專題11 解直角三角形之實際應(yīng)用模型（解析版）

專題11解直角三角形之實際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應(yīng)用模型。【重要模型】模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵.【重要關(guān)系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

【答案】【分析】根據(jù)題意得，，，，過B作于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，過B作于E，∴，

在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C兩港之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．例2、（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，某校無人機興趣小組借助無人機測量教學(xué)樓的高度，無人機在離教學(xué)樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學(xué)樓頂處的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為米．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】過作于點，可得，根據(jù)題意可知米，米，由作圖知，米，在中利用三角函數(shù)可求出的長，即可求得的長【詳解】過作于點，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教學(xué)樓的高度約為米．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，借助仰角構(gòu)造出直角三角形，然后利用三角函數(shù)進行求解是關(guān)鍵．例3．（2020·海南中考真題）為了促進?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣工通車.某校數(shù)學(xué)實踐活動小組利用無人機測算該越江通道的隧道長度．如圖，隧道在水平直線上，且無人機和隧道在同一個鉛垂面內(nèi)，無人機在距離隧道米的高度上水平飛行，到達(dá)點處測得點的俯角為繼續(xù)飛行米到達(dá)點處，測得點的俯角為．（1）填空：__________度，_________度；（2）求隧道的長度(結(jié)果精確到米)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】（1）30，45；（2）2729米【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求解即可；（2）過點作于點過點作于點.在中求出AM的值，在中求出NB的值，進而可求隧道的長度.【詳解】解:（1）由題意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案為：30，45；（2）過點作于點過點作于點.則米，米，在中，，.在中，，，(米).答:隧道的長度約為米.【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．例4．（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東方向，南關(guān)橋C在南偏東方向（點A，B，C，P四點在同一平面內(nèi)）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】明珠大劇院到龍堤的距離為．【分析】如圖，首先證明四邊形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，進而得出關(guān)于的方程，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∵，，∴，解得：，∴，答：明珠大劇院到龍堤的距離為．

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1.（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）文峰塔位于河南省安陽市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風(fēng)格獨特，具有上大下小的特點．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動課上，數(shù)學(xué)社團的學(xué)生計劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進12m到達(dá)F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關(guān)數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【答案】文峰塔的高度約為38米【分析】延長交于點G，設(shè)米，在中，求出的長，進而得出的長，中，利用，進行求解即可．【詳解】解：延長交于點G．

由題意得：米，米，．設(shè)米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．經(jīng)檢驗：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度約為38米．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義．例2.（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）小軍和小明在同一個班，他們都是數(shù)學(xué)愛好者，并且住在同一個小區(qū)的A棟樓，學(xué)完解直角三角形后，他們決定用所學(xué)知識來求距離，如圖：A、B兩棟樓，他們站在自家陽臺上測得對面B棟樓的樓頂P點的仰角分別為．已知小軍家與小明家陽臺垂直距離為30米．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求A、B兩棟樓的樓間距為多少米？（結(jié)果精確到米）(2)已知小明家陽臺與地面的垂直距離為6米，求對面B棟樓的高度．（結(jié)果精確到米）【答案】(1)A、B兩棟樓的樓間距約為米；(2)對面B棟樓的高度約為米．【分析】（1）過點P作，交的延長線于點E，根據(jù)題意得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：米，米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：過點P作，交的延長線于點E，

由題意得：，，∵是的一個外角，∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴A、B兩棟樓的樓間距約為米；（2）解：如圖：由題意得：米，米，，在中，，∴（米），∴（米），∴對面B棟樓的高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點，處測出點的仰角度數(shù)，可以求出信號塔的高．如圖，的長為，高為．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為，在同一平面內(nèi)．你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】能求出信號塔的高，信號塔的高為；【分析】過作，垂足為，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，進而設(shè)根據(jù)銳角三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：過作，垂足為，∵，，∴四邊形是矩形，∴，．∵的長為，高為，∴．∴在中，()．∵，，∴．∴．∴設(shè)．∴，．∴．∵，，∴．∴．∴．即信號塔的高為．∴能求出信號塔的高，信號塔的高為．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）某風(fēng)景區(qū)觀景纜車路線如圖所示，纜車從點出發(fā)，途經(jīng)點后到達(dá)山頂，其中米，米，且段的運行路線與水平方向的夾角為，段的運行路線與水平方向的夾角為，求垂直高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】垂直高度約為米【分析】過點作于，作于，則四邊形為矩形，在中利用正弦函數(shù)求出長度，在中，，可以求出長度，即可求出．【詳解】解：過點作于，作于，則四邊形為矩形，，

