高三復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教師5（指導(dǎo)一-指導(dǎo)三）

指導(dǎo)一融會(huì)應(yīng)通10大解題技法，又快又準(zhǔn)解決高考客觀題

技巧——巧解客觀題的10大妙招

（一）選擇題的解法

題型祗述明要點(diǎn)思應(yīng)用

選擇題是高考試題的三大題型之一，浙江卷8個(gè)小題.該題型的基本特點(diǎn)：絕大部

分選擇題屬于低中檔題目，且一般按由易到難的順序排列，注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小

型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，能充分考查靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

的能力.解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選

擇題最基本、最常用的方法，但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解

答，不但時(shí)間不允許，甚至有些題目根本無(wú)法解答，因此，我們還要研究解答選

擇題的一些技巧，總的來(lái)說(shuō)，選擇題屬小題，解題的原則是：小題巧解，小題不

能大做.

解題方法I示方法求突破

方法一直接法

直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則，通過(guò)準(zhǔn)

確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選

項(xiàng)''對(duì)號(hào)入座”作出相應(yīng)的選擇，從而確定正確選項(xiàng)的方法.涉及概念、性質(zhì)的辨

析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法.

【例1】（2016.山東卷）若函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩

點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=〃）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=evD.y=x3

解析對(duì)函數(shù)y=sin光求導(dǎo)，得y，=cos%，當(dāng)x=0時(shí)，該點(diǎn)處切線/i的斜率k

=1,當(dāng)X=n時(shí)，該點(diǎn)處切線，2的斜率女2=—1,'.k\'k2=—\,/./|±/2；對(duì)函

數(shù)y=\nx求導(dǎo)，得y=：（x>0）恒大于0,斜率之積不可能為一1；對(duì)函數(shù)y=ex

A.

求導(dǎo)，得了=e，恒大于0,斜率之積不可能為一1；對(duì)函數(shù)y=x\得V=3f恒大

于等于0,斜率之積不可能為-1.故選A.

答案A

探究提高直接法適用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得出正確的答案.平時(shí)練習(xí)

中應(yīng)不斷提高用直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確把握題目的特點(diǎn).用簡(jiǎn)便的方法巧解

選擇題是建立在扎實(shí)掌握“三基”的基礎(chǔ)上的，否則一味求快則會(huì)快中出錯(cuò).

【訓(xùn)練1】（2015?湖南卷）已知點(diǎn)A,B,C在圓_?+丁=1上運(yùn)動(dòng)，且A8_L3C.

若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）,則|或+而+的|的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

解析由A,B,C在圓/+9=1上，且...AC為圓直徑，故或+1=

2PO=(-4,0),設(shè)B(x,y),則f+尸=1且xW[—1,1],PB=(x-2,y),所以

成+而+反'=。-6,＞）.故|聞+而+反］=、-12x+37,：.x=~l時(shí)有最大值眄

=7,故選B.

答案B

方法二特例法

從題干（或選項(xiàng)）出發(fā)，通過(guò)選取特殊情況代入，將問(wèn)題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條

件的特殊函數(shù)或圖形位置進(jìn)行判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意

在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊

數(shù)列等.適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題.

【例2】（1）如圖，在棱柱的側(cè)棱4A和38上各有一動(dòng)點(diǎn)P,

Q滿足4P=BQ,過(guò)P,Q,C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分,

則其體積之比為（）

A.3：1B.2：1

C.4：1D.?。?

（2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=*x）恒不為零，同時(shí)滿足./U+y）=/U）：/b）,

且當(dāng)尤＞0時(shí)，/）＞1,那么當(dāng)xVO時(shí)，一定有（）

A.於)<一1B.-l<y(x)<0

C^)>1D.O<X%)<1

解析（1）將P、。置于特殊位置：P-A1,QfB,此時(shí)仍滿足條件AiP=8Q（=0）,

VABC-AIBICI

則有Vc=

AAIBVAIASC—3

（2）取特殊函數(shù).

設(shè)_/U）=2*，顯然滿足?！冈唬?八分和）（即且滿足x>0時(shí)，式》）>1,

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，即OV./U）<1.

