結(jié)構(gòu)力學(xué)：影響線

結(jié)構(gòu)力學(xué)：影響線8-1影響線的概念一、移動(dòng)荷載

例如：吊車在吊車梁上運(yùn)行時(shí)，其輪壓對(duì)吊車梁而言是移動(dòng)荷載。又如汽車、火車在橋梁上行駛時(shí)，其輪壓對(duì)橋梁來說也是移動(dòng)荷載。

荷載的大小、方向一定，但荷載位置連續(xù)變化的荷載就稱為移動(dòng)荷載。

汽車或火車輪壓產(chǎn)生的移動(dòng)荷載的特點(diǎn)是：一組豎向集中力（可包括均布荷載），各集中力的大小、方向固定，相互間的位置也固定，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)。

在移動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)任意截面的內(nèi)力（M

、

Q

、

N）和位移（△、θ）及支座反力均隨移動(dòng)荷載在結(jié)構(gòu)上的位置變化而變化。P1P2P3P4a1a3a2ba4q

結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下，主要討論下述問題：

(1)對(duì)于給定截面C，其位移或內(nèi)力（例如Mc）當(dāng)給定的移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)得到最大值？該問題是求移動(dòng)荷載的最不利位置問題。(2)對(duì)于給定的移動(dòng)荷載組，簡(jiǎn)支梁AB上哪個(gè)截面的彎矩當(dāng)移動(dòng)荷載在什么位置時(shí)取得最大值？該問題是簡(jiǎn)支梁絕對(duì)最大彎矩的求解問題。

此外，還要討論簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖的畫法等問題。

為求解以上問題，首先要討論結(jié)構(gòu)影響線的求解。實(shí)際移動(dòng)荷載是由若干集中力及均布荷載組成的，而且每個(gè)集中力的大小也不同。但我們首先要討論的是具有共性的問題，即單個(gè)移動(dòng)荷載P=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的變化規(guī)律。P=1xBAlRA

現(xiàn)討論下圖所示簡(jiǎn)支梁，當(dāng)單個(gè)荷載P=1在梁上移動(dòng)時(shí)，支座A的反力RA的變化規(guī)律。

由上式可見，RA與P成正比，比例系數(shù)稱為RA的影響系數(shù)，用表示，即：

在影響線圖形中，橫坐標(biāo)x表示單位移動(dòng)荷載在梁上的位置；縱坐標(biāo)y表示當(dāng)單位荷載在該位置時(shí)，影響系數(shù)的大小。

上式是反力影響系數(shù)與移動(dòng)荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)圖形就稱為反力

RA的影響線，見下圖。xyRA影響線1yBP1AP2

若梁上作用有固定荷載（見下圖），則根據(jù)疊加原理，A支座的反力RA為：

xyy1y2RA影響線1

當(dāng)單位集中移動(dòng)荷載P=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，表示結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z變化規(guī)律的曲線，稱為Z的影響線。量值Z可以是截面內(nèi)力或位移，也可以是支座反力。影響系數(shù)是Z與P的比例系數(shù)，即：二、

影響線定義

與Z的量綱不同，它們相差一個(gè)荷載P的量綱。一、簡(jiǎn)支梁的影響線（1）支座反力影響線8-2靜力法作靜定單跨梁影響線P=1xBAlRARA影響線RB影響線（2）彎矩和剪力影響線當(dāng)P=1在AC段，取CB段作隔離體：bBC11當(dāng)P=1在CB段，取AC段作隔離體：aCAMC影響線

ab截面C彎矩和剪力影響線如下圖示。QC影響線

llal二、伸臂梁的影響線

作伸臂梁的影響線時(shí)，先畫出簡(jiǎn)支梁的影響線，然后延伸至懸臂段。（1）支座反力影響線RA及RB的影響線如右圖示。xP=1ACablBddEDllRA影響線

