專題06 三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型（解析版）

專題06三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·山西晉城·七年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖1的四邊形，這種形似飛鏢的四邊形，我們形象地稱它為“飛鏢圖”．它實(shí)際上就是凹四邊形，同學(xué)們通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和，即如圖1，．

“智慧小組”通過(guò)互學(xué)證明了這個(gè)結(jié)論：方法一：如圖2，連接，則在中，，即，又：在中，，∴，即．“創(chuàng)新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長(zhǎng)至F，∵和分別是和的一個(gè)外角，…………任務(wù)：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是______；(2)根據(jù)“創(chuàng)新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）(2)見解析【分析】（1）連接之后，構(gòu)成了三角形，從而利用三角形內(nèi)角和的基本性質(zhì)，由此填寫即可；（2）利用三角形的外角定理進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）故答案為：三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）（2）證明：如圖3，連接并延長(zhǎng)至F，∵和分別是和的一個(gè)外角，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及外角定理的應(yīng)用，理解并熟練運(yùn)用這些基本定理是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上，某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開了探究.小亮：已知，如圖①，在中，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連接，試探究與之間的關(guān)系．

小紅：以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小明：外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．(1)請(qǐng)你在橫線上補(bǔ)全小紅的探究過(guò)程：∵（___________________）∴（等式性質(zhì)）∵_(dá)_______，∴________．∴．（________________）(2)請(qǐng)你按照小明的思路完成探究過(guò)程．(3)利用探究的結(jié)果填空．如圖②，，則_______．

【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理，，，等量代換(2)過(guò)程見解析(3)【分析】（1）按照步驟進(jìn)行填寫作答即可；（2）如圖①，延長(zhǎng)交于，由題意知，，則；（3）如圖②，連接，由（1）可知，，由，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵（三角形的內(nèi)角和定理），∴（等式性質(zhì)），∵，∴，∴．（等量代換），故答案為：三角形的內(nèi)角和定理，，，等量代換．（2）解：如圖①，延長(zhǎng)交于，

由題意知，，∴；（3）解：由（1）可知，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．例4.（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點(diǎn)，求證．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)落在線段CD上．連接交于點(diǎn)，連接．由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，．在中，，在中，．因此，所以．例5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則_____°；②如圖3，平分，平分，若，，則______°；③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)，，…，，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①40，②90，③70°【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可證明；（2）①由（1）的結(jié)論可得，然后把，代入上式即可得到的值；②結(jié)合圖形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的結(jié)論可知，易得答案．③由②方法，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1），理由如下：連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，由外角定理可得，，∵，∴，∵，∴；（2）①由（1）的結(jié)論易得：，∵，，∴，故答案是：40；②由（1）的結(jié)論易得，，∵，，∴；∵平分，平分，∴，，∴；③由②知，，∵，∴設(shè)為，∵，∴，∴，∴為70°．故答案是：70°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處，如果，那么的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得，，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．例3．（2023·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，若∠1?∠2=60°，則∠B的度數(shù)是．【答案】30°【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠D=∠B，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：∠D=∠B，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B，∴∠1-∠2=2∠B=60°．∴∠B=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．例4．（2023·甘肅天水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個(gè)不相鄰的外角．

(1)猜想并說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；（2）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)與的平分線，，，即可求的度數(shù)；（3）結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)、分別是四邊形外角、的角平分線.進(jìn)而可以寫出、與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）猜想：，理由如下：∵，，∴，（2）∵，，，∴，∵、分別平分與，∴，，∴，∴，（3）、與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：∵、分別是四邊形外角、的角平分線，∴，，由(1)可知:，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形外角．例5．（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點(diǎn)D，在其兩邊和上各取任意一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測(cè)量所得），∴，（計(jì)算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說(shuō)法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點(diǎn)D在的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理(3)如圖，若點(diǎn)D在銳角外部，與相交于點(diǎn)G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿髦g的關(guān)系．【答案】(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(2)A(3)不成立，【分析】（1）連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；（2）按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，即可得答案；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得，，整理可得答案【詳解】（1）小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）根據(jù)定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過(guò)量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，故A正確；（3）不成立，是的一個(gè)外角，，為的一個(gè)外角，，（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．例6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是一張三角形的紙片，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)的位置．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，若，求的大?。?2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部時(shí)，若，，求的大?。?3)當(dāng)點(diǎn)落在外部時(shí)，如圖③，若，，則______；如圖④，、和的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)；(2)；(3)①；②．【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解；（3）①由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解，即可解答．②由折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解，再根據(jù)折疊性質(zhì)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）由折疊可知：，，；（2）由折疊可知：，，，，，，，，，；（3）如圖，由折疊可知：，，，，，，，，，，故答案為：；如圖，由折疊可知：，，，，，，，，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，折疊與對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用折疊與對(duì)稱的性質(zhì)求解角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·成都市七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°．將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若，，則∠B＝（）A．75° B．85° C．95° D．100°【答案】B【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠BMF=110°，∠FNB=80°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出∠FMN=∠BMN=55°，∠FNM=∠MNB=40°，進(jìn)而求出∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∠A＝110°，∠C＝80°，∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，∵將△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，∴∠B＝∠F＝180°﹣55°﹣40°＝85°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)．能夠得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，將沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，根據(jù)外角性質(zhì)得：，，則，則．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）以及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·山東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進(jìn)而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿，翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，得到，，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．5．（2023·重慶·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用平角用表示出，再利用三角形的內(nèi)角和定理用表示出，兩式相減可得結(jié)論．【詳解】如圖，∵是由折疊成的，∴．∵，∴．∵，，∴．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和等于”、折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠3【答案】D【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．根據(jù)外角的性質(zhì)，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，從而推出∠1+∠4=∠2-∠3【詳解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①，又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②，由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和外角，解題的關(guān)鍵是記住外角和定理．7．（2023·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期中）如圖，，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在中由三角形外角的性質(zhì)可求得，在中，利用三角形外角的性質(zhì)可求得．【詳解】解：∵是的一個(gè)外角，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義可得，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．9．（2023春·重慶大渡口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)，分別為，上一點(diǎn)，將沿直線翻折至同一平面內(nèi)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)，．若，則的度數(shù)為．