答案（1）B（2）D

探究提高特例法解選擇題時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

第一，取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；

第二，若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情

況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解.

【訓(xùn)練2]等差數(shù)列｛斯｝的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3加項(xiàng)

和為（）

A.130B.170

C.210D.260

解析取m=l,依題意ai=30,?|+<22=100,則42=70,又｛m｝是等差數(shù)列，

進(jìn)而<23=110,故§3=210.

答案c

方法三排除法

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項(xiàng)，找到符合題

意的正確結(jié)論.篩選法（又叫排除法）就是通過(guò)觀察分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)提供的信息

或通過(guò)特例，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

【例3】⑴（2016?浙江卷）已知函數(shù)加:）滿足：,/）冽x|且式x）22',x￡R.（）

A.若則aWbB.若;則aWb

C.若4a）2|0|,貝Ua2bD.若人”）22〃，則“2/?

⑵設(shè)函數(shù)段）=[r'則滿足心。））=2儆）的a的取值范圍是（）

「21

A.y1B.[0,1]

C.§+8）D.[l,4-o0）

[x,x20,max{x,2"}=2",x^O,

解析⑴"=(…根據(jù)題意可取兀r)=<

max{—x,2X}=—x,x<0,

’2"

即段)={'y:下面利用特值法驗(yàn)證選項(xiàng).當(dāng)。=1,〃=一3時(shí)可排除選項(xiàng)A,

—x,x<0,

當(dāng)。=-5,人=2時(shí)可排除選項(xiàng)C,D.故選B.

(2)當(dāng)”=2時(shí)，10=/(2)=22=4>1,歡4))=臥叱.?“=2滿足題意，排除A,B

2②2“2

選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，1=1,用⑷)=2加)，滿足題意，排除

D選項(xiàng)，故答案為C.

答案(1)B(2)C

探究提高(1)對(duì)于干擾項(xiàng)易于淘汰的選擇題，可采用篩選法，能剔除幾個(gè)就先剔

除幾個(gè).

(2)允許使用題干中的部分條件淘汰選項(xiàng).

(3)如果選項(xiàng)中存在等效命題，那么根據(jù)規(guī)定——答案唯一，等效命題應(yīng)該同時(shí)排

除.

(4)如果選項(xiàng)中存在兩個(gè)相反的或互不相容的判斷，那么其中至少有一個(gè)是假的.

(5)如果選項(xiàng)之間存在包含關(guān)系，要根據(jù)題意才能判斷.

【訓(xùn)練3】(1)方程以2+2x+l=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是()

A.OVaWlB.a<l

C.aWlD.OVaWl或a<0

(2)已知/(?n'f+sine+J,則/(x)的圖象是()

解析(1)當(dāng)“=0時(shí)，x=—故排除A、D.當(dāng)a=l時(shí)，

x=—l,排除B.

(2)/(x)=^x2+sin^+x^=^x2+cosx,故/(x)=1￥+cosx)'=；x—sinx,記g(x)

=/(x),其定義域?yàn)镽,且g(—九)=；(—x)—sin(—x)=—&—sinj=lg(x),所以

g(x)為奇函數(shù)，所以排除B,D兩項(xiàng)，g'(x)=^—cosx,顯然當(dāng)gj時(shí)，

g1(x)<0,g(x)在(0,高上單調(diào)遞減，故排除C.選A.

答案(1)C(2)A

方法四數(shù)形結(jié)合法

根據(jù)題設(shè)條件作出所研究問(wèn)題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正

確的判斷，這種方法叫數(shù)形結(jié)合法.有的選擇題可通過(guò)命題條件的函數(shù)關(guān)系或幾何

意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性

質(zhì)，得出結(jié)論，圖形化策略是以數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的一種解題策略.

【例4】函數(shù)火x)=|x-2|—lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

解析由題意可知40的定義域?yàn)?0,+8).在同一直角

坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yi=|x—2|(x>0),y2=lnx(x>0)的圖

象，如圖所示：

由圖可知函數(shù)/U)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

答案C

探究提高圖形化策略是依靠圖形的直觀性進(jìn)行研究的，用這種策略解題比直接

計(jì)算求解更能簡(jiǎn)捷地得到結(jié)果.運(yùn)用圖解法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲

線、幾何圖形較熟悉，否則，錯(cuò)誤的圖象反而會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇.

