專題05 相似三角形中的基本模型之對(duì)角互補(bǔ)模型（解析版）

專題05相似三角形中的基本模型之對(duì)角互補(bǔ)模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對(duì)角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，輔助線：過點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對(duì)角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥OA，垂足為F，過點(diǎn)C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對(duì)角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點(diǎn)共圓。例1．（2023·成都市·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，，，在中，，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，的值為（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，證明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC證得△AQP∽△ABC，得到，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解決問題．【詳解】解：∵在中，，，∴AC=，過P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，則∠PQB=∠PHB=∠B=90°，∴四邊形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵．例2．（2023·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點(diǎn)C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與B、C重合）且∠DAE＝45°，AC與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求證：CD2＝CO?CA．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，從而結(jié)合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行線的性質(zhì)得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，從而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB，轉(zhuǎn)化為AD：AC=AE：AB，結(jié)合∠DAE=∠CAB=45°得證結(jié)果；（2）結(jié)合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，從而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得證結(jié)果．(1)證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∵∠DAE=45°，∴∴∴∠DAC=∠EAB，∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB，∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB．(2)證明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE，又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO?CA．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比例關(guān)系得到三角形相似．例3．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐【問題情境】在中，，，，在直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．【猜想證明】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

【問題解決】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

【答案】[猜想證明]四邊形是矩形，理由見解析；[問題解決]．【分析】[猜想證明]由三角形中位線定理可得，可證，即可求解；[問題解決]由勾股定理可求的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】[猜想證明]四邊形是矩形，理由如下：如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，四邊形是矩形；[問題解決]過點(diǎn)作于，如圖：

，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)．另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明：如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對(duì)角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立．請(qǐng)說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值．【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.【分析】（1）利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；（2）如圖（見解析），過點(diǎn)分別作，垂足分別為，證明方法與題（1）相同；（3）如圖（見解析），過點(diǎn)分別作，垂足分別為，先同（2）求出，從而可證，由相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求出的值，即可得出答案.【詳解】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性質(zhì)得在和中，；（2）成立，證明如下：如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形由正方形對(duì)角線的性質(zhì)得，為的角平分線則在和中，；（3）如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為同（2）可知，由長(zhǎng)方形性質(zhì)得：，即在和中，.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.例5．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在中，，，點(diǎn)在上，且．

當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)（如圖）．過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿髋c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)，①點(diǎn)、分別在線段、上，如圖時(shí)，請(qǐng)寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．②當(dāng)點(diǎn)、分別在線段、的延長(zhǎng)線上，如圖時(shí)，請(qǐng)判斷①中線段、之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在．（直接寫出答案，不用證明）【答案】（1），理由見解析；①，理由見解析；②成立．【分析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出，然后根據(jù)余切函數(shù)即可求得．（2）同（1）證得△PFN∽△PEM得出，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通過三角函數(shù)求得PF=PC，PE=PA，即可求得．【詳解】（1），理由：如圖，作，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴∴的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，即．，如圖在中，過點(diǎn)于點(diǎn)∴四邊形是矩形，∴∴，又∵中，∴∴∵∴，即：②如圖，成立．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為射線BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE，將射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點(diǎn)F，當(dāng)AE＝4AF時(shí)，求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）證明△BDE≌△ADF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性質(zhì)解決問題；（3）證明△EBD∽△DCF，推出，設(shè)AF＝m，則AE＝4m，分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如圖2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如圖3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB?sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假設(shè)AF＝m，則AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)E在射線BA上時(shí)，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．綜上所述，滿足條件的AF的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·黑龍江·雞西九年級(jí)期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解決問題．【詳解】解：如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ//BC，∴△AQP∽△ABC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝6，∴x＝，∴AP＝5x＝6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．2．（2023廣東九年級(jí)期中）如圖，中，，平分，，連接，并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】由四點(diǎn)共圓，得到，再證明，得到與的比，延長(zhǎng)到，使，得到為等邊三角形，在證明出，證出與，利用即可求出．【詳解】解：，，、、、四點(diǎn)共圓，平分，，，，，，，，如圖，延長(zhǎng)到，使，，為等邊三角形，，，，設(shè)每一份為，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的應(yīng)用及相似比的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．3．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．【詳解】∵∴∴∵四邊形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．設(shè)，則，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一點(diǎn),且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn),∠EDF=120°,則=.【答案】【分析】過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【詳解】解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DG為△ABC的中位線，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個(gè)角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．5．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，平分，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)如圖，若，證明：；(2)如圖，若，證明：；(3)如圖，若，，，，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)或．【分析】（）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，即可求解；（3）通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，可求，，由勾股定理可求，由勾股定理可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，

