專題05 二次函數(shù)與其他實際問題(解析版)_第1頁
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文檔簡介

專題05二次函數(shù)與其他實際問題考法一:拋球問題1.(2022春·九年級課時練習(xí))在中考體育訓(xùn)練期間,小學(xué)對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的關(guān)系式為y=-+x+,由此可知小宇此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)椋?/p>

)A.米 B.2米 C.8米 D.10米【答案】C【分析】令y=0,求得x的值,取正值即可.【詳解】∵y=-+x+,令y=0,∴-+x+=0,∴,解得x=8或x=-2(舍去),故選C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用,正確解方程是解題的關(guān)鍵.2.(2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題)如圖,是一名男生推鉛球時,鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線.按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系,鉛球行進(jìn)高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的關(guān)系是,則鉛球推出的水平距離OA的長是_____m.【答案】10【分析】由圖可知,要求OA的長實際是需要點A的橫坐標(biāo),已知點A的縱坐標(biāo)為0,將y=0代入函數(shù)的解析式,求出x的值,再舍去不符合實際的一個x的值即可.【詳解】將y=0代入;整理得:(x-10)(x+2)=0解得:x=10或x=-2(舍去)∴鉛球推出的水平距離OA的長是10m.故答案為:10【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實際應(yīng)用,熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題)根據(jù)物理學(xué)規(guī)律,如果不考慮空氣阻力,以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出,小球的飛行高度h(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系是,當(dāng)飛行時間t為___________s時,小球達(dá)到最高點.【答案】2【分析】將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解.【詳解】根據(jù)題意,有,當(dāng)時,有最大值.故答案為:2.【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是熟練二次函數(shù)解析式的特點及應(yīng)用.4.(2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題)如圖,以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時,小球的飛行路線是一條拋物線.若不考慮空氣阻力,小球的飛行高度(單位:m)與飛行時間(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系:,則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時,飛行時間_________s.【答案】2【分析】把一般式化為頂點式,即可得到答案.【詳解】解:∵h(yuǎn)=-5t2+20t=-5(t-2)2+20,且-5<0,∴當(dāng)t=2時,h取最大值20,故答案為:2.【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)一般式化為頂點式.5.(2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)如圖,一位籃球運動員投籃,球沿拋物線運行,然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi),已知籃筐的中心離地面的高度為,則他距籃筐中心的水平距離是_________.【答案】4【分析】將代入中可求出x,結(jié)合圖形可知,即可求出OH.【詳解】解:當(dāng)時,,解得:或,結(jié)合圖形可知:,故答案為:4【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用:投球問題,解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值.6.(2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題)距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體,物體離地面的高度(米)與物體運動的時間(秒)之間滿足函數(shù)關(guān)系,其圖像如圖所示,物體運動的最高點離地面20米,物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒.設(shè)表示0秒到秒時的值的“極差”(即0秒到秒時的最大值與最小值的差),則當(dāng)時,的取值范圍是_________;當(dāng)時,的取值范圍是_________.【答案】

【分析】根據(jù)題意,得-45+3m+n=0,,確定m,n的值,從而確定函數(shù)的解析式,根據(jù)定義計算確定即可.【詳解】根據(jù)題意,得-45+3m+n=0,,∴,∴,解得m=50,m=10,當(dāng)m=50時,n=-105;當(dāng)m=10時,n=15;∵拋物線與y軸交于正半軸,∴n>0,∴,∵對稱軸為t==1,a=-5<0,∴時,h隨t的增大而增大,當(dāng)t=1時,h最大,且(米);當(dāng)t=0時,h最最小,且(米);∴w=,∴w的取值范圍是,故答案為:.當(dāng)時,的取值范圍是∵對稱軸為t==1,a=-5<0,∴時,h隨t的增大而減小,當(dāng)t=2時,h=15米,且(米);當(dāng)t=3時,h最最小,且(米);∴w=,w=,∴w的取值范圍是,故答案為:.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定拋物線的解析式,函數(shù)的最值,增減性,對稱性,新定義計算,熟練掌握函數(shù)的最值,增減性,理解新定義的意義是解的關(guān)鍵.7.(2022·山東青島·??级#┤鐖D,一小球從斜坡上的點處拋出,球的拋出路線是拋物線的一部分,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,斜坡可以用一次函數(shù)刻畫.