專題08解直角三角形的應(yīng)用（解答題22題）

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編專題08解直角三角形的應(yīng)用（解答題22題）一．解答題（共15小題）1．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時的速度前往救援，問巡邏艇能否在1小時內(nèi)到達漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【分析】由已知可得△ABC中∠C＝67°，∠B＝37°且AB＝20海里．要求BC的長，可以過A作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的長，就可轉(zhuǎn)化為運用三角函數(shù)解直角三角形．【解答】解：過點A作AH⊥BC，垂足為點H．由題意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sinB＝，∴AH＝AB?sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cosB＝，∴BH＝AB?cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝，∴CH＝≈5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡邏艇能在1小時內(nèi)到達漁船C處．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．2．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進．如圖4，這小區(qū)原地下車庫的入口處有斜坡AC長為13米，它的坡度為i＝1：2.4，AB⊥BC，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為17°，即∠ADC＝17°（此時點B、C、D在同一直線上）．求斜坡改進后的起點D與原起點C的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【分析】根據(jù)坡度的概念，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求解，然后根據(jù)余切的定義列出算式，求出DC．【解答】解：由題意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈4.1（米），答：斜坡改進后的起點D與原起點C的距離為4.1米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時出發(fā)前往救援．計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向1000米處．（1）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）（2）救援船的平均速度為180米/分，快艇的平均速度為320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請說明理由．（接送游客上下船的時間忽略不計）【分析】（1）延長CB到點D，使CD⊥AD于D，設(shè)BD＝x，則AB＝2x，，CD＝900+x，在Rt△ACD中，，即可求出x＝450，根據(jù)Rt△ACD中，即可求出湖岸A與碼頭C的距離；（2）設(shè)快艇將游客送上救援船時間為t分鐘，根據(jù)等量關(guān)系式：救援船行駛的路程+快艇行駛的路程＝BC+AC，列出方程，求出時間t，再和5分鐘進行比較即可求解．【解答】解：（1）延長CB到點D，使CD⊥AD于D，由題易知：，CD＝AD，，BD＝AD，∴（米），∴AD＝500，∴AC＝2AD＝1000≈1732（米），則1800t+320?（t﹣）＝1732，500t＝2732，解得：，∴6min內(nèi)可以將該游客送上救援船．【點評】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，一元一次方程應(yīng)用中的行程問題、含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系等知識點，找到等量關(guān)系式，構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在距某輸電鐵塔GH（GH垂直地面）的底部點H左側(cè)水平距離45米的點B處有一個山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底點B到坡頂A的距離AB等于30米，在坡頂A處測得鐵塔頂點G的仰角為30°（鐵塔GH與山坡AB在同一平面內(nèi)）．（1）求山坡的高度；（2）求鐵塔的高度GH．（結(jié)果保留根號）【分析】（1）過點A作AD⊥HB，交HB的延長線于點D，由坡度的定義計算出BD與AD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出AD即可得到答案；（2）過點A作AE⊥GH于點H，則四邊形ADHE是矩形，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，過點A作AD⊥HB，交HB的延長線于點D，∴∠ADB＝90°，∵山坡AB的坡度，AB＝30米，∴，；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝15米，∴山坡的高度為15米；（2）過點A作AE⊥GH于點H，則四邊形ADHE是矩形，由題意可知：∠GAE＝30°，BH＝45米，∵米，∴米，在Rt△AGE中，，∴米，又∵EH＝AD＝15米，∴米，答：鐵塔的高度GH為米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，掌握銳角三角函數(shù)、坡度的意義是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?靜安區(qū)期末）有一把長為6米的梯子AB，將它的上端A靠著墻面，下端B放在地面上，梯子與地面所成的角記為α，地面與墻面互相垂直（如圖1所示）．一般滿足50°≤α≤75°時，人才能安全地使用這架梯子．（1）當梯子底端B距離墻面2.5米時，求α的度數(shù)（結(jié)果取整數(shù)），此時人是否能安全地使用這架梯子？（2）當人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端A離開地面最高時，梯子開始下滑，如果梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點處停止，梯子底端B也隨之向后平移到地面上的點E處（如圖2所示），此時人是否能安全使用這架梯子？請說明理由．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度數(shù)，即可解決問題；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解決問題．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此時人能安全地使用這架梯子；（2）此時人不能安全使用這架梯子，理由如下：梯子頂端A離開地面最高時，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB?sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子頂端A沿著墻面下滑1.5米到墻面上的D點，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此時人不能安全使用這架梯子．