專題01 旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型）（解析版）

專題01旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型）本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的三類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。模型1.手拉手模型【模型解讀】將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。4）雙正方形形型條件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。例1．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上△ABC外一點(diǎn)，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出符合條件的圖形，并求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．備用圖【答案】(1)△BEF是等邊三角形(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)即可證明△BEF是等邊三角形；（2）由△EBF是等邊三角形，可得FB=EB，再證明∠FBA=∠EBC，又因?yàn)锳B=BC，所以可證明△FBA≌△EBC，進(jìn)而可得AF=CE；（3）當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上時(shí)，過(guò)B作BM⊥EF于M，再在Rt△BMD中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，∴EB=EF，∴△BEF是等邊三角形（2）∵等邊△ABC和△BEF∴BF=BE，AB=BC，∴即∠FBA=∠EBC∴△FBA≌△EBC（SAS）∴AF=CE（3）圖形如圖所示：過(guò)B作BM⊥EF于M，∵△BEF是等邊三角形∴，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴在Rt△BMD中，∵DE=2∴解得或（舍去）∴【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，利用手拉手模型構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·吉林·九年級(jí)期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，此時(shí)，成立．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．【答案】（1）補(bǔ)充圖形見(jiàn)解析；；（2），仍然成立，證明見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖的方法作圖，再根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)SAS證明得AD=BE，∠1=∠2，再根據(jù)∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，從而可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得，點(diǎn)D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=由勾股定理得，；（2），仍然成立.證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，，∴，又∵，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴.（3）①當(dāng)點(diǎn)D在AC上方時(shí)，如圖1所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴②當(dāng)點(diǎn)D在AC下方時(shí)，如圖2所示，同（2）可得∴AD=BE

同理可證在Rt△CDE中，∴DE=在Rt△ACB中，∴設(shè)AD=BE=x，在Rt△ABE中，∴解得,∴.所以,AD的值為或【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識(shí)，熟練解答本題的關(guān)鍵．例3．（2022·黑龍江·虎林市九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知得，連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論；（2）連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）CD2+DB2=2DF2證明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴∴連接CF，BE，如圖∵△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊AB的中點(diǎn)∴，即∴，又∴在和中∴∴，∴∴∵，∴CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2證明：連接CF、BE∵CF=BF，DF=EF又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB

∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90°在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2∵DE2=2DF2∴CD2+DB2=2DF2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．例4．（2023·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問(wèn)題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）=；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE∥BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△APB≌△AEC，再用勾股定理計(jì)算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEC是直角三角形，在簡(jiǎn)單計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，故答案為：=；（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；（3）如圖，將△APB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得△AEC，連接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，也是本題的難點(diǎn)．例5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）48；（3）【分析】（1）通過(guò)邊角邊判定三角形全等；（2）連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先證明，由勾股定理可得；（3）作于點(diǎn)，則，且，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）四邊形與為正方形，，，，，，在和中，(SAS)，（2）連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，在△和中，，，，，由勾股定理得，，，，，，，(3)作于點(diǎn)，如圖，△為等腰直角三角形，，且，在中，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形與三角形的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形與直角三角形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線求解．模型2.半角模型【模型解讀】半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長(zhǎng)=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；5）任意角度的半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1．（2023·福建·龍巖九年級(jí)期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時(shí)能夠證明，請(qǐng)你給出證明過(guò)程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點(diǎn)，分別是，延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)，分別是，延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①不成立，結(jié)論：；②，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）證明，可得出，則結(jié)論得證；（2）①將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至根據(jù)可證明，可得，則結(jié)論得證；②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，可得出，則結(jié)論得證；（3）求出，設(shè)，則，，在中，得出關(guān)于的方程，解出則可得解．【詳解】（1）證明：把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1，，，，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，；（2）①不成立，結(jié)論：；證明：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，，，，；②如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，，，，，，．即．故答案為：．（3）解：由（1）可知，正方形的邊長(zhǎng)為6，，．，，設(shè)，則，，在中，，，解得：．，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對(duì)稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．例3．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的長(zhǎng)．【答案】DE＝3﹣3．【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到，取CF的中點(diǎn)G，連接EF、EG，由AB＝AC、，可得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，結(jié)合可得出為等邊三角形，進(jìn)而得出為直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出的長(zhǎng)度以及證明全等找出，設(shè)，則，，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出以及的值；【詳解】解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到，取的中點(diǎn)G，連接，如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∵，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴為直角三角形，∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．