大學(xué)物理：機(jī)械振動(dòng)

物體在一定位置附近做往返運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)（Vibration）物理量在某一量值附近做周期性的變化都可以稱為振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)定義機(jī)械振動(dòng)大學(xué)物理§7-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)(HarmonicVibration)一、彈簧振子（SpringOscillator

）二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征FxOkmx小幅振動(dòng)滿足胡克定律，勁度系數(shù)

物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱為線性回復(fù)力。

令微分方程的解運(yùn)動(dòng)方程固有角頻率固有周期

，T決定于振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度稱為“速度幅”稱為“加速度幅”xtoA-ATvtovm-vmatoam-amxtoA-AT四、描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量A

—振幅(amplitude)離開平衡位置的最大位移

—

角頻率

（或稱圓頻率）(angularfrequency)在2π秒時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)

—

初相

(initialphase)反映初始時(shí)刻振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

周期T

完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間頻率

1秒內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)頻率與周期(frequency&period)振動(dòng)的特征決定于相（相位）：用“相位”描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用“相位”來(lái)比較兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的“步調(diào)”如何確定初相和振幅？A，

決定于初始條件(t=0)多值函數(shù)，由速度方向決定取舍相位差同頻率（ω1＝ω2）的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其相位差等于它們的初相位差，即：同相反相2超前1判別簡(jiǎn)諧振動(dòng)的依據(jù)1、運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為，其中

A

、

和

是常數(shù)。2、作用力的形式為，k

為正常系數(shù)。3、動(dòng)力學(xué)方程可寫成，為正的常系數(shù)，其平方根即為角頻率。彈簧振子、單擺的小幅振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的小幅振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)yxP五、旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量的模為A

t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與x

軸的夾角

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為

矢量端點(diǎn)在x

軸上的投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量的某一位置對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)此法求相位和初相特別方便yxP例質(zhì)點(diǎn)沿x

軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)

t=0時(shí),

位移為6cm，且向x

軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：振動(dòng)表達(dá)式。

t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。質(zhì)點(diǎn)從x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：1.設(shè)位移表達(dá)式為已知A=0.12m,T=2s，初始條件t=0時(shí)，

x0=0.06m,v0>0m振動(dòng)表達(dá)式為

由初始條件用解析法求初相

由

v0>0決定取舍m由初始條件用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相

當(dāng)t=0時(shí),

位移為6cm，且向x

軸正方向運(yùn)動(dòng)OxAA/2

2.t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度下面的計(jì)算進(jìn)入程序化yx3.質(zhì)點(diǎn)從x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。

x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間例

兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在x1=A/2處，向

x

軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在x2=0處，向x

軸正方向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)1超前質(zhì)點(diǎn)2且相差小于2p。求這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差。解Ox質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)Ol

mgT單擺(simplependulum)小幅振動(dòng)，§7-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量v振子動(dòng)能振子勢(shì)能xoEpEktxtE孤立諧振子的機(jī)械能守恒經(jīng)典諧振子的總能量與振幅的平方成正比簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能和動(dòng)能的平均值，皆等于總能量的一半例

當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：當(dāng)時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半?！?-3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成(superposition)一、同頻率同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成聲源1聲源2PP

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是兩個(gè)同方向振動(dòng)的合成x若兩個(gè)x

方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率都是

同方向且同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)x

合振動(dòng)的振幅與初相相互加強(qiáng)與相互減弱1、若兩振動(dòng)同相2、若兩振動(dòng)反相合振幅最大合振幅最小例兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線（如圖所示）

1、求合振動(dòng)的振幅。

2、求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解xTt兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同方向，同頻率

=2π/T，反相合振動(dòng)振幅合振動(dòng)初相xo合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式例

兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為，求：1、第二個(gè)振動(dòng)的振幅；2、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差。解：二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率分別、合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)

2

1合振幅隨時(shí)間變化xo拍(beat),拍頻(beatfrequency)

2

1拍

——合振動(dòng)的振幅周期性變化的現(xiàn)象拍頻

——合振動(dòng)的振幅變化的頻率1秒內(nèi)，轉(zhuǎn)圈，而轉(zhuǎn)圈，兩者同相或反向的次數(shù)，故拍頻為設(shè)，且頻率相近xo合振動(dòng)表達(dá)式設(shè)兩振動(dòng)振幅相等，初相相同若頻率差很小，可看成振幅隨時(shí)間緩慢變化的近似諧振動(dòng)合振動(dòng)的波形圖三、振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

yx對(duì)應(yīng)不同相位差的合運(yùn)動(dòng)軌跡合運(yùn)動(dòng)具有穩(wěn)定封閉的軌跡李薩如圖形(Lissajou’sPattern)三、振動(dòng)方向相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

（振動(dòng)1在x方向，振動(dòng)2在y方向）§7-4阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振一、阻尼振動(dòng)（DampingVibration）Ox令：固有頻率阻尼因子則：共有三種不同形式的解：阻尼振蕩過(guò)阻尼臨界振蕩二、受迫振動(dòng)（ForceVibration）系統(tǒng)受周期性外力的作用Ox驅(qū)動(dòng)力三、共振（Resonance）A無(wú)阻尼小阻尼共振:當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率接近或等于固有頻率時(shí)，振幅A取極大值，產(chǎn)生共振。§7-5振動(dòng)的分解與頻譜分析任一角頻率為w的周期振動(dòng)x(t)，可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的和，這些振動(dòng)的角頻率分別為w和w的整數(shù)倍！其