專題01 相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)(將線段分割的點(diǎn))作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點(diǎn)在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022·重慶九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，線段AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且ADAC=DFCG．（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若例3．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，矩形的頂點(diǎn)D、E在上，點(diǎn)F、G分別在、上，若，，且，則的長為________．例4.（2023·江蘇九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交邊于點(diǎn)．（1）求線段的長；（2）取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，延長線段交邊于點(diǎn)，求的值．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（

）A．5 B．6 C． D．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點(diǎn)D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．例3．（2023·上海市九年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，則當(dāng)S△ADE＝1時(shí)，四邊形DBCE的面積是．例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)O，，E為延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證；（2）若，求的長．例3.（2022·成都市九年級(jí)期中）如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的長；（2）求FG的長．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)2．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將平行四邊形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．13．（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知四邊形為矩形，點(diǎn)E在的延長線上，．連接，于點(diǎn)G．若交于點(diǎn)F，，則的長度是（

）

A． B． C．6 D．4．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，小明站在兩路燈之間的點(diǎn)處，兩路燈底部的距離，兩路燈的高度均為，小明身高，他在路燈下的影子，在路燈下的影子為，則．

5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點(diǎn)，且，若菱形的面積等于24，，則．

6．（2023春·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)校考期末）如圖，已知在中，，，是邊上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則．7．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點(diǎn)G，射線交于點(diǎn)N時(shí)，連接并延長交射線于點(diǎn)M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長．8．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）己知四邊形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)G．特例解析：

(1)如圖1，若四邊形是矩形，且，求證：；類比探究：(2)如圖2，若四邊形是平行四邊形，且，求證：．9．（2023春·廣東河源·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知梯形中，，又，．(1)對(duì)角線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試求的長．(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)移動(dòng)，速度為單位/分，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)移動(dòng)，速度為單位/分，又與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．猜想：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)和在運(yùn)動(dòng)過程中的任一時(shí)刻（分別不與，和，重合），始終有，請(qǐng)加以證明．(3)設(shè)梯形的面積為，試問，在（）題點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形的面積是否發(fā)生變化？如發(fā)生變化，請(qǐng)加以說明；如不發(fā)生變化，請(qǐng)求出它的面積（用的代數(shù)式表示）．

10．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)求的長；(3)若的面積為2，直接寫出四邊形的面積．

11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）問題背景：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)F，E，G分別在上，，，求證：嘗試應(yīng)用：如圖2，是的中線，點(diǎn)E在上，直線交于點(diǎn)G，直線交于點(diǎn)F，若，求的值．遷移拓展：如圖3，在等邊中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，若，，直接寫出的值．（用含m的式子表示）

12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為的正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），射線與射線交于點(diǎn)．(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)．若，求的長．13．（2022·上海市九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．14．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．15．（2022?重慶中考模擬）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；著不成立，請(qǐng)說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