數(shù)學(xué)版本章整合學(xué)案：第三章三角恒等變換

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一三角函數(shù)式的求值問題三角函數(shù)式求值問題通常包括三種類型：給角求值,給值求值，給值求角．(1）給角求值：一般給出的角都是非特殊角,直接求解較難，需合理地進(jìn)行角的變換,應(yīng)用和差角公式、倍角公式、半角公式，使其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值求解．（2）給值求值：即給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些三角函數(shù)式的值．解法規(guī)律是將所給的一個(gè)或幾個(gè)三角函數(shù)式根據(jù)問題的需要進(jìn)行恒等變換，使其轉(zhuǎn)化為所求函數(shù)式能夠使用的條件．解決問題的關(guān)鍵是結(jié)合條件和結(jié)論中的角,合理拆、配角．(3）給值求角：本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過往往求出的值是特殊角的三角函數(shù)值．在求角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的范圍確定所選取的函數(shù)的種類．給值求角的另一個(gè)難點(diǎn)是縮小角的范圍，使得在所確定的范圍內(nèi)滿足條件的角只有一個(gè)．有時(shí)僅根據(jù)已知條件是不夠的，還要根據(jù)三角函數(shù)值和函數(shù)單調(diào)性縮小角的范圍．【例1】已知α，β,γ均為銳角,且tanα＝，tanβ＝，tanγ＝,求α＋β＋γ的值．解:因?yàn)閠an（α＋β)＝＝＝,所以tan(α＋β＋γ)＝tan[(α＋β)＋γ］＝＝＝1．因?yàn)閠anα<1，tanβ〈1,tanγ<1,所以α，β，γ∈．所以α＋β＋γ∈．又因?yàn)閠an(α＋β＋γ)＝1，所以α＋β＋γ＝．專題二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)主要有以下幾類：(1）對(duì)三角的和式，基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式；（2)對(duì)三角的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或數(shù)值；（3）對(duì)二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式．在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個(gè)“化異為同”的過程,涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換，即“單角化倍角"“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段．【例2】化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）．分析：(1)由題目可獲取以下主要信息:－α與＋α互余；分子滿足二倍角余弦公式的結(jié)構(gòu)．(2)由于分子中有α，2α，3α三種角，故采取中間湊的思路：cosα＋cos3α＝cos（2α－α）＋cos(2α＋α)＝2cos2αcosα;分母可用升冪公式將sin2化為角α的三角函數(shù)，即sin2＝，分子、分母約分即可得解．解:（1)＝＝＝＝1．（2）＝＝＝＝＝4cosα．專題三三角函數(shù)式的證明問題解決此類問題的原則是：觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,一般是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，如果兩端都比較復(fù)雜，那就將兩端都化簡(jiǎn)，即采用“兩頭湊”的思想．證明的一般步驟是:先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異，然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的．【例3】已知tan（α＋β）＝3tanα．求證：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β）．分析：解答本題可先將已知等式切化弦，再設(shè)法推出待證等式．證明：tan（α＋β)＝3tanα，可變形為sin（α＋β）cosα＝3sinαcos（α＋β)?sin(α＋β）cosα－sinαcos(α＋β）＝2sinαcos(α＋β)?sin［(α＋β）－α］＝2sinα（cosαcosβ－sinαsinβ）?sinβ＝2sinαcosαcosβ－2sin2αsinβ?(1＋2sin2α）sinβ＝sin2αcosβ．當(dāng)cosβ＝0時(shí)，上式中因?yàn)?＋2sin2α≠0，所以sinβ＝0,矛盾．所以cosβ≠0，上式兩邊同乘以2cosβ，得(1＋2sin2α）sin2β＝sin2α2cos2β?sin2β＋(1－cos2α)sin2β＝sin2α（1＋cos2β)?2sin2β－sin2α＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝sin(2α＋2β），所以等式成立，即得證．專題四三角恒等變換與向量、三角函數(shù)的綜合問題解決這類問題，應(yīng)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積、平行與垂直的條件、夾角公式等知識(shí),撥去平面向量的“外衣”，直抵問題核心部分(即將向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題)，利用三角公式和三角函數(shù)恒等變換思想方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，使問題得以解決．