數(shù)學(xué)版章末測試：第二章推理與證明A

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章測評A（基礎(chǔ)過關(guān)卷）(時(shí)間:90分鐘滿分：100分）一、選擇題（本大題共10個小題,每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ"的證明過程為:“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其中應(yīng)用了(）A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證法2．設(shè)f（n）＝eq\f（1，n＋1)＋eq\f（1,n＋2)＋eq\f（1，n＋3)＋…＋eq\f（1，2n)（n∈N＋），那么f(n＋1)－f（n）等于()A.eq\f(1,2n＋1)B.eq\f(1,2n＋2） C。eq\f（1,2n＋1）＋eq\f(1,2n＋2)D。eq\f（1，2n＋1)－eq\f(1，2n＋2）3．如圖為某旅游區(qū)各景點(diǎn)的分布圖,圖中一條帶箭頭的線段表示一段有方向的路，試計(jì)算順著箭頭方向，從A到H不同的旅游路線的條數(shù)是（）A．15B．16C．17D．184．設(shè)數(shù)列｛an}滿足an＋1＝aeq\o\al（2，n）－nan＋1，n＝1，2,3,…，a1＝2，通過求a1，a2，a3猜想an的一個通項(xiàng)公式為（)A．n＋1B．nC．n＋2D．n－15．下列類比推理恰當(dāng)?shù)氖?）A．把a(bǔ)(b＋c）與loga（x＋y）類比，則有:loga（x＋y)＝logax＋logayB．把a(bǔ)(b＋c）與sin（x＋y）類比，則有：sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把（ab）n與（a＋b)n類比，則有：（a＋b)n＝an＋bnD．把a(bǔ)（b＋c)與a·（b＋c）類比，則有a·（b＋c)＝a·b＋a·c6．已知函數(shù)f(x）＝ax2＋3ax＋1,若f（x)＞f′(x）對一切x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜eq\f(4，13)B．a(chǎn)≥0 C．0＜a＜eq\f(4,13)D．0≤a＜eq\f(4，13）7．已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1，x）≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f（27，x3)≥4,…,可推廣為x＋eq\f（a，xn)≥n＋1，則a的值為（）A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn8．觀察下列事實(shí)：|x｜＋｜y｜＝1的不同整數(shù)解（x,y)的個數(shù)為4，｜x｜＋｜y｜＝2的不同整數(shù)解（x，y)的個數(shù)為8，｜x|＋|y｜＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12,…，則｜x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為()A．76B．80C．86D．929．分析法又叫執(zhí)果索因法,“若使用分析法證明:設(shè)a＞b＞c,且a＋b＋c＝0,求證：eq\r（b2－ac)＜eq\r(3)a"索的因應(yīng)是(）A．a(chǎn)－b＞0B．a(chǎn)－c＞0 C．（a－b)（a－c）＞0D．(a－b）(a－c)＜010．四個小動物換座位,開始時(shí)鼠、猴、兔、貓分別坐1,2，3，4號座位上(如圖)．第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位……這樣交替進(jìn)行下去,那么第2005次互換座位后，小兔的座位號是（）1鼠2猴3兔4貓開始1兔2貓3鼠4猴第一次1貓2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3貓4兔第三次A．1B．2C．3D．4二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中的橫線上）11．觀察1＝1，1＋3＝4,1＋3＋5＝9,1＋3＋5＋7＝16,…,猜想一般規(guī)律是__________．12．(2014課標(biāo)全國Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時(shí),甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說:我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可判斷乙去過的城市為__________．13．（2014陜西寶雞三模）觀察下列等式，24＝7＋934＝25＋27＋2944＝61＋63＋65＋67,……照此規(guī)律,第4個等式可為__________．14．(2014廣東佛山質(zhì)量檢測)在等差數(shù)列{an｝中，若am＝p，an＝q（m，n∈N＋，n－m≥1），則am＋n＝eq\f（nq－mp，n－m)。類比上述結(jié)論，對于等比數(shù)列｛bn｝(bn＞0，n∈N＋)，若bm＝r，bn＝s(n－m≥2，m，n∈N＋)，則可以得到bm＋n＝__________.15．(2014湖北武漢四月調(diào)研）在計(jì)算“1×2＋2×3＋…＋n（n＋1)”時(shí),某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k(k＋1）＝eq\f(1，3)[k(k＋1）（k＋2）－(k－1）k（k＋1)]．由此得1×2＝eq\f(1，3)（1×2×3－0×1×2)，2×3＝eq\f（1,3)（2×3×4－1×2×3），…n（n＋1)＝eq\f(1，3）［n（n＋1)（n＋2）－（n－1）n（n＋1)］．相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1）＝eq\f（1,3)n(n＋1)（n＋2）．類比上述方法，請你計(jì)算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n（n＋1)（n＋2）”，其結(jié)果是__________．（結(jié)果寫成關(guān)于n的一次因式的積的形式)三、解答題(本大題共4個小題，共40分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(8分）先解答(1）,再通過結(jié)構(gòu)類比解答(2)．（1)求證：taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,4）))＝eq\f(1＋tanx，1－tanx)；(2）設(shè)x∈R，a為非零常數(shù)，且f（x＋a)＝eq\f(1＋f（x），1－f（x））,試問:f(x）是周期函數(shù)嗎？請證明你的結(jié)論．17．(10分）蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖,其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n個圖的蜂巢總數(shù)．（1）試給出f（4)，f(5）的值,并求f（n)的表達(dá)式(不要求證明）；(2）證明eq\f(1，f（1））＋eq\f（1,f（2))＋eq\f（1,f(3))＋…＋eq\f（1,f(n））＜eq\f（4，3）。18．(10分)等差數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2），S3＝9＋3eq\r(2)。(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;（2)設(shè)bn＝eq\f（Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列｛bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．19．（12分)設(shè)函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f(1,x＋b)（a，b∈Z)，曲線y＝f（x)在點(diǎn)（2，f(2））處的切線方程為y＝3.（1）求f（x）的解析式；(2）證明：函數(shù)y＝f（x）的圖象是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心；(3）證明：曲線y＝f（x）上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值,并求出此定值．

參考答案1。答案：B2。解析：f(n＋1）－f（n）＝eq\f(1,（n＋1)＋1）＋eq\f(1,(n＋1）＋2)＋…＋eq\f(1，2n)＋eq\f（1,2n＋1）＋eq\f(1,2(n＋1)）－f（n）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2）＋\f(1,n＋3）＋…＋\f（1，2n）＋\f(1，2n＋1）＋\f（1,2n＋2））)－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，n＋1)＋\f（1,n＋2)＋…＋\f（1，2n))）＝eq\f(1,2n＋1）＋eq\f（1，2n＋2)－eq\f（1，n＋1）＝eq\f（1，2n＋1）－eq\f(1,2（n＋1)）。答案：D3.解析：如果一條一條地去數(shù)，由于道路錯綜復(fù)雜，哪些已經(jīng)算過，哪些沒有算過就弄不清楚了，所以我們換一條思路,用分析法試試．要到H點(diǎn)，需從F，E,G走過來，F(xiàn)，E，G各點(diǎn)又可由哪些點(diǎn)走過來……這樣一步步倒推,最后歸結(jié)到A，然后再反推過去得到如下的計(jì)算法：A到B,C,D的路線條數(shù)記在B，C，D圓圈內(nèi),B，C，D分別到F,E，G的路線條數(shù)亦記在F，E，G圓圈內(nèi)，最后F，E,G內(nèi)的路線條數(shù)之和即為從A到H的路線的總條數(shù)，如下圖所示．答案：C4.解析：由a1＝2，可求得a2＝3，a3＝4，從而可猜想an＝n＋1。答案：A5。答案:D6.解析:f(x）＞f′(x),即ax2＋3ax＋1＞2ax＋3a，所以ax2＋ax＋1－3a＞0對一切x恒成立．故eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0,，不等式成立))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a>0，，Δ<0，)）解得a＝0或0＜a＜eq\f(4，13），∴0≤a＜eq\f（4,13)。答案:D7.解析：經(jīng)類比可知答案為D.答案:D8。答案：B9。解析:因?yàn)閍＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以3c＜a＋b＋c＜3a，即a＞0，c＜0。要證＜eq\r(3)a，只需證b2－ac＜3a2,只需證(a＋c)2－ac＜3a2，只需證2a2－ac－c2＞0，只需證（a－c)（2a＋c)＞0，只需證2a＋c＞0(a＞0,c＜0，則a－c＞0）,只需證a＋c＋(－b－c）＞0，即證a－b＞0,顯然成立，故選A.答案:A10。解析：由題意知第1次互換座位后與第5次互換座位后排列順序一樣，所以第2005次互換座位后小兔在1號座位上．答案：A11.答案：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n212。解析:由丙的說法“三人去過同一城市”知乙至少去過一個城市，而甲說去過的城市比乙多，且沒去過B城市，因此甲一定去過A城市和C城市．