【訓(xùn)練4】設(shè)a〉0,人〉0則()

A.若2a+2a=2b+3h,貝Icob

B.若2"+2a=2&+3。，貝Ua。

C.若2a-2a=2h-3b,貝Ua>b

D.若2a-2a=2h-3b,貝Ua<b

解析對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)函數(shù)兀。=2*+3心可知其為增函數(shù).由題意可知2"+3a>2"

+2a=2b+3b,所以知a〉b.則選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C、D,設(shè)函數(shù)g(x)

=2x—2x,h(x)=2x—3x,求導(dǎo)后可知g(x)與/?(x)在(0,+8)上均不是單調(diào)函數(shù)，

所以根據(jù)已給等式無(wú)法判斷久匕的大小.

答案A

方法五估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)程.因此，有些題目不必進(jìn)行

準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判

斷，這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次.

【例5】已知sin?=,+；，cos貝Itan￡■等于（）

3m~3

A--------R---------

9—m|9-m\

C.—1D.5

解析由于受條件sin26）+cos29=1的制約，加一定為確定的值進(jìn)而推知tan

JIn，n9

也是一確定的值，又彳VOVn,所以彳<?■<?■,故tan5>1.所以D正確.

答案D

探究提高估算法的應(yīng)用技巧：

估算法是根據(jù)變量變化的趨勢(shì)或極值的取值情況進(jìn)行求解的方法.當(dāng)題目從正面

解析比較麻煩，特值法又無(wú)法確定正確的選項(xiàng)時(shí)（如難度稍大的函數(shù)的最值或取值

范圍、函數(shù)圖象的變化等問(wèn)題）常用此種方法確定選項(xiàng).

【訓(xùn)練5】已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方

體的正視圖的面積不可能等于（）

A.lB取

=2'2

解析由俯視圖知正方體的底面水平放置，其正視圖為矩形，以正方體的高為一

邊長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)最小為1,最大為近，面積范圍應(yīng)為［1,例,不可能等于嚀a.

答案c

I月細(xì)總結(jié)探規(guī)律防失誤

1.解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、驗(yàn)證法和數(shù)形結(jié)合

法.但大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時(shí)要根據(jù)題干和選擇支兩方面的

特點(diǎn)靈活運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上

做文章，切忌盲目地采用直接法.

2.由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng)，稍不留心就會(huì)誤入

“陷阱”，應(yīng)該從正反兩個(gè)方向篩選、驗(yàn)證，既謹(jǐn)慎選擇，又大膽跳躍.

3.作為平時(shí)訓(xùn)練，解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”，

并注意及時(shí)總結(jié)，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.

（二）填空題的解法

題型極述「明要點(diǎn)思應(yīng)用「

填空題是高考試題的第二題型.從歷年的高考成績(jī)以及平時(shí)的模擬考試可以看出，

填空題得分率一直不是很高.因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)

式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，

由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想“快速”解答填空題，

則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?

在“巧”字上下功夫.

填空題的基本特點(diǎn)是：（1）具有考查目標(biāo)集中、跨度大、知識(shí)覆蓋面廣、形式靈活、

答案簡(jiǎn)短、明確、具體，不需要寫出求解過(guò)程而只需要寫出結(jié)論等特點(diǎn)；（2）填空

題與選擇題有質(zhì)的區(qū)別：①填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)不受誘誤干擾，但

同時(shí)也缺乏提示；②填空題的結(jié)構(gòu)往往是在正確的命題或斷言中，抽出其中的一

些內(nèi)容留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活；（3）從填寫內(nèi)容看，主要

有兩類：一類是定量填寫型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系.由于填空題缺

少選項(xiàng)的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn)；另一類是定性填寫型，

要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或填寫給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如命題真

假的判斷等.

解題方法I示方法求突破

方法一直接法

對(duì)于計(jì)算型的試題，多通過(guò)直接計(jì)算求得結(jié)果，這是解決填空題的基本方法.它是

直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過(guò)巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法.

要善于透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識(shí)地采取靈活、簡(jiǎn)捷的解法解決問(wèn)題.