設(shè)，則，在中，，＝x，∴，∴，∴，答：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·綿陽(yáng)市八年級(jí)期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】(1)；(2)成立，；(3)，見(jiàn)解析【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°可得△MDN是等邊三角形，得到Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，得到∠M1DN＝∠MDN＝60°，從而得到△MDN≌△M1DN（SAS），即可求證；（3）在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證得△MDN≌△M1DN，即可求證．【詳解】（1）解：BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案為：BM+NC＝MN；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；（3）NC?BM=MN，理由如下：證明：在CN上截取CM1＝BM，連接MN，DM1由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．例5．（2023·重慶市二模）回答問(wèn)題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見(jiàn)解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型【模型解讀】對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過(guò)分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由已知條件開(kāi)始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請(qǐng)幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分別為AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接AD，根據(jù)∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，從而可以證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可證明；（2）連接AD，同樣證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可證明．【詳解】解：（1）如圖所示，連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；故答案為：△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由如下：連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．例2．（2023·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，證明△BME≌△AMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，；（2）證明：，，，在和中，，；（3）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，則，，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)B，連接CB；過(guò)點(diǎn)C作，與MN交于點(diǎn)E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時(shí)，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____（直接寫(xiě)結(jié)果）；(4)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，直接寫(xiě)出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】(1)；(2)AE＝BD，BD﹣AB＝BC；(3)4；(4)BA+BD＝BC【分析】（1）由，，根據(jù)勾股定理可直接得出答案；（2）先證明△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形，即可得出答案；（3）先證明△ACE≌△DCB，CE＝BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到AB＝BD+BC，即可得出答案；（4）先證明△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可得出答案．【詳解】（1）解：連接AD，設(shè)AC＝a，則DC＝a，∴AD＝，即AD是AC的倍，故答案為：．（2）如圖1，設(shè)AC與BD交于O，由題可知，∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°＝∠ACD，∵∠AOB＝∠DOC，∴∠BAC＝∠CDB，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE＝BC，∵BE＝AE﹣AB＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝BC；故答案為：AE＝BD；BD﹣AB＝BC；（3）解：如圖2，設(shè)CD與MN交于O，由題可知，∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°＝∠ACD，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠BAC＝∠CDB，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴BE＝BC，∵BE＝AB﹣AE＝AB﹣BD，∴AB=BD+BC，∵BD＝2，BC＝，∴AB＝BD+BC＝4，故答案為：4．（4）∴∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠DCB，∠CEB+∠CBE＝90°，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°，∴∠CBE+∠CBD＝90°，∴∠CEB＝∠CBD，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴BE＝BC，∵BE＝AE+BA＝BD+BA，∴BA+BD＝BC，故答案為：BA+BD＝BC．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例4．（2023四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OD+OE=；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE=2OH，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性質(zhì)求得OH=,CH=從而求得三角形面積，使問(wèn)題得到解決．【詳解】解：（1）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴(2)由（1）得△CDG≌△CEH∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH設(shè)OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC2∴∴(舍負(fù))∴OH=∴OD+OE=2OH=（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH∵,∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問(wèn)題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.例5．（2023湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.【詳解】(1)∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證，故①正確；證明是等邊三角形，故②說(shuō)法正確；由勾股定理的逆定理可證得，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)，有，故，③說(shuō)法正確；由直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，可得，④說(shuō)法錯(cuò)誤；將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過(guò)A作AE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)判斷④的方法，判斷⑤說(shuō)法正確．【詳解】解：∵將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，故可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，①說(shuō)法正確，符合題意；如圖1，連接∵，，∴是等邊三角形，∵，∴．故點(diǎn)O與O′的距離為4，②說(shuō)法正確，符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵．故③說(shuō)法正確，符合題意；如圖2，過(guò)作于點(diǎn)，∵是等邊三角形，，，∴，∴．∵，，，∴．∵，，，∴．∴．故④說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過(guò)A作AE⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴是等邊三角形．∵，∴易求．∵是等邊三角形，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴．∴．∵，，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故⑤說(shuō)法正確，符合題意；綜上，正確的說(shuō)法有①②③⑤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形判定，等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·成都市·八年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)M，連接FM，則下列結(jié)論：①點(diǎn)E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過(guò)E點(diǎn)作、，由正方形對(duì)角線平分每一組對(duì)角以及角平分線性質(zhì)可得點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，故①正確；再證明（AAS）可得是等腰直角三角形，得，故②正確；然后延長(zhǎng)MD至P，使，（SAS）再證明（SAS）即可得，故③正確；由全等三角形性質(zhì)和勾股定理列方程可求．