若小球到達(dá)的最高的點坐標(biāo)為,解答下列問題:(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)在斜坡上的點有一棵樹,點的橫坐標(biāo)為,樹高為,小球能否飛過這棵樹?通過計算說明理由;(3)求小球在飛行的過程中離斜坡的最大高度.【答案】(1)(2)小球能飛過這棵樹,理由見解析(3)小球在飛行的過程中離斜坡的最大高度為【分析】(1)根據(jù)最高點的坐標(biāo)為,設(shè)拋物線解析式為,再將代入求解;(2)把分別代入和,即可得到答案;(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】(1)解:小球到達(dá)的最高的點坐標(biāo)為,設(shè)拋物線的表達(dá)式為,把代入得,,解得:,拋物線的表達(dá)式為;(2)當(dāng)時,,,,小球能飛過這棵樹;(3)小球在飛行的過程中離斜坡的高度,小球在飛行的過程中離斜坡的最大高度為.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,其中涉及到兩函數(shù)圖象交點的求解方法,二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求解方法,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,難度適中.利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵.8.(2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題)擲實心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目.如圖1是一名女生投擲實心球,實心求行進(jìn)路線是一條拋物線,行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,拋出時起點處高度為,當(dāng)水平距離為3m時,實心球行進(jìn)至最高點3m處.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評分標(biāo)準(zhǔn)(女生),投擲過程中,實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m,此項考試得分為滿分10分.該女生在此項考試中是否得滿分,請說明理由.【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為;(2)該女生在此項考試中是得滿分,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;(2)根據(jù)該同學(xué)此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離,令y=0,解方程即可求解.【詳解】(1)解∶∵當(dāng)水平距離為3m時,實心球行進(jìn)至最高點3m處,∴設(shè),∵經(jīng)過點(0,),∴解得∶∴,∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為;(2)解:該女生在此項考試中是得滿分,理由如下∶∵對于二次函數(shù),當(dāng)y=0時,有∴,解得∶,(舍去),∵>6.70,∴該女生在此項考試中是得滿分.【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法,利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題的關(guān)鍵.9.(2022·北京·統(tǒng)考中考真題)單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一,舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺,運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,從起跳到著陸的過程中,運動員的豎直高度(單位:m)與水平距離(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系.某運動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.(1)第一次訓(xùn)練時,該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下:水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù),直接寫出該運動員豎直高度的最大值,并求出滿足的函數(shù)關(guān)系;(2)第二次訓(xùn)練時,該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為d1,第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為,則______(填“>”“=”或“<”).【答案】(1)23.20m;(2)【分析】(1)先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標(biāo),即可得出h、k的值,運動員豎直高度的最大值;將表格中除頂點坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出a的值,得出函數(shù)解析式;(2)著陸點的縱坐標(biāo)為,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式,求出著陸點的橫坐標(biāo),用t表示出和,然后進(jìn)行比較即可.【詳解】(1)解:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,拋物線的頂點坐標(biāo)為:,∴,,即該運動員豎直高度的最大值為23.20m,根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)時,,代入得:,解得:,∴函數(shù)關(guān)系關(guān)系式為:.(2)設(shè)著陸點的縱坐標(biāo)為,則第一次訓(xùn)練時,,解得:或,∴根據(jù)圖象可知,第一次訓(xùn)練時著陸點的水平距離,第二次訓(xùn)練時,,解得:或,∴根據(jù)圖象可知,第二次訓(xùn)練時著陸點的水平距離,∵,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式,設(shè)著陸點的縱坐標(biāo)為,用t表示出和是解題的關(guān)鍵.考法二:拱橋、隧道問題10.(2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂離水面2米時,水面寬6米,水面下降________米,水面寬8米.【答案】【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系,通過代入A點坐標(biāo)(3,0),求出二次函數(shù)解析式,再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度,即可得出答案.