第03講三角函數(shù)的應(yīng)用及利用三角函數(shù)測(cè)高九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）原卷版

第03講三角函數(shù)的應(yīng)用及利用三角函數(shù)測(cè)高目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問(wèn)題．

2.理解用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的有關(guān)概念；3.理解并解決實(shí)際問(wèn)題中轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．【知識(shí)拓展1】利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值計(jì)算：（1）；（2）．【即學(xué)即練1】已知∠A為銳角且sinA=，則4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。【即學(xué)即練2】.如圖，在中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．【即學(xué)即練3】求值：(1)；已知，求的值．【知識(shí)拓展2】求證同角三角函數(shù)關(guān)系式已知：，，，請(qǐng)你根據(jù)上式寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律________．【即學(xué)即練1】已知：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)等式：⑴；⑵（其中為任意銳角），則之間的關(guān)系式是：___________【即學(xué)即練2】.①sin2A+cos2A=________，②tanA?cotA=________．【知識(shí)拓展3】互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三個(gè)三角函數(shù)值．【即學(xué)即練1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值．【即學(xué)即練2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【知識(shí)拓展4】三角函數(shù)綜合如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)E.(1)求線段CD的長(zhǎng)；(2)求cos∠ABE的值．【即學(xué)即練1】如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距70nmile，若該漁船由西向東航行30nmile到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島C位于B的北偏東30°方向上；求該漁船此時(shí)與小島C之間的距離．【即學(xué)即練2】.如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A=60°，求BC的長(zhǎng)；（2）若sinA=，求AD的長(zhǎng)．（注意：本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào)）【即學(xué)即練3】.如圖，在中，.（1）利用尺規(guī)作線段的垂直平分線，垂足為，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若的周長(zhǎng)為，先化簡(jiǎn)，再求的值．知識(shí)點(diǎn)02利用三角函數(shù)測(cè)高解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫(xiě)成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

