專題04 旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對角互補(bǔ)模型）（原卷版）

專題04旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對角互補(bǔ)模型）本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的三類全等模型（手拉手、半角、對角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。模型1.手拉手模型【模型解讀】將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點(diǎn)逆時針順序數(shù)的第一個頂點(diǎn)記為“左手”，第二個頂點(diǎn)記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。4）雙正方形形型條件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。例1．（2022·湖北武漢·八年級期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）例2．（2023·湖南·長沙市八年級階段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時，請直接寫出EC的長．例3．（2022·黑龍江·虎林市九年級期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．例4．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．例5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）邊長為4的正方形ABCD與邊長為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時，求α的值．模型2.半角模型【模型解讀】半角模型概念：過多邊形一個頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半思想方法：通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1．（2023·福建·龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長線上的動點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．例2．（2023·遼寧·沈陽八年級階段練習(xí)）定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM＝3，MN＝5，求BN的長；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)M，N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？（直接回答：“是”或“不是”）若是說明理由，當(dāng)AM＝2，MN＝4，則BN＝．例3．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的長．例4．（2023·綿陽市八年級期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．例5．（2023·重慶市二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型【模型解讀】對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．例2．（2022·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時，求線段的長；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：;例3．（2022秋·四川綿陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是過點(diǎn)的直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖(1)，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．例4．（2023四川宜賓八年級期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．例5．（2023湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．2．（2022·成都市·八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H，延長CE交AD于點(diǎn)M，連接FM，則下列結(jié)論：①點(diǎn)E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·廣東深圳·八年級期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長為______．4．（2023·吉林松原·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時，°；(2)當(dāng)時，°；(3)若，，，則OA的長為．5．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常會想到：把△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關(guān)系為____________；（2）類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．6．（2023.成都市八年級期中）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時，求線段的長；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：;7.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；8．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠OCF＝90°，…請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E時，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長線相交時，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長線相交時，請回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．9．（2023·四川內(nèi)江·九年級?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？請?jiān)趫D3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.10．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（分析：我們把繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．11．（2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)，且，，．當(dāng)點(diǎn)、分別在直線、上移動時，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長與等邊的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時，、、之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時的值是______．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)、分別在邊、的延長線上時，若，試用含、的代數(shù)式表示．12.（2023.山東八年級期中）綜合與實(shí)踐:（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．13．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知AD是等邊△ABC的高，AC=2，點(diǎn)O為直線AD上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接BO，將線段BO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段OE，連接CE、BE．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在線段AD上時，線段AO與CE的數(shù)量關(guān)系為，∠ACE的度數(shù)是．(2)問題探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在線段AD的延長線上時，(1)中結(jié)論是否還成立？請說明理由．(3)問題解決：當(dāng)∠AEC=30°時，求出線段BO的長14．（2023·重慶忠縣·九年級期末）已知等腰直角與有公共頂點(diǎn)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長；（2）如圖②，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，交于，交于．①猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；②參考圖③，若為的中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是多少（直接寫出結(jié)果）．15．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請?jiān)谌鐖D中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個全等三角形？16．（20