∵平分，∴，∵，∴，∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：或，∴或．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐問題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開始了對(duì)不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：

（1）如圖1，在等邊中，D為邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，，，，則______．問題解決：（2）如圖2，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，射線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求證：．（3）如圖3，，，，D是的中點(diǎn)，射線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）首先求出，證明，得到，即可求出結(jié)果；（2）連接，過D作于M，作于N，根據(jù)證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得；（3）過點(diǎn)分別作于，于，根據(jù)勾股定理及中位線的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，最后由相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）∵在等邊中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；（2）如圖，連接，過D作于M，作于N，∵是等邊三角形，D為的中點(diǎn)，∴是的平分線，，∴，，又∵，∴，∴，∴在與中，，∴，∴；

（3）過點(diǎn)分別作于，于，

在中，，是的中點(diǎn)，，，，，，，是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，，四邊形為矩形，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題．需要掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到圖中關(guān)鍵的相似和全等三角形，比較典型，但有點(diǎn)難度．7．（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．證明：；

（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，．在矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形．在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，找相等的邊和角證全等即可；（2）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形和，列比例式求解算出，最后根據(jù)計(jì)算即可；（3）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)已知條件觀察推理出，，結(jié)合與重疊部分的面積是的面積的，設(shè)列方程求出，最后根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)，，，，即，在和中，；（2）如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，

四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，，，即，，；（3）如圖，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，

