數(shù)學(xué)本章整合：第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)注：以上a，b，c，d都是實數(shù)．專題探究專題一復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義復(fù)數(shù)的概念是復(fù)數(shù)的基本內(nèi)容，是解決復(fù)數(shù)問題的基礎(chǔ)．在解決與復(fù)數(shù)概念相關(guān)的問題時,復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是求解的基本策略，“橋梁”是設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R)，依據(jù)是“兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件"．此外，這類問題還常以方程的形式出現(xiàn)，與方程的根有關(guān),這時將已知根代入(或設(shè)出后代入)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件再進(jìn)行求解．復(fù)數(shù)的幾何意義實質(zhì)是復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點以及從原點出發(fā)的向量建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此還常常利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決復(fù)數(shù)問題．【例1】已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq\f（mm－2，m－1)＋(m2＋2m－3）i，當(dāng)m為何值時,(1)z∈R;（2）z是純虛數(shù)；（3)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限；（4）z對應(yīng)的點在直線x＋y＋3＝0上．解：(1）由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故當(dāng)m＝－3時，z∈R。（2)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（mm－2,m－1）＝0，，m2＋2m－3≠0，））解得m＝0或m＝2.∴當(dāng)m＝0或m＝2時，z為純虛數(shù)．(3）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（mm－2，m－1）＜0，,m2＋2m－3＞0,））解得m＜－3或1＜m＜2，故當(dāng)m＜－3或1＜m＜2時,z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限．(4）由eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3）＋3＝0，得eq\f（mm2＋2m－4,m－1）＝0.解得m＝0或m＝－1±eq\r（5)?！喈?dāng)m＝0或m＝－1±eq\r(5）時，z對應(yīng)的點在直線x＋y＋3＝0上．專題二復(fù)數(shù)的四則運算與共軛復(fù)數(shù)歷年高考對復(fù)數(shù)的考查,主要集中在復(fù)數(shù)的運算，尤其是乘除運算上；熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法法則和除法法則，熟悉常見的結(jié)論是迅速準(zhǔn)確求解的關(guān)鍵．復(fù)數(shù)的加法與減法運算有著明顯的幾何意義，因此有些問題可結(jié)合加法與減法的幾何意義進(jìn)行求解．【例2】若z1＝a＋2i，z2＝3－4i,且eq\f（z1，z2)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．解析：eq\f(z1，z2)＝eq\f（a＋2i,3－4i)＝eq\f(a＋2i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f（3a＋6i＋4ai－8，25)＝eq\f(3a－8＋6＋4ai,25).因為eq\f(z1，z2)為純虛數(shù)，所以3a－8＝0且6＋4a≠0，所以a＝eq\f(8，3）.答案：eq\f（8，3)專題三復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用復(fù)數(shù)是一個重要的知識載體和知識交會點，數(shù)學(xué)中很多問題都與復(fù)數(shù)有關(guān)．解決復(fù)數(shù)的綜合問題時，仍然要以復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運算為主，同時注意結(jié)合其他知識以及常見的數(shù)學(xué)思想方法．【例3】復(fù)數(shù)z＝eq\f（1＋i3a＋bi,1－i）且｜z｜＝4,z對應(yīng)的點Z在第一象限，若復(fù)數(shù)0，z，eq\x\to（z）對應(yīng)的點是正三角形的三個頂點，求實數(shù)a,b的值．解:z＝eq\f（1＋i2·1＋i，1－i)（a＋bi)＝2i·i(a＋bi）＝－2a－2bi。由｜z|＝4，得a2＋b2＝4.①∵復(fù)數(shù)0,z，eq\x\to(z)對應(yīng)的點構(gòu)成正三角形，∴｜z－eq\x\to（z)｜＝｜z｜.把z＝－2a－2bi代入化簡得a2＝3b2，②代入①得,｜b|＝1。又∵Z點在第一象限，∴a＜0，b＜0.由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－\r（3），,b＝－1，)）故所求值為a＝－eq\r（3），b＝－1.【例4】已知復(fù)數(shù)z滿足|z＋2－2i｜＝1,求|z－3－2i|的最小值．解法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|x＋yi＋2－2i|＝1，即|（x＋2)＋(y－2)i｜＝1?！?x＋2）2＋(y－2)2＝1?！啵鼁－3－2i｜＝eq\r(x－32＋y－22)＝eq\r(x－32＋1－x＋22)＝eq\r（－10x＋6)。由(y－2）2＝1－(x＋2）2≥0，得x2＋4x＋3≤0.∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36?！?≤eq\r(－10x＋6)≤6?！喈?dāng)x＝－1時，|z－3－2i｜的最小值為4.解法二：由復(fù)數(shù)及其模的幾何意義知：滿足｜z＋2－2i｜＝1，即｜z－(－2＋2i)｜＝1，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點是以C(－2，2)為圓心，半徑r＝1的圓,而｜z－3－2i|＝｜z－(3＋2i)|的