【例1】設(shè)B是雙曲線C：:一方=1(40,Q0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一

點(diǎn)，若|PB|十|PF2l=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為.

解析設(shè)尸點(diǎn)在雙曲線右支上，由題意得

1PF1I+IP尸2|=6a,

<

]PFi\-\PF^=2a,

故|PFi|=4a,\PF2\=2a,則|P3|V|BB|,

得NPFIF2=30°,

.2a_________4a

由sin30°=sinNPF2F1'

得sinZPF2F1=1,AZPF2FI=90°,

在Rt^PF2K中，2c=7(4a)?一(2a)2=2小a,

答案小

探究提高直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過(guò)程中，我們要根

據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問(wèn)題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活

應(yīng)用，將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵.

【訓(xùn)練1】(1)設(shè)。為第二象限角，若tan(0+3=g,則sin〃+cos〃=.

(2)隨機(jī)變量4的取值為0,1,2.若P(<=0)=1,E(?=l,則。(。=.

解析(l),an(0+3=3，tan6=—1,

3sin，=-cos0,

即,2〃,又。為第二象限角，

[sin2^H-cos2J=l,

解得sincos"=一今像.

/.sin0+cos，=一^

(2)由題意設(shè)P《=l)=p,/的分布列如下

012

14

P5P▼

31312

由E?=1,可得p=g,所以。?=12X5+02x5+12x5=5.

答案⑴一邛(2)|

方法二特殊值法

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提

供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰

當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模

型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論.

【例2】⑴若/U)=20]；_]+a是奇函數(shù),則。=.

(2)如圖所示，在平行四邊形A3CQ中，APL8D,垂足為P,i

//

且AP=3,則辦?慶=.B°c

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)式X)是奇函數(shù)，且1,-1是其定域內(nèi)的值，所以式-1)=一次1),

而11)=2014+“'1)=2015'—]+rz=fl-2014,

故。一端=一(。+加,解得

(2)把平行四邊形ABCO看成正方形，則點(diǎn)尸為對(duì)角線的交點(diǎn)，AC=6,則辦?證

=18.

答案(l)g⑵18

探究提高求值或比較大小等問(wèn)題的求解均可利用特殊值代人法，但要注意此種

方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問(wèn)題或者有多種答案的填

空題，則不能使用該種方法求解.

【訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)〃是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的A

直線與直線AB、AC分別交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若?=%屈，AQB//

=//AC,則++!=-

解析由題意可知，的值與點(diǎn)P、。的位置無(wú)關(guān)，而當(dāng)直線PQ與直線BC

AJJ

重合時(shí)，則有2=〃=1,所以++~^=2.

答案2

方法三圖象分析法

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，往

往能迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果.韋恩圖、三角函數(shù)線、函

數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形.

【例3】⑴已知危)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x￡［0,3)時(shí)，於尸

"―2%+也.若函數(shù)尸/㈤一a在區(qū)間［―3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

”gx|(OVxWlO),

(2)已知函數(shù)1若a,b,C互不相等，且&z)=/S)=/(c)，

|一/+6(x>10),

則abc的取值范圍是.

解析(1)函數(shù)在區(qū)間［-3,4］上有互不相同’

的10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=/(x),3,4］與y=a的：%I：

圖象有10個(gè)不同交點(diǎn).在坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=/(x)在：/i/：

-VTxZ---.3-,

［-3,4］上的圖象，?—3)=|-2)=人一1)=<0)=/(1)-廠?214”

=/2)=/(3)=/(4)=1,觀察圖象可得OVavg.

(2)a,b,c互不相等，不妨設(shè)a<b<c,

?:

如圖所示，由圖象可知，OVaVl,,k

1</?<10,10<c<12.羋三三

Ola1b10H2X

?］a)=膽)，，|lga|=|lg勿.

即lga=lg衛(wèi),a=B

則話=1.所以abc=c@(10,12).

答案(1)(0,(2)(10,12)

探究提高圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用

圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn).

準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果.

f+Zzx+c,xWO,

【訓(xùn)I練3】設(shè)函數(shù)?￥)="若|-4)=A0),大-2)=—2,則函

數(shù)y=g(x)=f(x)—x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

解析由式-4)=<0),得16-4A+c=c.