在中，，，則（米），米，在中，，米，則米，米．答：垂直高度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答時需要過點作于，作于，然后根據(jù)特殊四邊形和直角三角形中的邊角關(guān)系進行計算．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023.涼山州）如圖，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經(jīng)過樹頂E點恰好看到塔的底部D點，且俯角α為45°．從距離樓底B點1米的P點處經(jīng)過樹頂E點恰好看到塔的頂部C點，且仰角β為30°．已知樹高EF＝6米，求塔CD的高度．（結(jié)果保留根號）【解答】解：由題意可知∠BAD＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝6米，在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝，∴BF＝＝5（米），∴PG＝BD＝BF+FD＝5+6（米），在RT△PCG中，∵tanβ＝，∴CG＝（5+6）?＝5+2（米），∴CD＝（6+2）米．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2022?泗陽縣一模）如圖，某校教學(xué)樓（矩形AGHD）前是辦公樓（矩形BENM），教學(xué)樓與辦公樓之間是學(xué)生活動場所（AB）和旗桿（CF），教學(xué)樓、辦公樓和旗桿都垂直于地面，在旗桿底C處測得教學(xué)樓頂?shù)难鼋菫?5°，在旗桿底C處測得辦公樓頂?shù)母┙菫?7°，已知教學(xué)樓高度AD為20m，旗桿底部（C）到辦公樓底部（B）的距離比到教學(xué)樓底部（A）的距離少4m，求辦公樓的高度EB．（參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：根據(jù)題意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC?tan37°≈16×0.75＝12（m），答：辦公樓的高度EB為12m．例4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進而可求解；②過點作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，有一天橋高為5米，是通向天橋的斜坡，，市政部門啟動“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使，則的長度約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的長度．【詳解】解：在中，，，∴米，在中，，，∴，∴（米），∴（米）故選：D．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北隨州·中考真題）如圖，已知點B，D，C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長，CD=BC-BD，從而列出等式，解得x即可．【詳解】設(shè)AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BC-BD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為米（結(jié)果精確到米）．

科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

【答案】19.2米【分析】如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，可得米，，．于是．解，得，從而（米），解中，（米）．于是（米）．【詳解】解：如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，∴米，．∴．∴．中，，（米）．∴（米）．中，，∴（米）．∴（米）．故答案為：19.2米．

【點睛】本題考查解直角三角形；添加輔助線，構(gòu)造直角三角形、矩形，從而運用三角函數(shù)求解線段是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達(dá)斜坡的底部點C處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測量點D處，在點D處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點A，B，C，D，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔的高度是___________．【答案】【分析】過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，設(shè)DF=xm，CF=xm，求出x=10，則BH=DF=+30，CF=m，DH=BF，再求出AH=，即可求解．【詳解】解：過D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，∵斜坡的斜面坡度i=1：，∴，設(shè)DF=xm，CF=xm，∴CD=，∴x=10，∴BH=DF=10m，CF=m，∴DH=BF=+30（m），∵∠ADH=30°，∴AH=（m），∴AB=AH+BH=（m），故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡角坡度問題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）在一次綜合實踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺，在高（）的平臺上的E處，測得B的仰角為．則該電視發(fā)射塔的高度為．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）

【答案】55【分析】如圖所示，過點E作于F，則四邊形是矩形，可得到；設(shè)，則，解得到，解得到，進而建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點E作于F，由題意得，，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：55．

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．

【答案】/【分析】過點作交于點，利用特殊角的三角函數(shù)值，列方程即可解答．【詳解】解：如圖，過點作交于點，

由題意可知,，設(shè)為x，，，根據(jù)，可得方程，解得，漁船與燈塔C的最短距離是海里，故答案為：．【點睛】本題考查了解解直角三角形-方位角問題，熟知特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到0.1m）【答案】背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m【分析】通過解直角三角形和，分別求出AD和BD的長，由求出AB的長．【詳解】解：在中，∵背水坡BC的坡度，∴，∴．在中，∵背水坡AC的坡度，∴，∴，∴．答：背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長度．8．（2023年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】銅像的高度是；【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴銅像的高度是；【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．9．（2023年海南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一艘輪船在處測得燈塔位于的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)處，測得燈塔位于的北偏東方向上，測得港口位于的北偏東方向上．已知港口在燈塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求燈塔到輪船航線的距離（結(jié)果保留根號）；(3)求港口與燈塔的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)30，45(2)燈塔到輪船航線的距離為海里(3)港口與燈塔的距離為海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定義與性質(zhì)可得，再由平行線的性質(zhì)可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，從而得到海里，再由進行計算即可；（3）作交于，作交于，證明四邊形是矩形，得到海里，，由計算出的長度，證明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案為：30，45；（2）解：如圖，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；燈塔到輪船航線的距離為海里；（3）解：如圖，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四邊形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口與燈塔的距離為海里．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當(dāng)他路過A，B兩點時，一架無人機從空中的C點處測得A，B兩點的俯角分別為30°和45°，，，，點A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無人機到平路DF的距離，求CE的長．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】的長約為【分析】延長交于點，過點B作，垂足為G，可得，，從而，，設(shè)，則，分別在直角和直角中求出的長，最后利用平角定義可得，從而在中，求出的長，再利用線段的和差關(guān)系計算即可解答．【詳解】解：如圖，延長交于點，過點B作，垂足為G，