【詳解】解：如圖1，過(guò)E點(diǎn)作、，∴，∵在正方形ABCD中，，，∴，即點(diǎn)E到AB，BC的距離相等，故①正確；；∴，由∵，∴，∴，∴（AAS）∴，∴，故②正確；如圖2，延長(zhǎng)MD至P，使，連接，易證（SAS）∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，，故③正確，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，，若，則，設(shè)，則，，在中，∴，解得：，故；④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的①②③，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和三角形綜合知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全都三角形轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系．3．（2022春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】2【分析】延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接ME，過(guò)M作于Q，過(guò)A作于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，設(shè)，則，，證明，得，最后利用勾股定理來(lái)解答．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接ME，過(guò)M作于Q，過(guò)A作于F，∵，，，AB＝，∴，，∴，，∴，．在中，．∵，∴.設(shè)，∴，，∴．∵，，∴，∴．∵．在和中，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形有判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵．5．（2023·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時(shí)，°；(2)當(dāng)時(shí)，°；(3)若，，，則OA的長(zhǎng)為．【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）證明△COD是等邊三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；（2）利用∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根據(jù)△COD是等邊三角形，得到∠ODC=60°，OD=，證得△AOD是直角三角形，利用勾股定理求出．【詳解】（1）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等邊三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=40°，故答案為：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=，∴∠ADC-∠ODC=60°，故答案為：60；（3）解：當(dāng)，即∠BOC=150°，∴△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，OD=，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問(wèn)題的能力．6．（2022.成都市八年級(jí)期中）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，證明△BME≌△AMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，；（2）證明：，，，在和中，，；（3）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，則，，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過(guò)點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過(guò)觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫(xiě)出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O，證明，得到，，根據(jù)為等腰直角三角形，得到，再根據(jù)，即可解出答案.【詳解】解：（1）如圖1中，由題意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案為．（2）．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.8．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠OCF＝90°，…請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°，∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC，∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°，∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，在四邊形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE．（3）①（1）中的結(jié)論仍成立．OE+OD＝OC．理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，在四邊形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴．②在圖4中，（1）中的結(jié)論成立，OE﹣OD＝OC，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°，∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC；在圖5中，（1）中的結(jié)論成立，OD﹣OE＝OC，如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°，∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC；9．（河南省南陽(yáng)市方城縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）提出問(wèn)題：如圖1，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D、E分別在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求證：CD＝CE．思路梳理：(1)請(qǐng)根據(jù)思路梳理的過(guò)程填空．證法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得≌，則CD＝CE．證法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，則CD＝CE，其理論依據(jù)是．類比探究：(2)如圖2，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D、E分別在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求證：CD＝CE．拓展遷移：(3)如圖3，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OA的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，點(diǎn)C到OB的距離是3，則OD＋OE的值是．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不說(shuō)明理由）【答案】(1)；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）方法1：利用全等三角形的性質(zhì)證明；方法2：利用角平分線的性質(zhì)定理證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，CP⊥OB于點(diǎn)P，證明△CQD≌△CPE（ASA），可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，CP⊥OB于點(diǎn)P，利用全等三角形的性質(zhì)證明OD+OE＝2PE，利用勾股定理求出PE即可．（1）證法1：如圖1中，∵OC平分∠AOB，∴∠COD＝∠COE，在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE（AAS），∴CD＝CE．故答案為：△COD，△COE；證法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，∴CD＝CE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，CP⊥OB于點(diǎn)P，∵∠ODC+∠OEC＝180°，∴∠DOE+∠DCE＝180°∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP，∵點(diǎn)C是∠AOB的平分線上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP，∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴CD＝CE；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，CP⊥OB于點(diǎn)P，∴∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∵∠ODC＝∠CEO，∴∠DOE＝∠DCE，∵∠DOE+∠AOB＝180°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP，∵點(diǎn)C是∠AOB的平分線上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP，∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴DQ＝PE，∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE，∵EC＝5，CP＝3，∴PE＝，∴OE+OD＝8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在中，，點(diǎn)D、E分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若．探究線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：(1)猜想三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫(xiě)出你的猜想；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖（3），等邊三角形中，點(diǎn)D、E在邊上，且，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．