設(shè)，則，設(shè)，則，，，，又，，，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，是直角三角形∴，(有公共角且都有直角)，，∴，∵，即，∴，，設(shè)，則，∵，即，∴，與重疊部分的面積是的面積的，平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形的面積，，即，∴，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的證明、勾股定理、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、正方形）的性質(zhì)、相似三角形，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、結(jié)合圖象分析是解題的關(guān)鍵．8．（2023遼寧九年級(jí)月考）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F.（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）（1）中結(jié)論不成立.【詳解】解：（1）結(jié)論：AF=BE證明：連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°∴∠3+∠5=90°∵∠3+∠4=90°∴∠5=∠4∵BD=AD∴△BDE≌△ADF∴BE=AF（2）根據(jù)（1）可得BE=AF所以AB-BE=AC-AF即AE=FC（3）（1）中的結(jié)論BE=AF不成立∵∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=90°,∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°.∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠5=∠4.∴△BDE∽△ADF．∴．9．（2023浙江九年級(jí)月考）如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),且∠PDQ=90°.(1)當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BP=2，求CQ的長(zhǎng)；(3)連結(jié)AD，若AD平分∠PDQ，求DP：DQ.【答案】（1）4；（2）CQ的長(zhǎng)為或；（3）4:3；【分析】（1）首先證明DQ∥AB，根據(jù)平行線等分線段定理即可解決問題.（2）分情況討論，①中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，作DM⊥AB,DN⊥AC，由相似推出QN=，推出PM=BM－PB=1，再推出QN=；②中，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，根據(jù)PM,QN的值，CQ=QN+CN計(jì)算即可.（3）首先證明四邊形AMDN是正方形，由全等推出PM=NQ，推出PD+DQ的值，再由（2）結(jié)論即可計(jì)算.【詳解】(1)如圖1中，∵DP⊥AB，DQ⊥DP，∴DQ∥AB，∵BD=DC，∴CQ=AQ=4.(2)①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，則四邊形AMDN是矩形，DM、DN分別是△ABC的中位線，DM=4，DN=3，∵∠PDQ=∠MDN=90°，∴∠PDM=∠QDN,∵∠DNQ∠DMP=90°，∴△PDM∽△QDN，∴==，∴QN=PM，∵PM=BM?PB=3?2=1，∴QN=，∴CQ=QN+CN=+4=.②如圖3中,當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),PM=5,QN=,CQ=QN+CN=4+=，綜上所述,當(dāng)BP=2,求CQ的長(zhǎng)為或.(3)如圖4中，作AM⊥DP于M，AN⊥DQ于N.∵AD平分∠PDQ，∴AM=AN，∵∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，∴四邊形AMDN是矩形，∵AM=AN，∴四邊形AMDN是正方形，∴∠MAN=90°，DM=DN，∵∠BAC=∠MAN=90°，∴∠PAM=∠NAQ，∴△APM≌△AQN，∴PM=NQ，∵AB=6，AC=8，∴BC==10，AD=5，∵PD+DQ=(PM+MD)+(DN?QN)=2DM=AD=，由(2)可知PD:QD=4:3，【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于分析出動(dòng)點(diǎn)所出現(xiàn)的各種情況，根據(jù)相似或全等找出線段之間的關(guān)系.10．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點(diǎn)F、G．（1）若點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，求EG的長(zhǎng)．（2）當(dāng)直角∠GEF繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC交于點(diǎn)F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠EFG的值．（3）當(dāng)直角∠GEF繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC所在的直線交于點(diǎn)F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)直接寫出tan∠EFG的值．（4）如圖3，連接CE交FG于點(diǎn)H，若，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．【答案】（1）EG=3；（2）不變，tan∠EFG=；（3）不變化．tan∠EFG=；（4）．【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)E是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，可證EF∥BC，再根據(jù)∠GEF=90°，∠C=90°可得四邊形EGCF為矩形，則點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，則可解得EG的長(zhǎng)；（2）作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，易證得△GEN∽△FEM，則有，所以tan∠EFG=，且∠EFG不變化；(3)畫出圖形，仿照（2）中分析過程，即可得出∠EFG不變化，且tan∠EFG=；(4)過E分別做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，由tan∠EFG=可設(shè)EG=3a，EF=4a，則GF=5a，ET=，GT=，由可求出FH=，GH=，進(jìn)而分別求出EH和CH的長(zhǎng)，易證ΔFHC∽ΔEHG，則，由此求出a值，進(jìn)而分別EF、UF的長(zhǎng)，即可求出CF的長(zhǎng).【詳解】（1）∵E、F為BD、CD的中點(diǎn)∴EF為△BCD的中位線∴EF=BC=4，EF∥BC∵矩形ABCD中，∠C=90°∴∠EFC=90°∵∠GEF=90°∴四邊形EGCF為矩形∴EG=FC==3，（2）不變化．如圖，作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，∴∠NEM=90°∵∠GEF=90°∴∠GEN=∠FEM∴△GEN∽△FEM∴即tan∠EFG=；（3）如圖所示，不變化．tan∠EFG=;理由：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，∴∠NEM=90°∵∠GEF=90°∴∠GEN=∠FEM，又∠ENG=∠EMF=90o，∴△GEN∽△FEM∴即tan∠EFG=；(4)過E分別做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，∵tan∠EFG=，∠GEF=90o，故可設(shè)EG=3a，EF=4a，則GF=5a，ET=，GT=，∵，∴FH=，GH=，∴HT=GH-GT=-=，∴EH===，∵∠BCD=90o，BC=8，AB=CD=6，∴BD=10，又E是BD的中點(diǎn)，∴CE=BD=5，∴CH=CE-EH=5-，∵tan∠CE=，tan∠EGF=，∴∠UCE=∠EGF，又∠CHF=∠EHG，∴ΔFHC∽ΔEHG，∴，即，∴×(5-)=×，∴，∴EF=，∴UF==，∴CF=CU-UF=3-=.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，必要時(shí)可添加輔助線是解題的技巧.11．（2023秋·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合與實(shí)踐問題情境：在中，．直角三角板中，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別與邊交于點(diǎn)M，N，猜想證明：(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；問題解決：(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；【答案】(1)四邊形為矩形，理由見解析(2)【分析】（1）利用三角形的中位線定理，得到：，得到，再根據(jù)和，即可得到四邊形為矩形；（2）連接，證明，即可得解．【詳解】（1）解：四邊形為矩形，理由如下：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴．∴，∵，∴，又∵，∴四邊形為矩形．（2）解：連接．在中，，∴，．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，．∴．∵，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∴，即：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，以及直角三角形斜邊上的中線和勾股定理．熟練掌握三角形的中位線定理，以及直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，是解的關(guān)鍵．12．（2023·廣西欽州·?？寄M預(yù)測(cè)）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，，，D為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建直角，將項(xiàng)點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線分別與邊交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)E、F分別是的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)類比探究：由圖1抽象出圖2，當(dāng)E、F不是的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，求證：是等腰直角三角形．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，將兩根小木棒構(gòu)建的直角，放置于邊長(zhǎng)為2的正方形紙板上，頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的中點(diǎn)O重合，射線分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，請(qǐng)求出四邊形的面積．【答案】(1)相等(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理求解；（2）連接，通過證明得出，，通過導(dǎo)角得出，可證是等腰直角三角形；（3）連接，同（2）可證，則．【詳解】（1）解：∵E、F分別是的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，，，∵，，故答案為：相等；（2）解：連接，如圖所示：