【詳解】解:建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)橫軸x通過AB,縱軸y通過AB中點O且通過C點,則通過畫圖可得知O為原點,由題意可得:AO=OB=3米,C坐標(biāo)為(0,2),通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2,把點A點坐標(biāo)(3,0)代入得,∴,∴,∴拋物線解析式為:;當(dāng)水面下降,水面寬為8米時,有把代入解析式,得;∴水面下降米;故答案為:;【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.11.(2022·陜西·統(tǒng)考中考真題)現(xiàn)要修建一條隧道,其截面為拋物線型,如圖所示,線段表示水平的路面,以O(shè)為坐標(biāo)原點,以所在直線為x軸,以過點O垂直于x軸的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計要求:,該拋物線的頂點P到的距離為.(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈,如圖所示,即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈.已知點A、B到的距離均為,求點A、B的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,再代入(0,0),求出a的值即可;(2)根據(jù)題意知,A,B兩點的縱坐標(biāo)為6,代入函數(shù)解析式可求出兩點的橫坐標(biāo),從而可解決問題.【詳解】(1)依題意,頂點,設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,將代入,得.解之,得.∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.(2)令,得.解之,得.∴.【點睛】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用,由函數(shù)值求自變量的值的運用,解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.12.(2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題)根據(jù)以下素材,探索完成任務(wù).如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案?素材1圖1中有一座拱橋,圖2是其拋物線形橋拱的示意圖,某時測得水面寬,拱頂離水面.據(jù)調(diào)查,該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高.素材2為迎佳節(jié),擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠,如圖3.為了安全,燈籠底部距離水面不小于;為了實效,相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為;為了美觀,要求在符合條件處都掛上燈籠,且掛滿后成軸對稱分布.問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中,僅在安全的條件下,確定懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍.任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量,并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系,求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo).【答案】任務(wù)一:見解析,;任務(wù)二:懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是;;任務(wù)三:兩種方案,見解析【分析】任務(wù)一:根據(jù)題意,以拱頂為原點,建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,待定系數(shù)法求解析式即可求解;任務(wù)二:根據(jù)題意,求得懸掛點的縱坐標(biāo),進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)的范圍;任務(wù)三:有兩種設(shè)計方案,分情況討論,方案一:如圖2(坐標(biāo)系的橫軸,圖3同),從頂點處開始懸掛燈籠;方案二:如圖3,從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠,正中間兩盞與對稱軸的距離均為,根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解.【詳解】任務(wù)一:以拱頂為原點,建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,則頂點為,且經(jīng)過點.設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為,則,∴,∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是.任務(wù)二:∵水位再上漲達(dá)到最高,燈籠底部距離水面至少,燈籠長,∴懸掛點的縱坐標(biāo),∴懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是.當(dāng)時,,解得或,∴懸掛點的橫坐標(biāo)的取值范圍是.任務(wù)三:有兩種設(shè)計方案方案一:如圖2(坐標(biāo)系的橫軸,圖3同),從頂點處開始懸掛燈籠.∵,相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為,∴若頂點一側(cè)掛4盞燈籠,則,若頂點一側(cè)掛3盞燈籠,則,∴頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠.∵掛滿燈籠后成軸對稱分布,∴共可掛7盞燈籠.∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是.方案二:如圖3,從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠,正中間兩盞與對稱軸的距離均為,∵若頂點一側(cè)掛5盞燈籠,則,若頂點一側(cè)掛4盞燈籠,則,∴頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠.∵掛滿燈籠后成軸對稱分布,∴共可掛8盞燈籠.∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)題意建立坐標(biāo)系,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13.(2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題)甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片.如圖①,甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分,在某一時刻,橋拱內(nèi)的水面寬,橋拱頂點到水面的距離是.(1)按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系,求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)一只寬為的打撈船徑直向橋駛來,當(dāng)船駛到橋拱下方且距點時,橋下水位剛好在處.有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾,他的頭頂是否會觸碰到橋拱,請說明理由(假設(shè)船底與水面齊平);(3)如圖③,橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線,該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象.將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度,平移后的函數(shù)圖象在時,的值隨值的增大而減小,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.【答案】(1)y=x2+2x(0≤x≤8);(2)他的頭頂不會觸碰到橋拱,理由見詳解;(3)5≤m≤8【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-8)x,根據(jù)待定系數(shù)法,即可求解;(2)把:x=1,代入y=x2+2x,得到對應(yīng)的y值,進(jìn)而即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)圖像,進(jìn)而即可得到m的范圍.【詳解】(1)根據(jù)題意得:A(8,0),B(4,4),設(shè)二次函數(shù)的解析式為:y=a(x-8)x,把(4,4)代入上式,得:4=a×(4-8)×4,解得:,∴二次函數(shù)的解析式為:y=(x-8)x=x2+2x(0≤x≤8);(2)由題意得:x=0.4+1.2÷2=1,代入y=x2+2x,得y=×12+2×1=>1.68,答:他的頭頂不會觸碰到橋拱;(3)由題意得:當(dāng)0≤x≤8時,新函數(shù)表達(dá)式為:y=x2-2x,當(dāng)x<0或x>8時,新函數(shù)表達(dá)式為:y=-x2+2x,∴新函數(shù)表達(dá)式為:,∵將新函數(shù)圖象向右平移個單位長度,∴(m,0),(m+8,0),(m+4,-4),如圖所示,根據(jù)圖像可知:當(dāng)m+4≥9且m≤8時,即:5≤m≤8時,平移后的函數(shù)圖象在時,的值隨值的增大而減?。军c睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用,掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法,二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律,是解題的關(guān)鍵.14.(2021·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題)如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬AB與橋長CD均為24m,在距離D點6米的E處,測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m,以橋拱頂點O為原點,橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求橋拱項部O離水面的距離.(2)如圖2,橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線,其最低點到橋面距離為1m.①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式.②為慶祝節(jié)日,在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶,求彩帶長度的最小值.【答案】(1)6m;(2)①;②2m【分析】(1)設(shè),由題意得,求出拋物線圖像解析式,求當(dāng)x=12或x=-12時y1的值即可;(2)①由題意得右邊的拋物線頂點為,設(shè),將點H代入求值即可;②設(shè)彩帶長度為h,則,代入求值即可.【詳解】解(1)設(shè),由題意得,,,,當(dāng)時,,橋拱頂部離水面高度為6m.(2)①由題意得右邊的拋物線頂點為,設(shè),,,,,(左邊拋物線表達(dá)式:)②設(shè)彩帶長度為h,則,當(dāng)時,,答:彩帶長度的最小值是2m.【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,以及二次函數(shù)最值得求解方法,結(jié)合題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想設(shè)出二次函數(shù)的頂點式方程是解題的關(guān)鍵.考法三:噴水問題15.(2022·四川南充·中考真題)如圖,水池中心點O處豎直安裝一水管,水管噴頭噴出拋物線形水柱,噴頭上下移動時,拋物線形水柱隨之豎直上下平移,水柱落點與點O在同一水平面.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn),噴頭高時,水柱落點距O點;噴頭高時,水柱落點距O點.那么噴頭高_(dá)______________m時,水柱落點距O點.【答案】8【分析】由題意可知,在調(diào)整噴頭高度的過程中,水柱的形狀不發(fā)生變化,則當(dāng)噴頭高2.5m時,可設(shè)y=ax2+bx+2.5,將(2.5,0)代入解析式得出2.5a+b+1=0;噴頭高4m時,可設(shè)y=ax2+bx+4,將(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0,聯(lián)立可求出a和b的值,設(shè)噴頭高為h時,水柱落點距O點4m,則此時的解析式為y=ax2+bx+h,將(4,0)代入可求出h.【詳解】解:由題意可知,在調(diào)整噴頭高度的過程中,水柱的形狀不發(fā)生變化,當(dāng)噴頭高2.5m時,可設(shè)y=ax2+bx+2.5,將(2.5,0)代入解析式得出2.5a+b+1=0①,噴頭高4m時,可設(shè)y=ax2+bx+4,將(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0②,聯(lián)立可求出,,設(shè)噴頭高為h時,水柱落點距O點4m,∴此時的解析式為,將(4,0)代入可得,解得h=8.