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是由銳角的三角函數(shù)定義求出梯子與地面的夾角．6．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1：2，斜坡AB的長為6米，車庫的高度為AH（AH⊥BC），為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°（圖中的∠ACB＝14°）．（1）求車庫的高度AH；（2）求點B與點C之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01）【分析】（1）利用坡度為i＝1：2，得出AH：BH＝1：2，進而利用勾股定理求出AH的長；（2）利用tan14°＝，求出BC的長即可．【解答】解：（1）由題意可得：AH：BH＝1：2，設(shè)AH＝x，則BH＝2x，故x2+（2x）2＝（6）2，解得：x＝6，答：車庫的高度AH為6m；（2）∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，∴CH＝BC+BH＝BC+12，在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝，∴0.25＝，解得：BC＝12，答：點B與點C之間的距離是12m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，坡度坡角問題，注意：坡度等于坡角的正切值．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）某地一居民的窗戶朝南．窗戶的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為α，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為β．若你是一名設(shè)計師，請你為教學(xué)樓的窗戶設(shè)計一個直角形遮陽蓬BCD，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．根據(jù)測量測得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同時滿足下面兩個條件：（1）當太陽光與地面的夾角是α?xí)r，太陽光剛好射入室內(nèi)．（2）當太陽光與地面的夾角是β時，太陽光剛好不射入室內(nèi)．請你求出直角形遮陽蓬BCD中CD的長、CD離地面的高度．【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相應(yīng)的三角函數(shù)用BC分別表示出CD、AC長，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC長，進而求得CD長．【解答】解：設(shè)BC＝x米，∵∠α＝30°，∠β＝60°，∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，∴CD＝，∴＝x，解得x＝，∴CD＝（米），CD離地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．答：直角形遮陽蓬BCD中CD的長為米，CD離地面的高度3.05米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，在解直角三角形的題目中，應(yīng)先找到和所求線段相關(guān)的線段所在的直角三角形，然后確定利用什么形式的三角函數(shù)，最后解直角三角形即可求出結(jié)果．此題還需注意太陽光線是平行的．8．（2022秋?浦東新區(qū)期末）某地一段長為50米的混泥土堤壩，堤壩的橫斷面ABCD是等腰梯形（如圖所示），壩頂AD寬為8米，壩高為4米，斜坡AB的坡度為1：1.5．（1）求橫斷面ABCD的面積；（2）為了提高堤壩的防洪能力，現(xiàn)需將原堤壩按斜坡AB的坡度豎直加高1米，求加高堤壩需要多少立方米的混泥土？（堤壩的體積＝橫斷面的面積×堤壩的長度）【分析】（1）作分別過A，D作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，可得四邊形AEFD為矩形，得到EF＝AD，根據(jù)AB的坡度可求得BE的長，證得Rt△ABE≌Rt△DCF可得到CF的長，根據(jù)梯形的面積公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)堤壩的上下底不變，高AE增加1米，求出梯形ABCD的面積，即可求得增高后需要混泥土的土方數(shù)．【解答】解：（1）分別過A，D作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∵堤壩的橫斷面ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，AD∥BC，∴AE＝DF，AE⊥AD，∴四邊形AEFD是矩形，∴AD＝EF＝8米，∵AB的坡度為1：1.5，AE＝4米，∴＝，∴BE＝6米，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF＝6米，∴BC＝AE+EF+CF＝20米，∴橫斷面ABCD的面積＝（AD+BC）?AE＝（8+20）×4＝56（平方米）；（2）斜坡AB的坡度豎直加高1米，BC的長不變，橫斷面的高＝5，∴AD＝BC﹣2×1.5×5＝5，∴橫斷面ABCD的面積＝（AD+BC）?AE＝（5+20）×5＝（平方米），（﹣56）×50＝325（立方米）．答：加高堤壩需要325立方米的混泥土．【點評】本題考查了坡度坡角的求解，正確作出輔助線，根據(jù)坡度求出BE的長度是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?金山區(qū)校級期末）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛．如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測得樓CD的D處的仰角為30°（點A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．（1）填空：∠APD＝75度，∠ADC＝60度；（2）求樓CD的高度（結(jié)果保留根號）；（3）求此時無人機距離地面BC的高度．【分析】（1）由平角的性質(zhì)可得∠APD；過點A作AE⊥CD于點E．則∠DAE＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ADC．（2）由題意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，結(jié)合CD＝DE+EC可得出答案．（3）過點P作PG⊥BC于點G，交AE于點F，證明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝100米，再根據(jù)PG＝PF+FG可得出答案．【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．過點A作AE⊥CD于點E．則∠DAE＝30°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．故答案為：75；60．（2）由題意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，tan30°＝，解得DE＝，∴CD＝DE+EC＝（+10）米．∴樓CD的高度為（+10）米．