∵，，D為的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴,，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：如圖，連接，∵O是的中點(diǎn)，和互相平分，∴經(jīng)過點(diǎn)O，同（2）可得，∴，∴，∵正方形對(duì)角線互相垂直平分，∴，，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)．13．（2023·北京延慶·九年級(jí)期中）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)D作DE的垂線與直線AC交于點(diǎn)F，連結(jié)EF．求證：AF=BE．探究過程：經(jīng)過分析小明發(fā)現(xiàn)，△ADF≌△BED，然后根據(jù)全三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可以得到AF=BE．請(qǐng)你根據(jù)小明的探究過程解決以下問題：(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，若點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，AF與BE還相等嗎？請(qǐng)說明理由．(2)類比遷移：如圖3，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)DE，以DE為一邊作∠EDF=60°，交直線AC于點(diǎn)F，且AE=2AF．請(qǐng)你依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，若AB=4，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)AF與BE相等，見解析(2)AF長(zhǎng)為【分析】（1）結(jié)論：AF與BE相等．證明△DAF≌△DEB，可得結(jié)論．（2）分兩種情形；當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：AF與BE相等，理由如下：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠CBA=45°，∴∠CBE=135°；∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD=DB，∠CAD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∠DAF=135°，∵DE⊥DF，∴∠FDE=90°，∴∠ADF=∠EDB，又∵∠CBE=∠DAF=135°,在△DAF和△DBE中∴△DAF≌△DEB,∴AF=BE;（2）解：分兩種情況討論:①如圖1：當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BED+∠BDE=120°，∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE，∴，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD=2，∵AE=2AF．∴，∴，此時(shí)，或（舍去）；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AC邊延長(zhǎng)線上時(shí)，∵等邊三角形ABC，D為BC中點(diǎn)，∴DA⊥BC，CD=BD=2，∠B=∠C=60°，∴∠FAD=150°，∴∠F+∠ADF=30°，∵∠FDE=60°，∴∠BDE+∠ADF=30°，∴∠F=∠BDE，又∵∠B=∠C=60°，∴△CFD∽△BDE，∴，∴，∴，解得：或（舍去），綜上所述：AF長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)