專題04 平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型（原卷版）

專題04平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（羊角模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·湖北·八年級(jí)校考期末）如圖，，，則為（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）補(bǔ)全下列證明過程：已知：如圖，求證：．證明：如圖，作射線，使，

（_______________）又（________________）（_________________）即∴（_________________）又（__________________）例3．（2023上·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，如果，求的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例4．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，平分，，已知，則度．例5．（2023上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，請(qǐng)通過度量、觀察、分析等手段，猜測(cè)圖1、圖2、圖3中之間的大小關(guān)系，用等式表示出來，再對(duì)圖3中的結(jié)論加以證明．

例6．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為直線上的一點(diǎn)．

(1)如圖1，點(diǎn)G在直線之間，且．直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；(2)如圖2，點(diǎn)G在同旁．直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；(3)如圖3，點(diǎn)G在同旁，的平分線與的平分線交于點(diǎn)H．用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)B在的邊的延長(zhǎng)線上，，若，，則的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°2．（2023下·云南昆明·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，則（）

A． B． C． D．3．（2023上·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖直線，，，則（

）

A． B． C． D．4．（2023上·云南昭通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，則與一定滿足的關(guān)系是（

）

A． B． C． D．6．（2023下·四川瀘州·七年級(jí)校考期末）如圖，在線段的延長(zhǎng)線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點(diǎn)，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023下·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則°．8．（2023下·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若，，則．

9．（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，，，則．

10．（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，若，，則的度數(shù)為．

11．（2023下·遼寧本溪·七年級(jí)統(tǒng)考期中）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，，則．以上結(jié)論正確的是．

12．（2023上·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，平分，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為．

13．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校考期中）如圖，已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．

14．（2023下·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，．若，試求的度數(shù)．

15．（2023下·上?！て吣昙?jí)校考期中）如圖，，，，求的度數(shù)．16．（2023下·河南周口·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）已知：如圖1，，求證：；（2）已知：如圖2，，試探求、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

17．（2023下·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）探究題：

(1)如圖，若，則，你能說明理由嗎？(2)若將點(diǎn)移至圖的位置，此時(shí)、、之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論．(3)若將點(diǎn)移至圖的位置，此時(shí)、、之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論．(4)在圖中，，與之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．18．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說明理由．19．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谀┮阎本€，直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，平分交于點(diǎn)H，．（本題不允許直接使用三角形內(nèi)角和定理）

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，交于點(diǎn)G，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P在上，平分，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，連接，若，求的度數(shù)．20．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線，，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接，后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，，與之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．(1)請(qǐng)直接寫出圖①到圖④各圖中的，與之間的關(guān)系嗎？(2)請(qǐng)從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．21．（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題原型】如圖①，，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，請(qǐng)說明，【問題遷移】如圖②，，點(diǎn)M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，請(qǐng)寫出、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，不需要證明