

P（A）＞0

則稱為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率，記為P（B／A）。用V圖說(shuō)明：

ABABA發(fā)生P(A)P(AB)

（二）乘法公式◆乘法公式對(duì)于任意兩個(gè)事件A、B，若P（B）＞0，則

P（AB）＝P（B）P（A/B）同樣，若P（A）＞0，則

P（AB）＝P（A）P（B/A）利用事件運(yùn)算的結(jié)合律可將此公式推廣到個(gè)事件A1、A2、…、An，當(dāng)P（A1A2…An-1）＞0時(shí),有

P(A1A2…An)=P(Ａ1）Ｐ（A2/A1）P（A3/A1A2）

…P(An/A1A2…An-1)

例：設(shè)有12件藥品，其中有4件次品?，F(xiàn)從中先后各抽取一件進(jìn)行檢查，試求兩次都取得次品的概率。

解：記A＝{第一次抽到次品}，

B＝{第二次抽到次品}

∵P（A）＝4/12，P（B/A）＝3/11∴P（AB）＝P（A）P（B/A）＝4/12×3/11＝1/11

如果改為有放回地抽樣，則有

P（A）＝4/12，P（B/A）＝4/12，

P（B）＝4/12

即P（B）＝P（B／A）且P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（A）P（B）＝4/12×4/12＝1/9

此時(shí)，事件B發(fā)生的概率P（B）沒(méi)有受到A是否發(fā)生的影響，由此引出事件獨(dú)立性的概念。

例：設(shè)某地區(qū)位于河流甲、乙的交匯處，而任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即被淹沒(méi)。已知某時(shí)期河流甲、乙泛濫的概率分別為0.2和0.3，又當(dāng)甲泛濫會(huì)引起乙泛濫的概率為0.4，求：（1）當(dāng)河流乙泛濫時(shí)引起甲泛濫的概率；（2）該時(shí)期內(nèi)該地區(qū)被淹沒(méi)的概率。

解:記A＝｛河流甲泛濫｝,

B＝｛河流乙泛濫｝由題意知

P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，P（B／A）＝0.4，∴P（AB）＝P（A）P（B／A）＝0.2×0.4＝0.08

（1）P（A／B）＝P（AB）／P（B）＝0.08／0.3＝0.0267

（2）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.2＋0.3－0.08＝0.42

（三）事件的獨(dú)立性◆定義對(duì)于任意兩個(gè)事件A、B，如果滿足

P（AB）＝P（A）P（B）則稱事件A與B是相互獨(dú)立的?！穸ɡ恚ㄒ彩抢}）（1）若P（A）＞0（或P（B）＞0），則A與B相互獨(dú)立?

P（B）＝P（B/A）或P（A）＝P（A/B）；

例:設(shè)Ａ、Ｂ、Ｃ為隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且Ｐ（B／A）＝0.4，試在以下兩種情況下求Ｐ（A＋B）。（1）已知Ｐ（C）＝2P（A）＝0.6，

P（B＋C）＝0.72，且Ｂ與Ｃ相互獨(dú)立；

解：（１）Ｐ（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）由Ｂ，C的獨(dú)立性及Ｐ（B＋C）＝0.72，又Ｐ（B＋C）＝P（B）＋P（C）－P（BC）＝P（B）＋P（C）－P（B）P（C）＝P（B）（1－P（C））＋P（C）＝P（B）（1－0.6）＋0.6＝0.72∴P（B）＝0.3在概率論中存不少容易混淆的概念，如事件的互不相容性和相互獨(dú)立性就是易混的一對(duì)概念，它們的區(qū)別是：（１）內(nèi)涵不同，“互不相容”是指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，此時(shí)，一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率有決定的影響；而“相互獨(dú)立”則指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率不會(huì)產(chǎn)生影響。（２）應(yīng)用場(chǎng)合不同，“互不相容性”常用于概率的有限可加的運(yùn)算，而“相互獨(dú)立性”常用于簡(jiǎn)化乘法公式的運(yùn)算。（３）在一定條件下，它們不能共存（見(jiàn)５９頁(yè)１２題）。

◆ｎ個(gè)事件的相互獨(dú)立性若ｎ個(gè)事件A1、A2、…、An中任意ｋ（2≤ｋ≤ｎ）個(gè)事件的積的概率等于這ｋ個(gè)事件的概率的積，則稱這ｎ個(gè)事件相互獨(dú)立。如事件A、B、C相互獨(dú)立

Ｐ（AB）＝P（A）P（B）

P（AC）＝P（A）P（C）

P（BC）＝P（B）P（C）

P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）。顯然，ｎ個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任意m（2≤m≤n）個(gè)事件也相互獨(dú)立。

注意：如果ｎ個(gè)事件Ａ1、A2、…、An相互獨(dú)立，則有Ｐ（Ａ1A2

…An）

=P（Ａ1）P（A2)）…P（An）。反之，則未必成立。

第二章第三講

一、全概率公式和貝葉斯公式（一）全概率公式全概率公式是加法公式和乘法公式的一種組合，主要用于較為復(fù)雜的事件的概率的計(jì)算。方法是將較為復(fù)雜的事件分解為若干個(gè)互不相容的較為簡(jiǎn)單的事件，再利用互不相容事件之和的加法公式即可。◆完備事件組●定理（全概率公式）

例：設(shè)一醫(yī)院藥房中的某種藥品是由三個(gè)不同的藥廠生產(chǎn)的，其中一廠、二廠、三廠生產(chǎn)的藥品分別占１/４、１/４、１/２。已知一廠、二廠、三廠生產(chǎn)的藥品次品率分別為７％，５％，４％?，F(xiàn)從中任取一藥品，試求該藥品是次品的概率。

解：令Ａ＝｛該藥品是次品｝（顯然Ａ是一復(fù)雜事件），Ｂｉ＝｛藥品是由ｉ廠生產(chǎn)的｝（ｉ＝１、２、３），顯然它們構(gòu)成一完備事件組，且事件Ａ只能與其中之一事件同時(shí)發(fā)生。故用全概率公式計(jì)算。

例：設(shè)人群中有37.5％的人是Ａ型血，20.9％的人是Ｂ型，33.7％的人是Ｏ型，7.9％的人是ＡＢ型，已知允許輸血的血型配對(duì)如下表（√：允許輸血，×：不允許輸血）：Ａ型Ｂ型ＡＢ型Ｏ型輸血者受血者

Ａ型Ｂ型ＡＢ型Ｏ型√×√√

×√√