RB影響線當(dāng)P=1在DC段時(shí)，取CE段作隔離體(圖a)：（2）C截面彎矩及剪力影響線

當(dāng)P=1在CE段時(shí)，取DC段作隔離體(圖b)：dADaCbBCdEa)b)MC影響線QC影響線

MC及QC影響線如下圖示：（3）作QA右及A左截面內(nèi)力影響線

先作QA右影響線。QA右影響線如下圖示。當(dāng)P=1在DA段，取AE段作隔離體（圖a)：當(dāng)P=1在AE段，取DA段作隔離體（圖b)：A右dDb)lBdEa)A右QA右影響線容易求得QA左及MA左影響線見下圖。小結(jié)：

伸臂梁簡(jiǎn)支段AB某截面彎矩和剪力的影響線在AB段與簡(jiǎn)支梁相同，伸臂段圖形則是簡(jiǎn)支段圖形的延伸。d1MA左影響線QA左影響線l

如圖簡(jiǎn)支梁AB，荷載P=1在上部縱梁上移動(dòng)，縱梁支在橫梁上，橫梁由主梁支承。求主梁AB某截面內(nèi)力Z的影響線。P=1ACDKxB

由下面的證明可以得出結(jié)論：在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，主梁截面K某內(nèi)力Z的影響線在相鄰結(jié)點(diǎn)之間是一條直線。下面以MK為例加以證明。8-3結(jié)點(diǎn)荷載作用下梁的影響線MK影響線（直接荷載）AKBa)ydycCD證明：(1)在直接移動(dòng)荷載作用下，MK的影響線已經(jīng)畫出。當(dāng)P=1在截面C或D時(shí)，可得（見圖a)

）(2)在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，當(dāng)移動(dòng)荷載P=1作用在C﹑D截面之間時(shí)，根據(jù)疊加原理可得（圖b)：dCDKP=1b)

可見，是的一次函數(shù)，也是x的一次函數(shù)。所以，MK影響線在結(jié)點(diǎn)C、D之間是一直線。MK影響線（結(jié)點(diǎn)荷載）ACKDBycydc)結(jié)點(diǎn)荷載作用下

MK影響線如下圖c)所示：作結(jié)點(diǎn)荷載下影響線的步驟為：(1)作截面K的某量值Z在直接移動(dòng)荷載下的影響線，并確定與各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。(2)確定與各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)，在兩結(jié)點(diǎn)之間連以直線，就得到結(jié)點(diǎn)荷載作用下的影響線。

在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，

QK影響線如下圖所示：QK影響線ACKDB

平面桁架只承受結(jié)點(diǎn)荷載，單位移動(dòng)荷載P=1通過縱梁﹑橫梁（橫梁放置在結(jié)點(diǎn)上）系統(tǒng)傳給桁架結(jié)點(diǎn)，如同前面討論的簡(jiǎn)支梁受結(jié)點(diǎn)荷載的情況一樣。因此，桁架任一桿的軸力影響線在兩結(jié)點(diǎn)之間是一直線。求桁架桿件軸力的影響線時(shí)，把單位移動(dòng)荷載P=1依次作用在各結(jié)點(diǎn)上，用結(jié)點(diǎn)法或截面法求出桿件的軸力即可。8-4靜力法作桁架的影響線例8-1

作圖示桁架N1﹑N2的影響線。解：(1）支座反力RA﹑RB的影響線與跨度為5d的簡(jiǎn)支梁相同。P=1AEFP=121BCD5dIIh(2)

求N1的影響線（上承）

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)C左側(cè)，取截面II以右為隔離體：

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)D右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：ABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hN1影響線（上承）6d/5h

相應(yīng)簡(jiǎn)支梁F截面的彎矩。求N1的影響線（下承）

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)E左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)F右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：ABEF6d/5hN1影響線（下承）2d/h3d/h

相應(yīng)簡(jiǎn)支梁F截面的彎矩。（3)

求N2的影響線（上承）

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)C左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)D右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：——相應(yīng)簡(jiǎn)支梁節(jié)間CD的剪力。hd/2ABCDN2影響線(上承)hd/2求N2的影響線（下承）