【例4】已知A，B,C為銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，兩向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA）,q＝(sinA－cosA，1＋sinA），若p與q是共線向量．（1）求A的大小；(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos取最大值時(shí)B的大?。?（1）因?yàn)閜與q共線，所以2(1－sinA）(1＋sinA）－（cosA＋sinA）(sinA－cosA）＝2cos2A－（sin2A－cos2A）＝2cos2A－（－cos2A）＝2cos2A＋cos2A＝0，所以1＋2cos2A＝0，所以cos2A＝－．因?yàn)?〈2A〈π,所以2A＝120°,所以A＝60°．(2）因?yàn)锳＝60°，所以B＋C＝120°,即C＝120°－B，所以y＝2sin2B＋cos（60°－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin＋1．所以當(dāng)2B－＝，即B＝時(shí),y取最大值．專題五三角恒等變換中的數(shù)學(xué)思想1．整體思想整體思想是指在解決問題時(shí)把問題看成一個(gè)整體，不去分析問題的各構(gòu)成部分，而直接求解問題的整體形式，通過整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解的思維形式．【例5】已知θ是第三象限角,且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于（)A．B．－C．D．－解析：由＝sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ,得sin22θ＝．因?yàn)棣葹榈谌笙藿?，所?kπ＋π<θ〈2kπ＋，k∈Z．所以4kπ＋2π〈2θ<4kπ＋3π，k∈Z,故sin2θ＝，應(yīng)選A．答案：A2．函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是指利用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，并解決問題的思想方法；方程思想則是通過列方程或方程組求解相關(guān)量．在三角函數(shù)求值過程中常用方程思想求解某個(gè)函數(shù)的相應(yīng)值，再代入求解其他值．在求三角函數(shù)的最值時(shí)，常用轉(zhuǎn)化思想將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)，再借助于函數(shù)性質(zhì)求解．【例6】已知A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且tanA，tanB是方程x2＋mx＋(m＋1)＝0的兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析：利用韋達(dá)定理求出tanAtanB和tanA＋tanB,再求出tan（A＋B),確定A＋B的值，從而確定tanA，tanB的范圍，利用根的分布求出m的范圍．解：由題意可得Δ＝m2－4（m＋1）≥0，因?yàn)閠anA，tanB是方程x2＋mx＋(m＋1)＝0的兩個(gè)實(shí)根,所以tanA＋tanB＝－m，tanAtanB＝m＋1．所以tan(A＋B）＝＝＝1．又因?yàn)?〈A＋B〈π,所以A＋B＝．所以0<A〈，0<B〈，所以0<tanA<1，0<tanB〈1．即方程x2＋mx＋m＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根都在(0，1)內(nèi)，令f（x）＝x2＋mx＋m＋1，則即解得－1〈m≤2－2．所以m的取值范圍是(－1,2－2]．點(diǎn)評(píng)本題要注意內(nèi)角和A＋B＋C＝π，且A＋B,A＋C,B＋C均在（0，π)內(nèi)，研究根的情形要結(jié)合二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決．3．轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中應(yīng)用非常普遍，主要體現(xiàn)在：(1）化異角為同角；(2）化異名為同名；(3）化未知角為已知角；（4)化高次為低次（或平方、開方去掉無理式)；（5）化特殊為一般（如把已知三角函數(shù)值求特殊范圍內(nèi)的角，逐步化歸為求適合條件的所有角的集合)．在轉(zhuǎn)化時(shí)，要特別注意問題的等價(jià)性．【例7】化簡(jiǎn)：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β．分析：本題可以從角入手,把異角化為同角,也可以從三角函數(shù)名稱入手，把異名化為同名．解法一：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(cos2α－sin2α）(cos2β－sin2β）＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（cos2αcos2β－sin2αcos2β－cos2αsin2β＋sin2αsin2β)＝(sin2αsin2β＋cos2αcos2β＋sin2αcos2β＋cos2αsin2β）＝[sin2α（sin2β＋cos2β）＋cos2α(cos2β＋sin2β）］＝．解法二：原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β＝sin2αsin2β－sin2αcos2β＋cos2β－co