由八-2)=—2,得4—2/?+c=-2.

聯(lián)立兩方程解得〃=4,c=2.

在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=?x)與函數(shù)y=x的圖象，知它們有3個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn).

答案3

方法四構(gòu)造法

構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，

從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基

礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，

橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾

何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題快速解決.

【例4】如圖，已知球。的球面上有四點(diǎn)A,B,C,D,D4，平

面48。,48_18。,。4=48=8。=啦,則球0的體積等于./[\A

解析如圖，以。A,AB,8c為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外

?----------=?A

接球球。的半徑為R,則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球0的直徑，

所以|8|=7(6)2+(近)2+(6)2=27?,

A/64JI廣

所以/?=勺，故球。的體積丫=三一=#n.

答案乖n

探究提高構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件

和所要解決的問(wèn)題確定構(gòu)造的方向，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模

型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題.本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正

方體的體對(duì)角線，問(wèn)題很容易得到解決.

【訓(xùn)練4】已知a=]n2013-2013,2014-2014,c=ln2015-2015,

則a,b,c的大小關(guān)系為.

1]-

解析令危)=lnx—x,則/(x)=;—

當(dāng)OVxVl時(shí)，f(x)>0,

即函數(shù)兀v)在(0,1)上是增函數(shù).

*1>2013>2014>2015>0,.'.a>b>c.

答案a>b>c

方法五綜合分析法

對(duì)于開放性的填空題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件的特征綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行觀察、分析,

從而得出正確的結(jié)論.

【例5】已知/U)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)無(wú)20時(shí)，有/U+l)=-/(x),且當(dāng)

xG[O,1)時(shí)，/)=log2(x+l),給出下列命題：①/(2013)+大一2014)的值為0；

②函數(shù)式x)在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；③直線y=x與函數(shù).*x)的圖象有1

個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)/U)的值域?yàn)?-1,1).其中正確的命題序號(hào)有.

解析根據(jù)題意，可在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x和函數(shù)兀X)的圖象如下：

根據(jù)圖象可知①A2013)+/-2014)=0正確，②函數(shù)在定義域上不是周期函

數(shù)，所以②不正確，③根據(jù)圖象確實(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以正確，④根據(jù)圖象，函

數(shù)/U)的值域是(一1,1),正確.

答案①③④

探究提高對(duì)于規(guī)律總結(jié)類與綜合型的填空題，應(yīng)從題設(shè)條件出發(fā)，通過(guò)逐步計(jì)

算、分析總結(jié)探究其規(guī)律，對(duì)于多選型的問(wèn)題更要注重分析推導(dǎo)的過(guò)程，以防多

選或漏選.做好此類題目要深刻理解題意，捕捉題目中的隱含信息，通過(guò)聯(lián)想、歸

納、概括、抽象等多種手段獲得結(jié)論.

【訓(xùn)練5】設(shè)若x>0時(shí)均有［(a—l)x—l］(f—ax-1)^0,貝Ia=.

解析對(duì)a進(jìn)行分類討論，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合解決.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式可化為：x>0時(shí)均有f—九一1W0,由二次函數(shù)的圖象知，

顯然不成立，二

⑵當(dāng)a<l時(shí)，x>0,(a—l)x—1<0,不等式可化為：

x>0時(shí)均有f—ax—1W0,,二次函數(shù)yuf—ax—l的圖象開口向上，，不等式

x2—ax—1W0在xE(0,+8)上不能均成立，/.^<1

不成立.：

⑶當(dāng)時(shí)，令?r)=(a—l)x—1,^(x)=x2—ar—1,二廠-…i

兩函數(shù)的圖象均過(guò)定點(diǎn)(0,—1),.,.兀V)在—\o

九e(0,+8)上單調(diào)遞增，且與*軸交點(diǎn)為匕匕，0),

即當(dāng)xe(0,士)時(shí)，./U)<0，當(dāng)xe［占，+,時(shí)，危)>0.