當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)E左側(cè)，取截面I-I以右為隔離體：當(dāng)P=1在結(jié)點(diǎn)F右側(cè)，取截面I-I以左為隔離體：——相應(yīng)簡(jiǎn)支梁節(jié)間EF的剪力。ABEFN2影響線（下承）hd/28-5機(jī)動(dòng)法作靜定梁的影響線

機(jī)動(dòng)法作靜定結(jié)構(gòu)影響線是應(yīng)用虛功原理把求影響線的靜力平衡問題轉(zhuǎn)化為作剛體位移圖的幾何問題。對(duì)于單跨或多跨梁，由于剛體位移圖很容易確定，所以影響線的求解十分簡(jiǎn)捷。

P=1xl/4l/4lAB機(jī)動(dòng)法作影響線的原理和步驟（1）撤去與相應(yīng)的約束，代之以反力，原結(jié)構(gòu)變成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)。

（2）令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使與Z方向一致，則虛功方程為：上式中，恒為正；與P同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)。乘積的正負(fù)號(hào)由的正負(fù)號(hào)調(diào)整。P=1xAB可見，在圖中，令，并將圖反號(hào)，就求得Z的影響線，并且能確定影響線的正負(fù)號(hào)及豎標(biāo)大小。（3）

由上式可得:令得到AB1RB影響線用機(jī)動(dòng)法求下圖所示伸臂梁MC及QC的影響線。例8-2P=1ABC2ddddx解：（1）

作MC的影響線

將C截面變?yōu)殂q結(jié)，暴露出彎矩；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角與同向，就得到圖，見下頁圖。

虛功方程為:

ABC令則

上式表明，在圖中，令并反號(hào)，就可求得MC影響線。MC影響線（2）作QC的影響線

將C截面改為滑動(dòng)連結(jié)，暴露出剪力；令該機(jī)構(gòu)產(chǎn)生剛體位移，使C左、右截面位移方向與相同，就得到圖，見下頁圖。虛功方程為:

令則ABC

上式表明，在圖中，令并反號(hào)，就可求得QC影響線。QC影響線例8-3

用機(jī)動(dòng)法作圖示靜定多跨梁的影響線。xP=1ABCDl/2l/2l/2l/2RA影響線ABD解：QB左影響線ACDBMB影響線DACBxP=1ABCDl/2l/2l/2l/2QB右影響線ADBC8-6影響線的應(yīng)用一、求各種固定荷載作用下的影響

若已求得指定截面某量值Z的影響線，根據(jù)疊加原理，就可以求得固定荷載作用下該量值Z的大小。

右圖示梁截面C彎矩MC的影響線已求出，求固定荷載作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影響線C一組集中荷載：均布荷載：CBqC0.5m2m20kN15kN10kNMC影響線3m1mA1m1mB0.250.750.375C

把單個(gè)集中移動(dòng)荷載放在影響線的最大或最小豎標(biāo)位置，就得到最不利荷載位置，進(jìn)而求得Zmax或Zmin

。二、最不利荷載位置

使結(jié)構(gòu)指定截面的某量值Z達(dá)到最大值Zmax或最小值Zmin時(shí)實(shí)際移動(dòng)荷載的位置，稱為最不利荷載位置。（1）單個(gè)集中移動(dòng)荷載