故答案為:8.【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的運用,重點是二次函數(shù)解析式的求法,直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵.16.圓形噴水池中心O有一雕塑OA,從A點向四周噴水,噴出的水柱為拋物線,且形狀相同.如圖,以水平方向為x軸,點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系,點A在y軸上,x軸上的點C、D為水柱的落水點.已知雕塑OA高米,與OA水平距離5米處為水柱最高點,落水點C、D之間的距離為22米,則噴出水柱的最大高度為________米.【答案】6【分析】設(shè)水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(x≥0),根據(jù)題意得到A(0,),D(11,0),對稱軸x=5,用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式,把x=5代入,即可得到噴出水柱的最大高度.【詳解】解:設(shè)水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(x≥0),∵雕塑OA高米,∴點A的坐標(biāo)是(0,),∵落水點C、D之間的距離為22米,∴點D的坐標(biāo)為(11,0),∵與OA水平距離5米處為水柱最高點,∴拋物線的對稱軸為x=5,得到解得∴水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(x≥0)當(dāng)x=5時,,∴噴出水柱的最大高度為6米,故答案為:6【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用,待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式是基礎(chǔ),求出函數(shù)的最大值是關(guān)鍵.17.(2022·河南·統(tǒng)考中考真題)小紅看到一處噴水景觀,噴出的水柱呈拋物線形狀,她對此展開研究:測得噴水頭P距地面0.7m,水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高,最高點距地面3.2m;建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,并設(shè)拋物線的表達(dá)式為,其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離,y(m)是水柱距地面的高度.(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距噴水頭P水平距離3m,身高1.6m的小紅在水柱下方走動,當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時,求她與爸爸的水平距離.【答案】(1)(2)2或6m【分析】(1)根據(jù)頂點,設(shè)拋物線的表達(dá)式為,將點,代入即可求解;(2)將代入(1)的解析式,求得的值,進(jìn)而求與點的距離即可求解.【詳解】(1)解:根據(jù)題意可知拋物線的頂點為,設(shè)拋物線的解析式為,將點代入,得,解得,拋物線的解析式為,(2)由,令,得,解得,爸爸站在水柱正下方,且距噴水頭P水平距離3m,當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時,她與爸爸的水平距離為(m),或(m).【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用,掌握頂點式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.18.(2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛,為綠化帶澆水.噴水口離地豎直高度為(單位:).如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象;把綠化帶橫截面抽象為矩形,其水平寬度,豎直高度為的長.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到,上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為,高出噴水口,灌溉車到的距離為(單位:).(1)若,;①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式,并求噴出水的最大射程;②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標(biāo);③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,求的取值范圍;(2)若.要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,請直接寫出的最小值.【答案】(1)①,;②;③(2)【分析】(1)①根據(jù)頂點式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可;②設(shè)根據(jù)對稱性求出平移規(guī)則,再根據(jù)平移規(guī)則由C點求出B點坐標(biāo);③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶,則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過F點,下邊緣拋物線,計算即可;(2)當(dāng)噴水口高度最低,且恰好能澆灌到整個綠化帶時,點,恰好分別在兩條拋物線上,設(shè)出D、F坐標(biāo)計算即可.【詳解】(1)(1)①如圖1,由題意得是上邊緣拋物線的頂點,設(shè).又∵拋物線經(jīng)過點,∴,∴.∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為.當(dāng)時,,∴,(舍去).∴噴出水的最大射程為.