特別說(shuō)明：

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫(huà)出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問(wèn)題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來(lái)解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義)，然后正確畫(huà)出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【知識(shí)拓展5】直接求三角形的高數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組利用矩形建筑物ABED測(cè)量廣場(chǎng)燈塔CF的高，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔頂端C的仰角為28°，在點(diǎn)D處測(cè)得燈塔頂端C的仰角為45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求燈塔CF的高（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）【即學(xué)即練1】.如圖，為測(cè)量建筑物CD的高度，在點(diǎn)A測(cè)得建筑物頂部D點(diǎn)的仰角是，再向建筑物CD前進(jìn)30米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部D點(diǎn)的仰角為（A，B，C在同一直線上），求建筑物CD的高度．（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：）【即學(xué)即練2】.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用標(biāo)桿測(cè)量旗桿（AB）的高度：將一根5米高的標(biāo)桿（CD）豎在某一位置，有一名同學(xué)站在一處與標(biāo)桿、旗桿成一條直線，此時(shí)他看到標(biāo)桿頂端與旗桿頂端重合，另外一名同學(xué)測(cè)得站立的同學(xué)離標(biāo)桿3米，離旗桿30米．如果站立的同學(xué)的眼睛距地面（EF）1.6米，求旗桿的高度AB．【即學(xué)即練3】.“永定樓”是門(mén)頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了測(cè)量它高度的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．如圖，他們?cè)贏點(diǎn)測(cè)得頂端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到達(dá)B點(diǎn)后，在B點(diǎn)測(cè)得頂端D的仰角∠DBC=45°．求永定樓的高度CD．（結(jié)果保留根號(hào)）【知識(shí)拓展6】由兩個(gè)直角三角形求高在一次課外綜合實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量校園內(nèi)的一棵大樹(shù)的高度，他們分別在，兩處用高度為的測(cè)角儀（和）測(cè)得大樹(shù)頂部的仰角分別為30°，45°，兩人間的水平距離為，已知點(diǎn)，，，，，在同一豎直平面內(nèi)，且，求大樹(shù)的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）【即學(xué)即練1】.如圖①，在我國(guó)古建筑的大門(mén)上常常懸掛著巨大的匾額，圖②中的線段BC就是懸掛在墻壁AM上的某塊匾額的截面示意圖．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．從水平地面點(diǎn)D處看點(diǎn)C的仰角∠ADC＝45°，從點(diǎn)E處看點(diǎn)B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．（1）求點(diǎn)C到墻壁AM的距離；（2）求匾額懸掛的高度AB的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【即學(xué)即練2】.數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，同學(xué)們分組測(cè)量教學(xué)樓前國(guó)旗桿的高度．小明同學(xué)所在的組先設(shè)計(jì)了測(cè)量方案，然后開(kāi)始測(cè)量了．他們?nèi)M分成兩個(gè)測(cè)量隊(duì)，分別負(fù)責(zé)室內(nèi)測(cè)量和室外測(cè)量（如圖）．室內(nèi)測(cè)量組來(lái)到教室內(nèi)窗臺(tái)旁，在點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂部的仰角為45°，旗桿底部的俯角為60°．室外測(cè)量組測(cè)得的長(zhǎng)度為5米，求旗桿的高度．【即學(xué)即練3】.如圖，在坡角為20°的山坡上有一鐵塔AB、其正前方矗立著一大型廣告牌，當(dāng)陽(yáng)光與水平線成45°角時(shí)，測(cè)得鐵塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在廣告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均與水平面垂直，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求鐵塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【知識(shí)拓展7】由多個(gè)直角三角形求高小明想測(cè)量一棵樹(shù)的高度，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米，坡面上的影長(zhǎng)為4米，已知斜坡的坡角為30°，同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1米，垂直于地面旋轉(zhuǎn)的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，求樹(shù)的高度為多少米？【即學(xué)即練1】.如圖，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小亮要測(cè)量一樓房的高度，先在坡面D處測(cè)得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測(cè)得樓房頂部A的仰角為60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）．求樓房AB高度．（結(jié)果保留根式）【即學(xué)即練2】..如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明與同學(xué)們?cè)谏狡碌钠履_A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求廣告牌CD的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：tan53°≈，cos53°≈0.60）【即學(xué)即練3】.如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的點(diǎn)D處測(cè)得瀑布頂端A的仰角β為45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到達(dá)觀景臺(tái)C，在C處測(cè)得瀑布頂端A的仰角α為37°，若點(diǎn)B、D、E在同一水平線上．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）（1）觀景臺(tái)的高度CE為米（結(jié)果保留準(zhǔn)確值）；（2）求瀑布的落差A(yù)B（結(jié)果保留整數(shù)）．【知識(shí)拓展8】其他運(yùn)用2017年9月8日—10日，第六屆翼裝飛行世界錦標(biāo)賽在我市天門(mén)山風(fēng)景區(qū)隆重舉行，來(lái)自全球11個(gè)國(guó)家的16名選手參加了激烈的角逐.如圖，某選手從離水平地面1000米高的A點(diǎn)出發(fā)（AB=1000米），沿俯角為的方向直線飛行1400米到達(dá)D點(diǎn)，然后打開(kāi)降落傘沿俯角為的方向降落到地面上的C點(diǎn)，求該選手飛行的水平距離.【即學(xué)即練1】.如圖，從點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，觀測(cè)桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°，求該電線桿PQ的高度(精確到0.1m)．【即學(xué)即練2】.圖1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”，它從2007年1月開(kāi)始鑄造，共用銅噸，鐵噸，甚是偉岸壯觀．其側(cè)面示意圖如圖2所示．在處測(cè)得圣像頂?shù)难鼋菫?，在點(diǎn)處測(cè)得圣像頂?shù)难鼋菫椋阎邳c(diǎn)于點(diǎn)米，米，求圣像的高度．(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，)【即學(xué)即練3】.如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量樓的高度，在坡底處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿坡面上行了米（即米）到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)在處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫椋▍⒖紨?shù)據(jù)：，，）（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)；（2）求樓的高度．能力拓展能力拓展1.如圖，有一個(gè)晾衣架放置在水平地面上，在其示意圖中，支架OA、OB的長(zhǎng)均為108cm，支架OA與水平晾衣桿OC的夾角∠AOC為59°，求支架兩個(gè)著地點(diǎn)之間的距離AB．（結(jié)果精確到0.1cm）(參考數(shù)據(jù)：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66)．2.如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東65°方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東45°方向（點(diǎn)A、B、C在同一平面上），請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）3.某校學(xué)生去春游，在風(fēng)景區(qū)看到一棵漢柏樹(shù)，不知這棵漢柏樹(shù)有多高，下面是兩位同學(xué)的一段對(duì)話：小明：我站在此處看樹(shù)頂仰角為。小華：我站在此處看樹(shù)頂仰角為。小明：我們的身高都是1.6m.小華：我們相距20m。請(qǐng)你根據(jù)這兩位同學(xué)的對(duì)話，計(jì)算這棵漢柏樹(shù)的高度。（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到0.1）分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.水利部門(mén)為加強(qiáng)防汛工作，決定對(duì)某水庫(kù)大壩進(jìn)行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD．如圖所示，已知迎水坡面AB的長(zhǎng)為16米，∠B=60°，背水坡面CD的長(zhǎng)為米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長(zhǎng)為8米．（1）已知需加固的大壩長(zhǎng)為150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大壩背水坡面DE的坡度．2.如圖，在塔AB前的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)出看塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點(diǎn)向塔底走100米到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)出看塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔AB的高為（）A．50米 B．100米 C．米 D．米3.小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹(shù)夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差．如圖，他利用測(cè)角儀站在C處測(cè)得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到達(dá)D處，測(cè)得∠ADC=34°，求落差A(yù)B．（測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）題組B能力提升練1.某校有一露天舞臺(tái)，縱斷面如圖所示，AC垂直于地面，AB表示樓梯，AE為舞臺(tái)面，樓梯的坡角∠ABC=45°，坡長(zhǎng)AB=2m，為保障安全，學(xué)校決定對(duì)該樓梯進(jìn)行改造，降低坡度，擬修新樓梯AD，使∠ADC=30°．（1）求舞臺(tái)的高AC（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）在樓梯口B左側(cè)正前方距離舞臺(tái)底部C點(diǎn)3m處有一株大樹(shù)，修新樓梯AD時(shí)底端D是否會(huì)觸到大樹(shù)？并說(shuō)明理由．2.如圖，王強(qiáng)同學(xué)在甲樓樓頂A處測(cè)得對(duì)面乙樓樓頂D處的仰角為30°，在甲樓樓底B處測(cè)得乙樓樓頂D處的仰角為45°，已知甲樓高26米，求乙樓的高度．（≈1.7）3.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測(cè)量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測(cè)得古塔頂端點(diǎn)的仰角為，再沿著的方向后退20m至處，測(cè)得古塔頂端點(diǎn)的仰角為，求該古塔BD的高度(，結(jié)果保留一位小數(shù))．題組C培優(yōu)拔尖練1.某廠家新開(kāi)發(fā)一種摩托車(chē)如圖所示，它的大燈A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°，大燈A與地面距離1m．（1）該車(chē)大燈照亮地面的寬度BC約是多少？（2）