第四講 二次函數(shù)（典例精講）（原卷版）

2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之函數(shù)篇第四講二次函數(shù)（原卷版）一、二次函數(shù)的定義。一般地，形如（QUOTEa，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意：二次項(xiàng)系數(shù)，而QUOTEb，c可以為零。二、二次函數(shù)四種基本形式的圖像性質(zhì)。二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：①；②；③；④；⑤.的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第一種：二次函數(shù)的性質(zhì)（最基礎(chǔ)）。第二種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第三種：二次函數(shù)的性質(zhì)。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值。向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．第四種：二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)。函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，四、二次函數(shù)的平移。步驟：（1）先將函數(shù)化成y=a(x-h)2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）；（2）從函數(shù)y=ax2平移方法如下：“左加右減，上加下減”。平移前平移方向（m＞0)平移后口訣y=a(x-h)2+k向左平移m個(gè)單位“左加右減”“上加下減”向右平移m個(gè)單位向上平移m個(gè)單位向下平移m個(gè)單位五、二次函數(shù)圖像與系數(shù)a、b、c的關(guān)系。1.根據(jù)a、b、c的正負(fù)數(shù)判斷二次函數(shù)圖像。二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下一次項(xiàng)系數(shù)b決定對(duì)稱軸的位置在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸。（同左異右b為對(duì)稱軸為y軸）常數(shù)項(xiàng)系數(shù)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；2.根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷a、b、c關(guān)系式與0的關(guān)系。關(guān)系式實(shí)質(zhì)2a+b實(shí)質(zhì)式結(jié)合a的正負(fù)比較與1關(guān)系2a+b實(shí)質(zhì)式結(jié)合a的正負(fù)比較與-1關(guān)系a+b+c實(shí)質(zhì)是令x=1，看縱坐標(biāo)正負(fù)a-b+c實(shí)質(zhì)是令x=-1，看縱坐標(biāo)正負(fù)4a+2b+c實(shí)質(zhì)是令x=2，看縱坐標(biāo)正負(fù)4a-2b+c實(shí)質(zhì)是令x=-2，看縱坐標(biāo)正負(fù)六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況，圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根。②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn)。A：當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；B：當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路：=1\*GB3①一般式：當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c；=2\*GB3②頂點(diǎn)式：當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x?h)2+k；=3\*GB3③交點(diǎn)式：當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）時(shí)，可設(shè)函數(shù)解析式為y=ax?x1(x?【考點(diǎn)一】二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。【典型例題1】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．點(diǎn)A的坐標(biāo)為C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．圖象的對(duì)稱軸為直線【典型例題2】（2022·湖北隨州·中考真題）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn) B．方程的兩根之積為C．它的圖像的對(duì)稱軸在軸的右側(cè) D．時(shí)，隨的增大而減小【對(duì)應(yīng)練習(xí)】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典型例題3】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（

）A．或4 B．或 C．或4 D．或4【典型例題4】（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2+3上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對(duì)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2023秋·天津東麗·九年級(jí)?？计谥校┤簦?，為二次函數(shù)的圖像上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谥校┤舳魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn).則關(guān)于，，大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)二】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系綜合?！镜湫屠}】（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖是二次函數(shù)的圖象，其對(duì)稱軸為直線，且過點(diǎn)．有以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y有最大值為2、最小值為，此時(shí)m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是拋物線上的三點(diǎn)，則y1<y2<y3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣2）2﹣9，則下列結(jié)論中，正確的序號(hào)為（）①當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值﹣9；②若點(diǎn)（3，y1），（4，y2）在其圖象上，則y2＞y1；③將其函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣5）2﹣5；④函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的距離為6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【考點(diǎn)三】二次函數(shù)圖像的平移。【典型例題】（2022秋·天津河北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┌褣佄锞€的圖像向左平移1個(gè)單位，則平移后的拋物線是（）A． B．C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．【考點(diǎn)四】一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖像綜合?！镜湫屠}】（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)校聯(lián)考期末）一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·山東臨沂·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2019·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考中考模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若，則函數(shù)和在同一坐標(biāo)系中的圖象大致為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)與一元二次方程?！镜湫屠}1】（2022·福建福州·校考一模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則關(guān)于的一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┤绻麙佄锞€的對(duì)稱軸是直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是________．【典型例題2】（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則k的取值范圍為___________．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川瀘州·瀘縣五中校考一模）二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為__________．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若二次函數(shù)，當(dāng)______時(shí)，與x軸有唯一的交點(diǎn)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，則______．【考點(diǎn)六】二次函數(shù)與不等式?！镜湫屠}】（2022·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┒魏瘮?shù)．若，則自變量x的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·江蘇徐州·?？级＃┒魏瘮?shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是_______．【考點(diǎn)七】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式?！镜湫屠}】（2022·甘肅蘭州·蘭州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)請(qǐng)你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處，并寫出平移后拋物線的表達(dá)式．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）已知一個(gè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，和．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)求這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·福建福州·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求，的值；(2)若點(diǎn)，在二次函數(shù)圖像上，其中，當(dāng)時(shí)，求的取值的范圍．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（其中a、c為常數(shù)，且）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)B，此拋物線頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4．(1)求拋物線的解析式；(2)求的正切值；【考點(diǎn)八】二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?！镜湫屠}1】建系。（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】35．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬，當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬．(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來(lái)，當(dāng)船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時(shí)上漲，當(dāng)水位達(dá)到處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時(shí)，水面寬是多少？它能否安全通過此橋？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會(huì)（也稱2022年北京冬奧會(huì)）于2022年2月4日至2月20日在中國(guó)北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會(huì)又舉辦過冬奧會(huì)的城市．冬奧會(huì)上跳臺(tái)滑雪是一項(xiàng)極為壯觀的運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個(gè)動(dòng)作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運(yùn)動(dòng)員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角的跳臺(tái)A點(diǎn)以速度沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時(shí)，由于受重力作用，運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向會(huì)加速下落，因此，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運(yùn)動(dòng)員在B點(diǎn)著陸，，且．忽略空氣阻力，請(qǐng)回答下列問題：(1)求該運(yùn)動(dòng)員從跳出到著陸垂直下降了多少m？(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式；(3)若該運(yùn)動(dòng)員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？【典型例題2】銷售問題。（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）某景點(diǎn)投入40輛同型號(hào)電動(dòng)代步車，準(zhǔn)備成立代步車租賃公司，市運(yùn)管所規(guī)定每輛代步車的日租金按10元的整數(shù)倍收取，但不得超過250元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每輛代步車的日租金不超過150元時(shí)，40輛代步車可以全部租賃出去；當(dāng)每輛代步車的日租金超過150元時(shí)，每增加10元，租賃出去的代步車數(shù)量將減少2輛．已知租賃出去的代步車每輛一天各項(xiàng)支出共需20元，沒有租賃出