又?二次函數(shù)8⑴二/一如一1的對(duì)稱軸為x=5>0,則只需8⑴二/一如一1與x

軸的右交點(diǎn)與點(diǎn)(占，0)重合，如圖所示，則命題成立，即(吉，。)在g(x)圖象

上，所以有年1)—1=0,整理得2/-3a=0,解得a=|,a=0(舍去).

3

綜上可知a=^

3

答案2

IJ3細(xì)總結(jié)探規(guī)律防失誤

1.解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對(duì)于帶有一般性命題的填空題可采

用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法.解題時(shí)，常常需要幾種

方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果.

2.解填空題不要求求解過(guò)程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空

題時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：

(1)要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確；

(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；

(3)要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn).

指導(dǎo)二全而掌握解答題的7個(gè)模板，規(guī)范答題拿高分

規(guī)范——解答題的7個(gè)解題模板及得分說(shuō)明

題型概述"明要點(diǎn)】思應(yīng)用「

1.閱卷速度以秒計(jì)，規(guī)范答題少丟分

高考閱卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)非常細(xì)，按步驟、得分點(diǎn)給分，評(píng)閱分步驟、采“點(diǎn)”給分.

關(guān)鍵步驟，有則給分，無(wú)則沒(méi)分.所以考場(chǎng)答題應(yīng)盡量按得分點(diǎn)、步驟規(guī)范書寫.

2.不求巧妙用通法，通性通法要強(qiáng)化

高考評(píng)分細(xì)則只對(duì)主要解題方法，也是最基本的方法，給出詳細(xì)得分標(biāo)準(zhǔn)，所以

用常規(guī)方法往往與參考答案一致，比較容易抓住得分點(diǎn).

3.干凈整潔保得分，簡(jiǎn)明扼要是關(guān)鍵

若書寫整潔，表達(dá)清楚，一定會(huì)得到合理或偏高的分?jǐn)?shù)，若不規(guī)范可能就會(huì)吃虧.

若寫錯(cuò)需改正，只需劃去，不要亂涂亂劃，否則易丟分.

4.狠抓基礎(chǔ)保成績(jī)，分步解決克難題

(1)基礎(chǔ)題爭(zhēng)取得滿分.涉及的定理、公式要準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)語(yǔ)言要規(guī)范，仔細(xì)計(jì)算，爭(zhēng)

取前3個(gè)解答題及選考不丟分.(2)壓軸題爭(zhēng)取多得分.第(I)問(wèn)一般難度不大，要保

證得分，第(H)問(wèn)若不會(huì)，也要根據(jù)條件或第(I)問(wèn)的結(jié)論推出一些結(jié)論，可能就

是得分點(diǎn).

解題方法示方法求突破

模板1三角變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)問(wèn)題

［真題］（2015?天津卷X滿分13分）已知函數(shù),/（x）=sin2x-sin?9■―高，xGR.

（I）求人工）的最小正周期；

（II）求y（x）在區(qū)間一行，z■上的最大值和最小值.

滿分解答得分說(shuō)明解題模板

.-1—cos2x

解（I）由已知，有式x）=―

第一步化簡(jiǎn)：利用輔

①無(wú)化簡(jiǎn)過(guò)程，直接得到

助角公式化段）為丫=

Ar）=$in（2x-。），扣5

Asin（ox+9）+k的形

式.

分；

第二步整體代換：設(shè)

②化簡(jiǎn)結(jié)果錯(cuò)誤，中間某

t=（-Jx+（p,確定t的范

一步正確，給2分.

圍.

所以7（x）的最小正周期丁=號(hào)=11.（7分）

第三步求解：利用y

=sint的性質(zhì)求丫=

JIJIAsin（（wx+9）+k的單調(diào)

（11）因?yàn)槎危┰趨^(qū)間一X、一?■上是減函數(shù)，

性、最值、對(duì)稱性等.

③單調(diào)性正確，計(jì)算錯(cuò)

在區(qū)間一看，y上是增函數(shù)，（10分）第四步反思：查看換

誤，扣2分；

元之后字母范圍變化，

/_*）TdW6=小，④若單調(diào)性出錯(cuò)，給1分;

利用數(shù)形結(jié)合估算結(jié)

⑤求出2x—%■范圍，利用

（12分）果的合理性，檢查步驟

的規(guī)范性.