（3）過點P作PG⊥BC于點G，交AE于點F，則∠PFA＝∠AED＝90°，F(xiàn)G＝AB＝10米，∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE，∵∠DAE＝∠30°，∴∠PAD＝30°，∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°，∴∠ADP＝∠APD，則AP＝AD，∴△APF≌△DAE（AAS），∴PF＝AE＝100米，∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．∴此時無人機距離地面BC的高度為110米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時03分，搭載天舟五號貨運飛船的長征七號遙六運載火箭，在海南文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射．天舟五號貨運飛船重約13.6噸，長度BD＝10.6米，貨物倉的直徑可達3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運飛船，堪稱“在職最強快遞小哥”．已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面A處測得飛船底部D處的仰角45°，頂部B處的仰角為53°，求此時觀測點A到發(fā)射塔CD的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根據(jù)題意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC，CD的長，最后根據(jù)BD＝10.6米，列出關(guān)于AC的方程，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，∴DC＝AC?tan45°＝AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝53°，∴BC＝AC?tan53°≈1.33AC，∵BD＝10.6米，∴BC﹣CD＝10.6，∴1.33AC﹣AC＝10.6，∴AC≈32.1米，∴此時觀測點A到發(fā)射塔CD的水平距離約為32.1米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地．已知B地位于A地的北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若要打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長（用進一法．結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【分析】過點B作BD⊥AC于點D，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD及CD的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：過點B作BD⊥AC于點D，∵B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB?sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB?cos67°＝520×＝200km．∵C地位于B地南偏東30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD?tan30°＝200×，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+116＝596（km）．答：A地到C地之間高鐵線路的長為596km．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，需要熟記銳角三角函數(shù)的定義．12．（2022秋?黃浦區(qū)期末）圭表（如圖1）是我國古代度量日影長度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標尺（稱為“圭”）．當正午的陽光照射在“表”上時，“表”的影子便會投射在“圭”上．我國古代很多地區(qū)通過觀察“表”在“圭”上的影子長度來測算二十四節(jié)氣，并以此作為指導(dǎo)農(nóng)事活動的重要依據(jù)．例如，我國古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最長）定為冬至；白晝最長的那一天（當日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即AB的長）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽高度角（即∠CBD）為35°34′，夏至正午太陽高度角（即∠CAD）為82°26′，請通過計算推測損壞的“表”原來的高度（即CD的長）約為多少米？（參考數(shù)據(jù)見表，結(jié)果精確到個位）αsinαcosαtanα35°34′0.580.810.7282°26′0.990.137.5（注：表中三角比的值是近似值）【分析】設(shè)CD＝x米，由∠CAD，∠CBD的正切定義表示出DA，BD的長，列出關(guān)于x的方程，即可解決問題．【解答】解：設(shè)CD＝x米，∵tan∠DAC＝，∴AD＝＝≈（米），∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝≈（米），∵DA+AB＝DB，∴+11.3＝，∴x＝9，答：損壞的“表”原來的高度（即CD的長）約為9米．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是由銳角的正切定義列出關(guān)于CD的方程．13．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，高壓電線桿AB垂直地面，測得電線桿AB的底部A到斜坡C的水平距離AC長為15.2米，落在斜坡上的電線桿的影長CD為5.2米，在D點處測得電線桿頂B的仰角為37°．已知斜坡CD的坡比i＝1：2.4，求該電線桿AB的高．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.6）【分析】過點D作DE垂直AC的延長線于點E，DF垂直AB于點F，根據(jù)斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，求出CE、DE的長度，然后求出AE和DF的長度，在△BDF中，求出BF的長度，即可求出AB的長度．【解答】解：過點D作DE垂直AC的延長線于點E，DF垂直AB于點F，則四邊形AEDF為矩形，AF＝DE，AE＝DF，∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，CD＝5.2米，∴設(shè)DE＝x，CE＝2.4x，CD＝＝2.6x＝5.2米，解得：x＝2，則DE＝AF＝2米，CE＝4.8米，∴AE＝DF＝AC+CE＝15.2+4.8＝20（米），在△BDF中，∵∠BDF＝37°，DF＝20米，sin37°＝0.6，∴cos37°＝＝0.8，∴BF＝DFtan37°＝DF＝20×＝15（米），∴AB＝AF+BF＝2+15＝17（米）．答：該電線桿AB的高為17米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度一般．14．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C處測得樓頂點B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為30°，DE與地面垂直，垂足為E，其中點A、C、E在同一直線上．（1）求DE的值；（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）設(shè)DE＝