【答案】/100度【分析】先根據(jù)平角定義可得，然后利用折疊的性質(zhì)可得：，，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，進(jìn)而可得，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，由折疊得：，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊問(wèn)題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·天津·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為．【答案】/60度【分析】由翻折的性質(zhì)可知：，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：．．，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻折變換，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，等邊三角形中，點(diǎn)，分別在邊，上，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為．【答案】95°/95度【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠B′的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFD的度數(shù)，得到答案．【詳解】解：由題意得，∠B′=∠B=60°，∵∠ADF=95°，∠A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠AFD=25°，則∠B′FG=25°，∴∠FGB′=95°，∴∠EGC=95°，故答案為：95°．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的翻折變換的性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和翻折變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2023·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2=70°，則∠B=．【答案】35°【分析】如圖，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義可得∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，進(jìn)而可得∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角的代換即可求出答案【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠BED＝∠ED，∠BDE=∠DE，∵∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，∵∠1+∠2＝70°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴70°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝35°．故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平角的定義以及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于常見題型，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）[題目]如圖①，∠BAC內(nèi)部有一點(diǎn)D．連接BD，CD．著∠A=68°，∠ABD=16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大??；[應(yīng)用]如圖②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度；[擴(kuò)展]如圖③，在∠BAD內(nèi)部有兩個(gè)向上突起的角，若∠ABE=20°，∠ECF=45°，∠ADF=15°，∠A=70°，則∠BEC+∠CFD=度．【答案】∠BDC=108°；180；150．【分析】（1）三角內(nèi)角和和外角性質(zhì)即可求∠D的度數(shù)；（2）由三角形的外角性質(zhì)可得∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB，由內(nèi)角和可求得∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°的度數(shù)；（3）由三角形的外角性質(zhì)得∠BEC+∠CFD=∠BAC+∠ABE+∠CAD+∠ADFE，把各角的度數(shù)代入求解．【詳解】解：（1）連接BC．∵三角形內(nèi)角和是180°∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABD=16°，∠ACD=24°，∠A=68°∴∠DBC+∠DCB=72°又∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°∴∠BDC=108°．（2）連接BC，∵∠ODE+∠OED=180°-∠DOE∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC∠DOE=∠BOC∴∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB又∵三角形內(nèi)角和是180°∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠OBC-∠OCB∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠ODE-∠OED∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°（3）由（1）的結(jié)論可知∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠AEC∠CFD=∠CAD+∠ADF+∠ACF∴∠BEC+∠CFD=∠BAC+∠ABE+∠AEC+∠CAD+∠ADF+∠ACF∠BEC+∠CFD=∠A+∠ABE+∠ADF+∠ECF=150°【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．14．（2023·浙江·八年級(jí)期末）如圖（1）是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見解析【分析】（1）翻折問(wèn)題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問(wèn)題，一定要找準(zhǔn)相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．15．（2023·河北唐山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在四邊形ABCD中，．（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明．（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關(guān)系，并證明．

【答案】（1）證明見詳解；（2）DE⊥BF，證明見詳解；（3）DE∥BF，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計(jì)算即可得解；（2）如圖1，延長(zhǎng)DE交BF于G，易證∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，則可證得DE⊥BF；（3）如圖2，連接BD，易證∠NDC+∠MBC=180゜，則可得∠EDC+∠CBF=90゜，繼而可證得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，則可得DE∥BF．【詳解】（1）證明：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；（2）DE⊥BF延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)G∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°∴∠ABC+∠ADC=180°∵∠ABC+∠MBC=180°∴∠ADC=∠MBC∵DE、BF分別平分∠ADC、∠MBC∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC∴∠EDC=∠EBG∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90°∴DE⊥BF（3）DE∥BF連接BD∵DE、BF分別平分∠NDC、∠MBC∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC∴∠MBC+∠NDC=180°∴∠EDC+∠FBC=90°∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°∴DE∥BF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．16．（2023·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）箭頭四角形模型規(guī)律如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如圖3，∠ABE、∠ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF交于點(diǎn)F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，則∠BFC＝________．③如圖4，BOi、COi分別為∠ABO、∠ACO的2019等分線（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它們的交點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，則∠BO1000C＝________度．（2）拓展應(yīng)用：如圖5，在四邊形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四邊形OBCD的面積．【答案】（1）①2α；②85°；③(m+n)；（2）【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C=∠BOC=α，∠D+∠E+∠F=∠DOE=α可得答案；②由∠BEC=∠EBF+∠ECF+∠F，∠F=∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF=∠ABF，∠ECF=∠ACF知∠BEC=∠F-∠A+∠F，從而得∠F=，代入計(jì)算可得；③由∠BOC=∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C=（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C=∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC=（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO=（∠BO1000C-∠BAC），代入∠BOC=（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC=×（∠BO1000C-∠BAC）+∠BO1000C，據(jù)此得出∠BO1000C=（∠BOC+∠BAC）=∠BOC+∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA知∠BOD=∠BAD+∠ABO+∠ADO=2∠BAD，結(jié)合∠BCD=2∠BAD得∠BCD=∠BOD，連接OC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定得到四邊形OBCD為菱形，再由含120°角的菱形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）①如圖2，在凹四邊形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四邊形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如圖3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如圖3，由題意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，則∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案為：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如圖5，連接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