所以兀V）在區(qū)間一孑，亍上的最大值為/,最小數(shù)形結(jié)合求最值，同樣得

分.

值為（13分）

【訓(xùn)I練11(2017?河北五校質(zhì)檢)已知函數(shù)於)=cos尤sin(x+

2

■y)-^/3cosx+~^9x￡R.

(1)求於)的最小正周期；

(2)求段)在閉區(qū)間一不，彳上的最大值與最小值.

解(l)/(x)=cosxsin^x+^—A/3COS2X+^

二臥112x—/(I+cos2x)+j

ii(吟

=[sin2x—^-cos21=耍叫2%—？|.

2n

所以7(%)的最小正周期T=2=兀.

JTJlJlJl

(2)因?yàn)閥u)在區(qū)間［一］，一巨|上是減函數(shù)，在區(qū)間［一伙，上是增函數(shù),

所以函數(shù)於)在閉區(qū)間一亍，十上的最大值為《，最小值為一g.

模板2三角變換與解三角形考題

［真題］（2015?全國(guó)n卷）（滿分12分）在△ABC中，點(diǎn)。是上的點(diǎn),AD平分NB4C,

△ABD是△ADC面積的2倍.

,,sinB

（TI）求sinC

（11）若4。-1,DC=^~,求8。和AC的長(zhǎng).

滿分解答得分說(shuō)明解題模板

解（I）因?yàn)镾^BD^AB-ADsinZBAD,①用了面積表達(dá)式，第一步找條

即兩個(gè)表達(dá)式寫對(duì)得件：尋找三角形

S^ADC=^AC-ADsinZCAD.（2分）中已知的邊和

2分；

角，確定轉(zhuǎn)化方

又因?yàn)镾AABD=2SAADC，/BAD=NCAD,

②得出A3=2AC得1向.

所以AB=2AC.（3分）

分；第二步定工

由正弦定理可得黑一器一，（5分）

③給出結(jié)果得2分；具：根據(jù)已知條

件和轉(zhuǎn)化方向，

④得出也得1

*儂_更什一絲力「—正選擇使用的定理

（11泅為以曲-1”「。。'?！?2'分；和公式，實(shí)施邊

W）Ch

⑤正確寫出余弦定理角之間的轉(zhuǎn)化.

所以BD=?6分）第三步求結(jié)

得2分；

在△A5O和△ADC中,由余弦定理得果：根據(jù)前兩步

⑥得出關(guān)于AB.AC分析，代入求值

AB2=AD2+BD2-2ADBDCOSZADB,

的關(guān)系式得2分；得出結(jié)果.

ACQ=AD2+DC2-2ADZ）CcosZADC.（8

第四步再反

分）⑦得出AC=1得2分.

思：轉(zhuǎn)化過(guò)程中

因?yàn)閏osZADB=~cosZADC,

要注意轉(zhuǎn)化的方

所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=

向，審視結(jié)果的

6.（10分）合理性.

由（I）知A3=2AC,所以AC=1.（12分）

【訓(xùn)練2】（2017?山西四校聯(lián)考一）已知△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分

別為a,b,c,且2sin2C=3sinAsinB.

⑴求角C；

（2）若SAABC=，5，求邊C.

3

解（l）：2sin2c=3sinAsinB,Asin2C=2s^nB,

由正弦定理得，=|出2,

\*a+b=y[3c,/.a2+b2+2ab=3c2,

由余弦定理得

屋+/一/2c2—2。。3ab—2ab1

C0SC=_lab-=lab=lab=2-

JI

VCe（O,n）,AC=y.

（2）*??S/\ABC~\[^9?'?SAABC=Z"'sinC,

丁,ah=4,Xc2=^ah,，c=雜

.模板3數(shù)列的通項(xiàng)、求和考題

［真題］（2015?天津卷）（滿分13分）已知數(shù)列他“｝滿足斯+2=q%（q為實(shí)數(shù)，且°片1）,"GN*,0=1,

42=2,且〃2+〃3，43+〃4，出+室成等差數(shù)列.