【答案】(1)(2)不變，見(jiàn)解析(3)，【分析】（1）將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成，根據(jù)題意證明，故，因?yàn)橹校?，所以，從而可得，在中，由勾股定理得線段之間的等量關(guān)系式；（2）解法一：將沿直線對(duì)折，得，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，然后進(jìn)一步證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；解法二：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，根據(jù)題意證明，進(jìn)而求解即可；（3）與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，證明出，然后根據(jù)等腰三角形的概念求解即可．【詳解】（1），證明如下：將繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后成，連接，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，∴；故答案為：；（2）關(guān)系式仍然成立．證明：將沿直線對(duì)折，得，連接∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴∴，∴在中，，即；解法二：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接．∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴；（3）當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，可得．∴．∴．若使為等腰三角形，只需，即，∴當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角為．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形．11．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是理由見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．12．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問(wèn)題背景】已知：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應(yīng)用：正方形的邊長(zhǎng)為6，，則的值為．(2)【變式練習(xí)】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)D落在線段BC上，點(diǎn)E落在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3，此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)分析過(guò)程及圖形分析即可；（2），把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，證，得，再證是直角三角形，然后由勾股定理即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的輔助線畫(huà)出圖形即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則與重合，∴∴，∴點(diǎn)G、B、C在一條直線上∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；∵正方形的邊長(zhǎng)為6，，∴，∴，，在中，，∴，解得，∴故答案為：；（2），理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（3）依然成立，理由如下：把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置此時(shí)與重合，連接，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性比較強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．13．（2023·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．【答案】（1）①；②；（2），，見(jiàn)解析；（3）8【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）由“”可證，可得，即可求解；（3）如圖3，作輔助線構(gòu)建全等三角形，由“”可證，可得，，可求，根據(jù)列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵和均為等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵，和均為等腰直角三角形，∴，，，即，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于F，過(guò)點(diǎn)B作于E，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，設(shè)，則，，∴∴，∴，，∴，∴在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023·重慶市九年級(jí)階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．【答案】（1）【問(wèn)題背景】見(jiàn)解析；（2）【遷移應(yīng)用】【分析】（1）【問(wèn)題背景】將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAC，連接PD，由旋轉(zhuǎn)及等邊三角形的性質(zhì)可得∠PDC=90゜，由勾股定理即可解決；（2）【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BM⊥PB交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，則易得△PBC≌△MBA，由全等三角形的性質(zhì)易得∠AMP=90゜，再由面積條件即可求得PC的長(zhǎng)．【詳解】（1）【問(wèn)題背景】將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAC，連接PD，如圖所示由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=PA，CD=PB，∠PAD=60゜，∠ADC=∠APB=30゜∵AD=PA，∠PAD=60゜∴△PAD是等邊三角形∴PD=PA，∠PDA=60゜∴∠PDC=∠PDA+∠ADC=60゜+30゜=90゜在Rt△PDC中，由勾股定理得：∴（2）【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BM⊥PB交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，如圖所示則∠PBM=∠ABC=90゜∴∠PBC+∠CBM=∠CBM+∠MBA∴∠PBC=∠MBA∵∠PBM=90゜，∠BPC=45゜∴∠BMP=∠BPC=45゜∴PB=MB在△PBC和△MBA中∴△PBC≌△MBA(SAS)∴∠BMA=∠BPC=45゜，PC=AM∴∠AMP=∠BMP+∠BMA=45゜+45゜=90゜∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)條件作圖形的旋轉(zhuǎn)或構(gòu)造三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．15．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(保持點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、P、Q在同一直線時(shí)，求AP長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)∠ACB=∠PCQ=90°，可得∠ACP=∠BCQ，再利用SAS，即可求證；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，再由勾股定理，可得，即可求解．【詳解】證明：（1）∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，CP=CQ，∴△△ACP≌△BCQ（SAS）∴AP=BQ；（2）如圖2中，作CH⊥PQ于H，∵CP＝CQ＝2，∴，∵∠PCQ=90°，∴，∴，∵AC=4，∴，∵點(diǎn)A、P、Q在同一直線，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·貴州黔東南·八年級(jí)校聯(lián)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線，垂足是O，求證：．【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長(zhǎng)_____________．（直接填寫(xiě)答案）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)，利用勾股定理分別求出和即可證明結(jié)論；（2）利用正方形的性質(zhì)證明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根據(jù)∠GBA＋∠ANB＝90°等量代換求出∠EMN＝90°即可；（3）利用勾股定理分別求出AE、CG和BE，然后利用（1）中結(jié)論求出BC即可．【詳解】解：（1）∵，∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，由勾股定理得：，，∴；（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，∴△CAE≌△GAB（SAS），∴∠CEA＝∠GBA，∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，∴∠CEA＋∠MNE＝90°，∴∠EMN＝90°，∴；（3）如圖3，連接CG，BE，∵，，，∴AC＝8，AE＝，∴AB＝10，∴CG＝，BE＝，∵，∴由（1）可知：，即，∵BC＞0，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．17．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，在中，，，，則與的數(shù)量關(guān)系是，與延長(zhǎng)線的夾角；(2)如圖2，四邊形中，，，，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）證明≌即可．（2）由（1）的證明方法可知：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，證明≌，再為直角三角形，用勾股定理即可．（3）由（1）的證明方法可知：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于，再證明，用勾股定理即可求解．【詳解】（1）與的數(shù)量關(guān)系：，證明：，，，在和中，≌，，故與的數(shù)量關(guān)系：；，≌，，即：，在中：．故．（2）結(jié)論：，證明：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，，，是等邊三角形，，，，，在和中，≌，，，，，，，在中，．（3）解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，延長(zhǎng)交于，