由題意得：，，，，設(shè)，，則，在中，，在中，，，解得：，,，，在中，，，，，的長約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，小穎家所在居民樓高為，從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角是，而大廈底部D的俯角是．

(1)求兩樓之間的距離．(2)求大廈的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)兩樓之間的距離約為(2)大廈的高度為【分析】（1）過點A作于點E，易得，根據(jù)，即可求解：（2）易證四邊形為矩形，則，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：過點A作于點E，根據(jù)題意可得：，∴，∴，∵，，∴，即，解得：，答：兩樓之間的距離約為．

（2）解：根據(jù)題意可得：，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，答：大廈的高度為．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步驟．12．（2023年遼寧省錦州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測量此展板的最高點到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測得，，，，底座四邊形為矩形，．請幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點A到地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】【分析】過點A作于點G，與直線交于點H，過點B作于點M，過點D作于點N，分別解作出的直角三角形即可解答．【詳解】解：如圖，過點A作于點G，與直線交于點H，過點B作于點M，過點D作于點N，

∴四邊形，四邊形均為矩形，∴，，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，答：展板最高點A到地面的距離為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，熟練通過解直角三角形求相應(yīng)未知量是解題的關(guān)鍵．13．（2023年山東省濟南市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)車后蓋最高點到地面的距離為(2)沒有危險,詳見解析【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點

在中∵，∴∴∵平行線間的距離處處相等∴答：車后蓋最高點到地面的距離為．（2）沒有危險，理由如下：過作，垂足為點

∵，∴∵∴在中，∴．∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．∵∴沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點處時，他在該景觀燈照射下的影子長為，測得；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端處時，測得點的仰角為．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距離，點、、在同一條直線上，，，．求該景觀燈的高．（參考數(shù)據(jù)：，，

【答案】【分析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再根據(jù)垂直定義可得，從而證明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，

由題意得：，，設(shè)，在中，，，，，，，，，，，，，解得：，，該景觀燈的高約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，中心投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到素質(zhì)教育基地A和科技智能館B參觀學(xué)習(xí)，學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，走到C處時，發(fā)現(xiàn)A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老師將學(xué)生分成甲乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，請求出甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走多遠(yuǎn)的路程（參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走米的路程【分析】過B點作于點D，根據(jù)題意有：，，，進而可得，，，結(jié)合直角三角形的知識可得（米），（米），（米），即有（米），問題隨之得解．【詳解】如圖，過B點作于點D，

根據(jù)題意有：，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵（米），∴（米），∵在中，，（米），∴（米），∴（米），∴（米），∴（米），即（米），答：甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走米的路程．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及方位角的知識，正確理解方位角，是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）鄂州市蓮花山是國家級風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝活動．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點G處掛一條大型豎直條幅到點E處，掛好后，小明進行實地測量，從元明塔底部F點沿水平方向步行30米到達(dá)自動扶梯底端A點，在A點用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動扶梯到達(dá)扶梯頂端D點，測得點A和點D的水平距離為15米，且；然后他從D點又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點，在C點測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點均在同一個平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)25米(2)米【分析】（1）過D作于M，由可得，求出的長，利用勾股定理即可求解；（2）過點D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計算得出的長度，解直角三角形得出的長度，在中求得的長度，利用線段的和差，即可解決問題．【詳解】（1）解：過D作于M，如圖：

在中，，∵(米)，∴(米)，由勾股定理得(米)（2）如圖，過點D作于N，∵，∴四邊形是矩形，∴(米)，(米)，由題意，(米)，∵，∴，∴(米)，（米），由題意，，(米)，∴，∴(米)，∴米【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)真題）為測量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角：如圖1，后山一側(cè)有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測量山高：同學(xué)們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測量改進：由于測量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時，轉(zhuǎn)動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米．．【分析】（1）利用互余的性質(zhì)即可求解；（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分別求得和的長，得到方程，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，∴；

（2）解：在中，．∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高為69米；（3）解：如圖，由題意得，，

設(shè)山高，則，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．18．（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的