（I）求4的值和｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（11）設(shè)為=皿外,〃€1^,求數(shù)列｛歷,｝的前"項(xiàng)和.

a2n7

滿分解答得分說(shuō)明解題模板

解（I）由已知,有（的+。4）—（。2+。3）=（。4+。5）—（的十。4），①根據(jù)數(shù)列相第一步找關(guān)系：根

即。4一〃2=。5—〃3，所以。2（q—1）=430—1），鄰兩項(xiàng)間的關(guān)據(jù)已知條件確定數(shù)列

又因?yàn)閝Wl,故仍=。2=2,由〃3=。q，得4=2.（3分）系確定q=2得的項(xiàng)之間的關(guān)系.

八一13分；第二步求通項(xiàng)：根

當(dāng)凡=2%—1（%￡N*）時(shí)，a=a2k-i=2k~l=22；

n②根據(jù)遞推公據(jù)等差或等比數(shù)列的

n

式求數(shù)列的通通項(xiàng)公式或利用累

當(dāng)鹿=2M%WN*）時(shí),m=。2太=2"=22.

項(xiàng)得3分.力口、累乘法或前”項(xiàng)

12^,〃為奇數(shù)，

所以，｛?！ǎ耐?xiàng)公式為處=j“（6分）和S,與小的關(guān)系求數(shù)

列的通項(xiàng)公式.

區(qū)〃為偶數(shù).

③求新數(shù)列第三步定方法：根

（II）由（I）得bn——”-「（7分）

。2〃一1乙

出"｝的通項(xiàng)bn據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)

設(shè)｛?。那啊绊?xiàng)和為S”

得1分；特征確定求和方法

xnX,

則S"—1義2。+2乂21+3*223----卜(〃l)2n-2+2?-i④根據(jù)數(shù)列表（常用的有公式法、裂

達(dá)式的結(jié)構(gòu)特項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減

（8分）

征確定求和方法、分組法等）.

9S?-1X2l+2X22+3X23H------F(a1)X2?-I+?X2?.

法得6分.第四步寫步驟.

（9分）第五步再反思：檢

L.決而:PHl殂1c1?1?1I…?L〃查求和過(guò)程中各項(xiàng)的

上還四工1不日瓶信：2品一1十2十？2十十2”一12"

符號(hào)有無(wú)錯(cuò)誤，用特

-2"2nm八殊項(xiàng)估算結(jié)果.

]2〃22〃2“9（10刀）

1-2

〃+2

整理得，S?-42”「"GN*.（12分）

所以，數(shù)列｛辦｝的前〃項(xiàng)和為42”-1，〃6N*.（13分）

【訓(xùn)練3】（2016?石家莊一模）已知等差數(shù)列｛斯｝中，2a2+。3--a5=20,且前10

項(xiàng)和Sio=lOO.

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛&”?2斯｝的前n項(xiàng)和.

解(1)設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬樨烙梢阎?/p>

2。2+。3+。5=4。1+84=20,

',10X9,

10<7|+―2-d=10ai+45t/=100,

fai=l，

解得，.

[d=2.

所以數(shù)列斯的通項(xiàng)公式為斯=1+2(〃-1)=2〃-1.

⑵由⑴可知an?2m=(2〃-1>22"-1,

所以S?=1X21+3X23+5X254--b(2n-3)X22n-3+(2n-1)X22n-1,①

4S?=1X23+3X25+5X274---F(2n-3)X22n-1+(2n-1)X22n+1,②

①一②得：

-3S?=2+2X(23+254---F22"T)一(2〃-1)X22"+].

.2+2X(23+25+-+22,,-|)-(2〃-1)X22n+,

??Sn=n

8(1—4f、,

2+2X------:------------(2?-l)X22,,+lI

1—4

―-3

—6+2X8(1—4廠1)+(6〃-3)X22"i

=9

10(6/7-5)-22n+1

=~9+9?

模板4離散型隨機(jī)變量及其分布考題

［真題］(2015?湖南卷)(滿分12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，

每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1

個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，

則不獲獎(jiǎng).

(I)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；

(H)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

滿分解答得分說(shuō)明解題模板

第一步定元:根據(jù)

解(I)記事件4=｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝,

己知條件確定離散

A2=｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝,

型隨機(jī)變量的取值.

5=｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝,給=｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝,