數(shù)學(xué)本章檢測：第一章坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章檢測一、選擇題(每小題5分，共60分)1。將一個圓作伸縮變換后所得到的圖形不可能是…（）A.橢圓B。比原來大的圓C.比原來小的圓D.雙曲線答案：D2。在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(-2，)的位置,可按如下規(guī)則確定()A.作射線OP，使∠xOP=，再在射線OP上取點(diǎn)M,使｜OM｜=2B。作射線OP,使∠xOP=，再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM｜=2C.作射線OP，使∠xOP=,再在射線OP的反向延長線上取點(diǎn)M，使｜OM|=2D.作射線OP，使∠xOP=—,再在射線OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2答案：B3.極坐標(biāo)方程sinθ=（ρ∈R）表示的曲線是（)A。兩條相交直線B.兩條有公共點(diǎn)的射線C.一條直線D.一條射線答案：A4。直角坐標(biāo)為(—3，4）的點(diǎn)的極坐標(biāo)可能是（）A。（5，arctan（-））B.(5，arcsin）C。(—5,-arccos）D.(—5,arccos（—)）答案：C5.將極坐標(biāo)(2，）化為直角坐標(biāo)為()A。（0,2)B。(0,-2)C。(2,0）D。(—2,0）答案：B6。極坐標(biāo)方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲線是……()A。直線B.圓C.雙曲線D.拋物線答案：B7.極坐標(biāo)平面內(nèi)，集合P={(ρ，θ）｜sinθ=—，ρ∈R｝與集合S=｛（ρ，θ)｜c(diǎn)osθ=，ρ∈R｝之間的關(guān)系是（）A。PSB。PSC.P=SD.P∩S=｛(0，0）｝答案：C8（經(jīng)典回放)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1,π）,那么過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為…(）A。ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=—D。ρ=答案：C9.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(6，π）作圓ρ=-4cosθ的切線,則切線長為()A。2B。6C.2D。2答案：C10.一個三角形的一個頂點(diǎn)在極點(diǎn)，其他兩個頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為P1（—5,109°），P2（4,49°），則這個三角形P1OP2的面積為（）A.5B.10C。D.10答案：A11.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)（1，1）為圓心，1為半徑的圓的方程是()A。ρ=2cos(θ—)B.ρ=2sin（θ-)C.ρ=2sin(θ-1)D.ρ=2cos（θ-1）答案:D12。已知曲線C與曲線ρ=5rcosθ—5sinθ關(guān)于極軸對稱,則曲線C的方程是（)A。ρ=-10cos(θ-)B。ρ=10cos（θ—)C。ρ=—10cos(θ+)D。ρ=10cos（θ+)答案：B二、填空題（每小題4分,共16分)13。將直角坐標(biāo)P(—1,—3）化為極坐標(biāo)（ρ〉0,0≤θ〈2π)______________.答案:(2,)14.極坐標(biāo)方程ρcosθ=sin2θ所表示的曲線是______________。答案：一條直線或一個圓15.在同一平面直角坐標(biāo)系中,由橢圓+=1變成圓x′2+y′2=1的伸縮變換公式為_____________.答案：16.曲線θ=0,θ=(ρ≥0)和ρ=4所圍成的面積是______________.答案:三、解答題（共74分）17。(本小題滿分12分）設(shè)有一顆彗星,圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行,地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球為30（萬千米)時,經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為30°，試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出彗星此時的極坐標(biāo).解：如圖,建立極坐標(biāo)系,使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處，極軸Ox過拋物線的對稱軸,由題設(shè)可得下列情形：(1)當(dāng)θ=30°時，ρ=30（萬千米);（2）當(dāng)θ=150°時，ρ=30（萬千米）;(3)當(dāng)θ=210°時,ρ=30(萬千米)；（4）當(dāng)θ=330°時，ρ=30（萬千米）.∴彗星此時的極坐標(biāo)有四種情形:（30,30°)，(30,150°）,（30,210°）,(30,330°).18.(本小題滿分12分)(1）將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：①（x2+y2）2=2a2xy;②x-3y=0。(2)將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：①ρ2=cos2θ;②ρ=.解:（1）①由(x2+y2）2=2a2xy,得ρ4=2a2ρ2cosθsinθ.∴ρ2=2a2cosθsinθ，即ρ2=a2sin2θ.②由x—3y=0，得ρcosθ-3ρsinθ=0,tanθ=?！唳?arctan.（2)①ρ2=cos2θ兩邊同時乘以ρ2，得ρ4=ρ2cos2θ=（ρcosθ)2.∴(x2+y2)2=x2，即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示兩個圓.②方程可化為2ρ—ρcosθ=4,即2ρ=4+x，兩邊平方得4ρ2=(x+4)2.4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2—8x+4y2=16.19。（本小題滿分12分）已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點(diǎn)P,使|PA|2+|PB|2+｜PC｜2最小，并求出此最小值。解:如下圖,以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，a），B(,0)，C（，0）。設(shè)P(x,y),則｜PA｜2+｜PB｜2+|PC｜2=x2+(y—a）2+（x+）2+y2+(x-）2+y2=3x2+3y2—+=3x2+3（y)2+a2≥a2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=時，等號成立，∴所求最小值為a2，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,）,是正三角形ABC的中心.20.（本小題滿分12分)已知定點(diǎn)A（a,0),動點(diǎn)P對極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角∠OPA=，在OP的延長線上取點(diǎn)Q，使｜PQ｜=|PA|。當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動時,求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程.解：由題意可知：ρ=.又｜OQ|=|OP|+｜PA｜,∴ρ=2acos(—θ）。21.(本小題滿分12分）半徑為R的兩個等圓，它們的圓心分別在兩條互相垂直相交于點(diǎn)O的定直線上，且兩圓都過點(diǎn)O,過點(diǎn)O任意作直線l分別交兩圓于A、B，試求出線段AB中點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程。解:如圖,建立極坐標(biāo)系，設(shè)B(ρ1,θ），其軌跡為ρ1=2acosθ.設(shè)A(ρ2，θ）,其軌跡為ρ2=2asinθ，設(shè)P（ρ，θ）,則ρ=(ρ1+ρ2）=（2acosθ+2asinθ)=a(cosθ+sinθ)=asin(θ+)?！帱c(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=asin（θ+).22.（本小題滿分14分)如下圖，根據(jù)指令(r,θ)（r≥0，—180°≤θ≤180°）,機(jī)器人在平面上能完成下列動作:先原地旋轉(zhuǎn)角度θ(θ為正時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ，θ為負(fù)時,按順時針方向旋轉(zhuǎn)|θ｜),再朝其面對的方向沿直線行走距離r。（1)現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),且面對x軸正方向,試給機(jī)器人下一個指令，使其移動到點(diǎn)（4,4).(2）機(jī)器人在完成該指令后,發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)(17，0)處有一個小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動,已知小球滾動的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍,若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間,問機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)。解:（