對(duì)于剪力QC影響線，將集中力P放在截面C，見右圖，就得到：ABb/la/lQC影響線C

對(duì)于伸臂梁的MC影響線（見下圖），將FP分別放在截面C和E，就得到：（2）可任意布置的均布活荷載

可任意布置的均布活荷載通常指人群荷載。在影響線正號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmax；在影響線負(fù)號(hào)部分布滿均布活載，可以求得Zmin。ADBymaxyminMC影響線CEq求(MC)

max求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影響線CE（3）一組移動(dòng)集中荷載

一組移動(dòng)集中荷載：各集中力的大小、方向及相互間的距離均保持不變，作為整體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)。為了確定最不利荷載位置，原則上使排列密集、數(shù)值較大的集中力放在影響線豎標(biāo)較大的部位，而且一定有一個(gè)集中力位于影響線的某個(gè)頂點(diǎn)上。為確定最不利荷載位置，通常分兩步：①求出使Z達(dá)到極值的荷載位置。這種荷載位置稱為荷載的臨界位置，而且可能不止一個(gè)。②從Z的極大值中選出最大值，從Z的極小值中選出最小值，從而確定最不利荷載位置。下面以多邊形影響線為例，說明臨界荷載位置的特點(diǎn)及其判定方法。P1P2R1P3P4R2P5P6R3ΔxxΔxΔx

因?yàn)槭莤的一次函數(shù)，所以Z也是x的一次函數(shù)。若荷載右移動(dòng)Δx，則豎標(biāo)的增量為：則Z的增量為：

在影響線圖中，α1>0，α2>0，α3<0。

由上面影響線圖可得出:

因?yàn)閆是x的一次函數(shù)，所以Z-x圖形是折線圖形。于是ΔZ/Δx是折線圖形中各折線段的斜率。對(duì)于折線圖形，極值發(fā)生在使ΔZ/Δx變號(hào)的尖點(diǎn)處。xZ+-+00-極大值點(diǎn)xZ-+-00+極小值點(diǎn)

若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極大值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。

若移動(dòng)荷載組在某位置剛好使Z取得極小值，則：當(dāng)Δx>0，即荷載稍向右移，。當(dāng)Δx<0，即荷載稍向左移，。

總之，當(dāng)荷載在Z的極值點(diǎn)位置稍向左、右移動(dòng)時(shí)，必須變號(hào)。如何使變號(hào)？是常數(shù)，可以變化的只是Ri。為了使Ri變化，必須有一個(gè)集中力位于影響線的頂點(diǎn)，此荷載記作Rcr，當(dāng)Rcr位于影響線的頂點(diǎn)以左或以右時(shí)，會(huì)引起Ri發(fā)生變化，如下圖示。P1P2R1PcrP4P5R2P1P2R1RcrP4P5R2

當(dāng)移動(dòng)荷載組左右移動(dòng)時(shí)，能使改變符號(hào)的荷載Pcr稱為臨界荷載，相應(yīng)的移動(dòng)荷載組的位置稱為臨界位置。

在給定的移動(dòng)荷載組中，能使變號(hào)的臨界荷載可能不止一個(gè)。確定最不利荷載位置的步驟如下：（1)

選定一個(gè)集中力作為Pcr，使它位于影響線的一個(gè)頂點(diǎn)上；（2）當(dāng)Pcr稍作左右移動(dòng)時(shí)，分別計(jì)算的值。若變號(hào)，則此Pcr即為一臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。用同樣的方法可以確定其它的Pcr及相應(yīng)的荷載臨界位置。（3)

對(duì)于每個(gè)荷載臨界位置求出相應(yīng)的Z值，比較各個(gè)Z值，可確定Zmax及Zmin，進(jìn)而確定相應(yīng)的最不利荷載位置。例8-4

如下圖多邊形影響線及移動(dòng)荷載組，試求荷載最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m，P1=P2=P3=P4=P5=90kN。P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m30mZ的影響線6m4m8mα1α310.75α21）將P4放在影響線的最大點(diǎn)，移動(dòng)荷載組的位置如下圖示。2）計(jì)算。解：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向右移，各段荷載合力為：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α2若荷載稍向左移，各段荷載合力為：Z的影響線P1P2P3P4P5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/8

因?yàn)樽兲?hào)，故P4為臨界荷載，相應(yīng)的荷載位置為臨界位置。3）計(jì)算Z值

容易確定只有P4是臨界荷載，所以相應(yīng)的荷載位置就是最不利荷載位置。

對(duì)于三角