又乙沒去過C城市，所以三人共同去過的城市必為A，故乙去過的城市就是A。答案：A13。解析：由方框中的規(guī)律可以看出，24＝7＋9,共兩項(xiàng)和，且7＝23－1，34＝25＋27＋29，共三項(xiàng)和，且25＝33－2，44＝61＋63＋65＋67，共四項(xiàng)和，且61＝43－3,故54應(yīng)為五項(xiàng)和,且開始數(shù)為53－4＝121，故第四個等式為54＝121＋123＋125＋127＋129.答案：54＝121＋123＋125＋127＋12914。解析：設(shè)公比為q，sn＝bn1qn（n－1)，rm＝bm1qm(m－1)，eq\f（sn,rm)＝beq\o\al(,n－m)1q(n－m）(n＋m－1)，bm＋n＝eq\r(n－m，\f(sn,rm)）＝b1qn＋m－1。答案：bm＋n＝eq\r(n－m,\f（sn,rm)）15。解析：先改寫第k項(xiàng):k(k＋1)(k＋2)＝eq\f（1,4）［k（k＋1)(k＋2）（k＋3）－（k－1)k（k＋1）（k＋2)]．由此得1×2×3＝eq\f(1，4）(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝eq\f(1,4）（2×3×4×5－1×2×3×4）……n(n＋1）（n＋2)＝eq\f（1,4)［n（n＋1）（n＋2)（n＋3)－(n－1）n（n＋1）(n＋2）］，相加，得1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)（n＋2）＝eq\f（1,4）n（n＋1）(n＋2）(n＋3)．答案:eq\f(1，4）n(n＋1)(n＋2)(n＋3)16.分析：若函數(shù)f（x）是以T為周期的函數(shù)，則應(yīng)有f(x＋T）＝f（x），根據(jù)條件構(gòu)造方程證明．(1）證明：taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4)））＝eq\f(tanx＋tan\f（π,4)，1－tanx·tan\f(π,4))＝eq\f（1＋tanx,1－tanx）,證得taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，4)）)＝eq\f（1＋tanx,1－tanx).（2）解:f（x）不是周期函數(shù)．證明如下:假設(shè)f（x）是周期函數(shù),且周期為T,則有f(T＋x)＝f（x），則f（x＋T)＝eq\f（1＋f(x)，1－f（x）)＝f（x），1＋f(x）＝f（x)－f2（x），有f2（x)＝－1，而f2（x）≥0,由此得出矛盾，故假設(shè)不成立，所以f(x）不是周期函數(shù)．17。分析：通過f（1）,f（2)，f(3），f(4），f(5）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得f(n）的表達(dá)式，借助放縮法、裂項(xiàng)求和法證明第（2）問．解：（1)f（4)＝37,f（5)＝61.由于f（2）－f（1)＝7－1＝6，f(3）－f(2）＝19－7＝2×6，f（4）－f(3)＝37－19＝3×6,f（5）－f（4）＝61－37＝4×6,…因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n）－f（n－1）＝6（n－1），所以f(n）＝［f(n)－f（n－1）]＋［f(n－1)－f(n－2）]＋…＋[f(2)－f(1）］＋f（1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1）＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1。（2）證明：當(dāng)k≥2時(shí),eq\f(1,f(k))＝eq\f（1,3k2－3k＋1)＜eq\f（1，3k2－3k)＝eq\f(1，3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，k－1）－\f（1，k)）)，所以eq\f(1，f（1)）＋eq\f(1,f（2))＋eq\f（1，f(3)）＋…＋eq\f(1,f（n）)＜1＋eq\f（1，3）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,2)))＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）－\f（1，3）)）＋…＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，n－1)－\f(1,n）））))＝1＋eq\f(1，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，n)）)＜1＋eq\f（1，3)＝eq\f（4，3).18。（1)解：由已知得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2）＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r（2），）)∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n（n＋eq\r（2)）．(2）證明：由(1）得bn＝eq\f(Sn，n)＝n＋eq\r（2）.假設(shè)數(shù)列｛bn}中存在三項(xiàng)bp,bq，br（p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則b2q＝bpbr，即(q＋eq\r（2）)2＝(p＋eq\r(2)）（r＋eq\r(2）)．∴（q2－pr)＋eq\r（2）（2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0。))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（p＋r,2）)）