圖1②∵對稱軸為直線,∴點的對稱點的坐標(biāo)為.∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,即點是由點向左平移得到,則點的坐標(biāo)為.③如圖2,先看上邊緣拋物線,∵,∴點的縱坐標(biāo)為0.5.拋物線恰好經(jīng)過點時,.解得,∵,∴.當(dāng)時,隨著的增大而減小,∴當(dāng)時,要使,則.∵當(dāng)時,隨的增大而增大,且時,,∴當(dāng)時,要使,則.∵,灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶,∴的最大值為.再看下邊緣拋物線,噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是,∴的最小值為2.綜上所述,的取值范圍是.(2)的最小值為.由題意得是上邊緣拋物線的頂點,∴設(shè)上邊緣拋物線解析式為.∵上邊緣拋物線過出水口(0,h)∴解得∴上邊緣拋物線解析式為∵對稱軸為直線,∴點的對稱點的坐標(biāo)為.∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,∴下邊緣拋物線解析式為.當(dāng)噴水口高度最低,且恰好能澆灌到整個綠化帶時,點,恰好分別在兩條拋物線上,∵DE=3∴設(shè)點,,,∵D在下邊緣拋物線上,∴∵EF=1∴∴,解得,代入,得.所以的最小值為.【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用中的噴水問題,構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.19.(2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模)如圖1,一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線.圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖,噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1米,當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時,達(dá)到最大高度6米,現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點O處,草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹垂直水平地面且A點到水平地面的距離為3米.(1)計算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地.(2)記水流的高度為,斜坡的高度為,求的最大值.(3)如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點B,那么噴射架應(yīng)向后平移多少米?【答案】(1)能澆灌到小樹后面的草坪;(2)最大值為;(3)噴射架應(yīng)向后移動1米.【分析】(1)根據(jù)當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭10米時,達(dá)到最大高度6米,設(shè)設(shè)水流形成的拋物線為,代入點(0,1)求出二次函數(shù)的解析式,再求出當(dāng)x=15時的函數(shù)值,即可得到結(jié)論;(2)先求出斜坡的高度的解析式,列出,把函數(shù)解析式化為頂點式,即可求解;(3)設(shè)噴射架向后平移了m米,設(shè)出平移后的函數(shù)解析式,代入點B的坐標(biāo)即可求解.(1)解:由題可知:當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭10米時,達(dá)到最大高度6米,則可設(shè)水流形成的拋物線為,將點(0,1)代入可得a=,∴拋物線為當(dāng)x=15時,y=4.75>4.2,∴能澆灌到小樹后面的草坪.(2)解:由題可知A點坐標(biāo)為(15,3),設(shè)直線OA的解析式為y=kx,把點A的坐標(biāo)(15,3)代入得15k=3解得k=則直線OA為∴∴的最大值為.(3)解:設(shè)噴射架向后平移了m米,則平移后的拋物線可表示為將點B(15,4.2)代入得:解得m=1或m=-11(舍去)∴噴射架應(yīng)向后移動1米.【點睛】此題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式是解決此題的關(guān)鍵.考法四:其他問題20.(2022·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)??家荒#?022年2月8日北京冬奧會中自由滑雪空中技巧項目備受大家關(guān)注,中國優(yōu)秀運動員沿跳臺斜坡AB加速加速至B處騰空而起,沿拋物線BEF運動,在空中完成翻滾動作,著陸在跳臺的背面著陸坡DC.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,BD∥x軸,C在x軸上,B在y軸上,已知跳臺的背面DC近似是拋物線y=a(x﹣7)2(1≤x≤7)的一部分,D點的坐標(biāo)為(1,6),拋物線BEF的表達(dá)式為y=b(x﹣2)2+k.(1)當(dāng)k=10時,求a、b的值;(2)在(1)的條件下,運動員在離x軸3.75m處完成動作并調(diào)整好身姿,求此時他距DC的豎直距離(豎直距離指的是運動員所在位置的點向x軸的垂線與DC的交點之間線段的長);(3)若運動員著落點與B之間的水平距離需要在不大于7m的位置(即著落點的橫坐標(biāo)x滿足x≤7),求b的取值范圍.【答案】(1),;(2);(3)【分析】(1)根據(jù)B、D兩點的坐標(biāo)可得a和b的值;(2)把y=3.75代入y=﹣(x﹣2)2+10中,可得x=4.5,再把x=4.5代入y(x﹣7)2中可得y的值,進(jìn)而可得答案;(3)根據(jù)拋物線BEF最遠(yuǎn)經(jīng)過點C,最近經(jīng)過點D可得b的范圍(1)解:根據(jù)題意得:點B(0,6),當(dāng)k=10時,拋物線BEF的表達(dá)式為y=b(x﹣2)2+10,把B(0,6)代入解析式為6=4b+10,解得b=﹣1,把D(1,6)代入拋物線DC的表達(dá)式y(tǒng)=a(x﹣7)2,6=36a,解得a,∴a,b=﹣1;(2)解:把y=3.75代入y=﹣(x﹣2)2+10中,解得x=4.5或﹣0.5(舍去),把x=4.5代入y(x﹣7)2中,y,∴他距DC的豎直距離為3.75(m);(3)解:在y=a(x﹣7)2中,當(dāng)x=7時,y=0,∴C(7,0).把B、C的坐標(biāo)代入y=b(x﹣2)2+k可得:,解得b,把B、D的坐標(biāo)代入y=b(x﹣2)2+k可得:,解得b=0,∴b的取值范圍是b<0.【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用,根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.21.(2022·江蘇揚州·??既#┛鬃釉唬簻毓识拢梢詾閹熞樱鶕?jù)艾賓浩斯遺忘曲線,小蘇同學(xué)發(fā)現(xiàn)對所學(xué)知識點進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧,學(xué)習(xí)效果會更好.某一天他利用30分鐘時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí).假設(shè)他用于學(xué)習(xí)的時間x(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖甲所示,用于復(fù)習(xí)的時間x(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖乙所示(其中是拋物線的一部分,A為拋物線的頂點).(1)求該同學(xué)的學(xué)習(xí)收益量y與用于學(xué)習(xí)的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;(2)求該同學(xué)的學(xué)習(xí)收益量y與用于復(fù)習(xí)的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)該同學(xué)應(yīng)如何分配學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的時間,才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大?(學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量)【答案】(1),(2)(3)用于學(xué)習(xí)的的時間為26分鐘,用于復(fù)習(xí)的時間為4分鐘時,學(xué)習(xí)收益總量最大【分析】(1)設(shè),根據(jù)圖象,直線過點,代入求解即可,根據(jù)題意和圖乙即可得到自變量的取值范圍;(2)分兩段,時,根據(jù)圖象的特點,設(shè),用待定系數(shù)法求解即可,時,;(3)設(shè)該同學(xué)用于復(fù)習(xí)的時間為分鐘,學(xué)習(xí)收益總量為,則他用于學(xué)習(xí)的時間為分鐘,分,和兩種情況,根據(jù)學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量,列出函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),求最值即可.【詳解】(1)解:由圖象可知,學(xué)習(xí)收益量y與用于學(xué)習(xí)的時間x之間的函數(shù)為正比例函數(shù),直線過點,設(shè),把代入,,解得:,∴;∵他利用30分鐘時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí),圖乙的時間為:,∴自變量x的取值范圍是:;(2)解:由圖象可知:①當(dāng)時,圖象為拋物線,過原點,頂點坐標(biāo)為:,設(shè),把代入,得,解得:,∴,②當(dāng)時,,∴.(3)解:設(shè)該同學(xué)用于復(fù)習(xí)的時間為分鐘,學(xué)習(xí)收益總量為,則他用于學(xué)習(xí)的時間為分鐘,當(dāng)時,,∴當(dāng)時,學(xué)習(xí)收益總量最大,,當(dāng)時,,∴隨的增大而減小,∴當(dāng)時,學(xué)習(xí)收益總量最大,綜合所述,當(dāng)時,學(xué)習(xí)收益總量最大,,此時學(xué)習(xí)時間為:(分鐘),即該學(xué)生用于學(xué)習(xí)的的時間為26分鐘,用于復(fù)習(xí)的時間為4分鐘時,學(xué)習(xí)收益總量最大.【點睛】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用.根據(jù)題意和圖象,準(zhǔn)確的求出函數(shù)關(guān)系式,利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解,是解題的關(guān)鍵.22.(2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題)在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動,黑球在處開始減速,此時白球在黑球前面處.小聰測量黑球減速后的運動速度(單位:)、運動距離(單位:)隨運動時間(單位:)變化的數(shù)據(jù),整理得下表.運動時間01234運動速度109.598.58運動距離09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn),黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數(shù)關(guān)系,運動距離與運動時間之間成二次函數(shù)關(guān)系.(1)直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)(2)當(dāng)黑球減速后運動距離為時,求它此時的運動速度;(3)若白球一直以的速度勻速運動,問黑球在運動過程中會不會碰到白球?請說明理由.【答案】(1),(2)(3)黑、白兩球的最小距離為,大于0,黑球不會碰到白球【分析】(1)根據(jù)黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)表達(dá)式為v=kt+b,代入兩組數(shù)值求解即可;根據(jù)運動距離與運動時間之間成二次函數(shù)關(guān)系,設(shè)表達(dá)式為,代入三組數(shù)值求解即可;(2)當(dāng)黑球減速后運動距離為時,代入(1)式中關(guān)于的函數(shù)解析式求出時間t,再將t代入關(guān)于的函數(shù)解析式,求得速度v即可;(3)設(shè)黑白兩球的距離為,得到,化簡即可求出最小值,于是得到結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)表達(dá)式為v=kt+b,代入(0,10),(1,9.5)得,,解得,∴,根據(jù)運動距離與運動時間之間成二次函數(shù)關(guān)系,設(shè)表達(dá)式為,代入(0,0),(1,9.75),(2,19)得,解得,∴;(2)依題意,得,∴,解得,,;當(dāng)時,;當(dāng)時,(舍);答:黑球減速后運動時的速度為.(3)設(shè)黑白兩球的距離為,,∵,∴當(dāng)時,的值最小為6,∴黑、白兩球的最小距離為,大于0,黑球不會碰到白球.【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用,待定系數(shù)法求解析式,解決本題的關(guān)鍵是明確題意求出函數(shù)表達(dá)式.23.(2022·江西·統(tǒng)考中考真題)跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段,運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分(如圖中實線部分所示),落地點在著陸坡(如圖中虛線部分所示)上,著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點,落地點超過K點越遠(yuǎn),飛行距離分越高.2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度為,基準(zhǔn)點K到起

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